미적분 예제

$(y + 1) d x - x d y = 0$

단계 1

방정식의 양변에서 $(y + 1) d x$ 를 뺍니다.

$- x d y = - (y + 1) d x$

단계 2

양변에 $\frac{1}{x (y + 1)}$ 을 곱합니다.

$\frac{1}{x (y + 1)} (- x) d y = \frac{1}{x (y + 1)} (- (y + 1)) d x$

단계 3

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.1

곱셈의 교환법칙을 사용하여 다시 씁니다.

$- \frac{1}{x (y + 1)} x d y = \frac{1}{x (y + 1)} (- (y + 1)) d x$

단계 3.2

$x$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.2.1

$- \frac{1}{x (y + 1)}$ 의 마이너스 부호를 분자로 이동합니다.

$\frac{- 1}{x (y + 1)} x d y = \frac{1}{x (y + 1)} (- (y + 1)) d x$

단계 3.2.2

공약수로 약분합니다.

$\frac{- 1}{x (y + 1)} x d y = \frac{1}{x (y + 1)} (- (y + 1)) d x$

단계 3.2.3

수식을 다시 씁니다.

$\frac{- 1}{y + 1} d y = \frac{1}{x (y + 1)} (- (y + 1)) d x$

단계 3.3

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$- \frac{1}{y + 1} d y = \frac{1}{x (y + 1)} (- (y + 1)) d x$

단계 3.4

곱셈의 교환법칙을 사용하여 다시 씁니다.

$- \frac{1}{y + 1} d y = - \frac{1}{x (y + 1)} (y + 1) d x$

단계 3.5

$y + 1$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.5.1

$- \frac{1}{x (y + 1)}$ 의 마이너스 부호를 분자로 이동합니다.

$- \frac{1}{y + 1} d y = \frac{- 1}{x (y + 1)} (y + 1) d x$

단계 3.5.2

$x (y + 1)$ 에서 $y + 1$ 를 인수분해합니다.

$- \frac{1}{y + 1} d y = \frac{- 1}{(y + 1) x} (y + 1) d x$

단계 3.5.3

공약수로 약분합니다.

$- \frac{1}{y + 1} d y = \frac{- 1}{(y + 1) x} (y + 1) d x$

단계 3.5.4

수식을 다시 씁니다.

$- \frac{1}{y + 1} d y = \frac{- 1}{x} d x$

단계 3.6

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$- \frac{1}{y + 1} d y = - \frac{1}{x} d x$

단계 4

양변을 적분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.1

각 변의 적분을 구합니다.

$\int - \frac{1}{y + 1} d y = \int - \frac{1}{x} d x$

단계 4.2

좌변을 적분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.2.1

$- 1$ 은 $y$ 에 대해 상수이므로, $- 1$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$- \int \frac{1}{y + 1} d y = \int - \frac{1}{x} d x$

단계 4.2.2

먼저 $u = y + 1$ 로 정의합니다. 그러면 $d u = d y$ 가 됩니다. 이 식을 $u$ 와 $d$ $u$ 를 이용하여 다시 씁니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.2.2.1

$u = y + 1$ 로 둡니다. $\frac{d u}{d y}$ 를 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.2.2.1.1

$y + 1$ 를 미분합니다.

$\frac{d}{d y} [y + 1]$

단계 4.2.2.1.2

합의 법칙에 의해 $y + 1$ 를 $y$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [1]$ 가 됩니다.

$\frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [1]$

단계 4.2.2.1.3

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ 는 $n y^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$1 + \frac{d}{d y} [1]$

단계 4.2.2.1.4

$1$ 이 $y$ 에 대해 일정하므로, $1$ 를 $y$ 에 대해 미분하면 $1$ 입니다.

$1 + 0$

단계 4.2.2.1.5

$1$ 를 $0$ 에 더합니다.

$1$

단계 4.2.2.2

$u$ 와 $d u$ 를 사용해 문제를 바꿔 씁니다.

$- \int \frac{1}{u} d u = \int - \frac{1}{x} d x$

단계 4.2.3

$\frac{1}{u}$ 를 $u$ 에 대해 적분하면 $\ln (| u |)$ 입니다.

$- (\ln (| u |) + C_{1}) = \int - \frac{1}{x} d x$

단계 4.2.4

간단히 합니다.

$- \ln (| u |) + C_{1} = \int - \frac{1}{x} d x$

단계 4.2.5

$u$ 를 모두 $y + 1$ 로 바꿉니다.

$- \ln (| y + 1 |) + C_{1} = \int - \frac{1}{x} d x$

단계 4.3

우변을 적분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.3.1

$- 1$ 은 $x$ 에 대해 상수이므로, $- 1$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$- \ln (| y + 1 |) + C_{1} = - \int \frac{1}{x} d x$

단계 4.3.2

$\frac{1}{x}$ 를 $x$ 에 대해 적분하면 $\ln (| x |)$ 입니다.

$- \ln (| y + 1 |) + C_{1} = - (\ln (| x |) + C_{2})$

단계 4.3.3

간단히 합니다.

$- \ln (| y + 1 |) + C_{1} = - \ln (| x |) + C_{2}$

단계 4.4

우변에 적분 상수를 $C$ 로 묶습니다.

$- \ln (| y + 1 |) = - \ln (| x |) + C$

단계 5

$y$ 에 대해 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.1

로그를 포함하고 있는 모든 항을 방정식의 좌변으로 옮깁니다.

$- \ln (| y + 1 |) + \ln (| x |) = C$

단계 5.2

방정식의 양변에서 $\ln (| x |)$ 를 뺍니다.

$- \ln (| y + 1 |) = C - \ln (| x |)$

단계 5.3

$- \ln (| y + 1 |) = C - \ln (| x |)$ 의 각 항을 $- 1$ 로 나누고 식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.3.1

$- \ln (| y + 1 |) = C - \ln (| x |)$ 의 각 항을 $- 1$ 로 나눕니다.

$\frac{- \ln (| y + 1 |)}{- 1} = \frac{C}{- 1} + \frac{- \ln (| x |)}{- 1}$

단계 5.3.2

좌변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.3.2.1

두 음수를 나누면 양수가 나옵니다.

$\frac{\ln (| y + 1 |)}{1} = \frac{C}{- 1} + \frac{- \ln (| x |)}{- 1}$

단계 5.3.2.2

$\ln (| y + 1 |)$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$\ln (| y + 1 |) = \frac{C}{- 1} + \frac{- \ln (| x |)}{- 1}$

단계 5.3.3

우변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.3.3.1

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.3.3.1.1

$\frac{C}{- 1}$ 의 분모에서 -1을 옮깁니다.

$\ln (| y + 1 |) = - 1 \cdot C + \frac{- \ln (| x |)}{- 1}$

단계 5.3.3.1.2

$- 1 \cdot C$ 을 $- C$ 로 바꿔 씁니다.

$\ln (| y + 1 |) = - C + \frac{- \ln (| x |)}{- 1}$

단계 5.3.3.1.3

두 음수를 나누면 양수가 나옵니다.

$\ln (| y + 1 |) = - C + \frac{\ln (| x |)}{1}$

단계 5.3.3.1.4

$\ln (| x |)$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$\ln (| y + 1 |) = - C + \ln (| x |)$

단계 5.4

로그를 포함하고 있는 모든 항을 방정식의 좌변으로 옮깁니다.

$\ln (| y + 1 |) - \ln (| x |) = - C$

단계 5.5

로그의 나눗셈의 성질 $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ 을 이용합니다.

$\ln (\frac{| y + 1 |}{| x |}) = - C$

단계 5.6

$y$ 을 구하기 위해 로그의 성질을 이용하여 방정식을 다시 씁니다.

$e^{\ln (\frac{| y + 1 |}{| x |})} = e^{- C}$

단계 5.7

로그의 정의를 이용하여 $\ln (\frac{| y + 1 |}{| x |}) = - C$ 를 지수 형태로 다시 씁니다. 만약 $x$ 와 $b$ 가 양의 실수와 $b \neq 1$ 이면, $\log_{b} (x) = y$ 는 $b^{y} = x$ 와 같습니다.

$e^{- C} = \frac{| y + 1 |}{| x |}$

단계 5.8

$y$ 에 대해 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.8.1

$\frac{| y + 1 |}{| x |} = e^{- C}$ 로 방정식을 다시 씁니다.

$\frac{| y + 1 |}{| x |} = e^{- C}$

단계 5.8.2

양변에 $| x |$ 을 곱합니다.

$\frac{| y + 1 |}{| x |} | x | = e^{- C} | x |$

단계 5.8.3

좌변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.8.3.1

$| x |$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.8.3.1.1

공약수로 약분합니다.

$\frac{| y + 1 |}{| x |} | x | = e^{- C} | x |$

단계 5.8.3.1.2

수식을 다시 씁니다.

$| y + 1 | = e^{- C} | x |$

단계 5.8.4

$y$ 에 대해 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.8.4.1

$e^{- C} | x |$ 에서 인수를 다시 정렬합니다.

$| y + 1 | = | x | e^{- C}$

단계 5.8.4.2

절대값의 항을 제거합니다. $| x | = \pm x$ 이므로 방정식 우변에 $\pm$ 이 생깁니다.

$y + 1 = \pm | x | e^{- C}$

단계 5.8.4.3

$\pm | x | e^{- C}$ 에서 인수를 다시 정렬합니다.

$y + 1 = \pm e^{- C} | x |$

단계 5.8.4.4

방정식의 양변에서 $1$ 를 뺍니다.

$y = \pm e^{- C} | x | - 1$

단계 6

상수 항을 하나로 묶습니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.1

적분 상수를 간단히 합니다.

$y = \pm C | x | - 1$

단계 6.2

양 또는 음의 상수를 결합합니다.

$y = C | x | - 1$