미적분 예제

$\frac{d y}{d x} = \frac{x e^{- y}}{1 + x^{2}}$

단계 1

변수를 분리합니다.

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단계 1.1

인수를 다시 묶습니다.

$\frac{d y}{d x} = \frac{x}{1 + x^{2}} e^{- y}$

단계 1.2

양변에 $\frac{1}{e^{- y}}$ 을 곱합니다.

$\frac{1}{e^{- y}} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{e^{- y}} (\frac{x}{1 + x^{2}} e^{- y})$

단계 1.3

$e^{- y}$ 의 공약수로 약분합니다.

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단계 1.3.1

$\frac{x}{1 + x^{2}} e^{- y}$ 에서 $e^{- y}$ 를 인수분해합니다.

$\frac{1}{e^{- y}} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{e^{- y}} (e^{- y} \frac{x}{1 + x^{2}})$

단계 1.3.2

공약수로 약분합니다.

$\frac{1}{e^{- y}} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{e^{- y}} (e^{- y} \frac{x}{1 + x^{2}})$

단계 1.3.3

수식을 다시 씁니다.

$\frac{1}{e^{- y}} \frac{d y}{d x} = \frac{x}{1 + x^{2}}$

단계 1.4

식을 다시 씁니다.

$\frac{1}{e^{- y}} d y = \frac{x}{1 + x^{2}} d x$

단계 2

양변을 적분합니다.

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단계 2.1

각 변의 적분을 구합니다.

$\int \frac{1}{e^{- y}} d y = \int \frac{x}{1 + x^{2}} d x$

단계 2.2

좌변을 적분합니다.

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단계 2.2.1

식을 간단히 합니다.

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단계 2.2.1.1

$e^{- y}$ 의 지수의 부호를 반대로 바꾸고 분모 밖으로 빼냅니다.

$\int 1 {(e^{- y})}^{- 1} d y = \int \frac{x}{1 + x^{2}} d x$

단계 2.2.1.2

간단히 합니다.

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단계 2.2.1.2.1

${(e^{- y})}^{- 1}$ 의 지수를 곱합니다.

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단계 2.2.1.2.1.1

멱의 법칙을 적용하여 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 과 같이 지수를 곱합니다.

$\int 1 e^{- y \cdot - 1} d y = \int \frac{x}{1 + x^{2}} d x$

단계 2.2.1.2.1.2

$- y \cdot - 1$ 을 곱합니다.

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단계 2.2.1.2.1.2.1

$- 1$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$\int 1 e^{1 y} d y = \int \frac{x}{1 + x^{2}} d x$

단계 2.2.1.2.1.2.2

$y$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$\int 1 e^{y} d y = \int \frac{x}{1 + x^{2}} d x$

단계 2.2.1.2.2

$e^{y}$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$\int e^{y} d y = \int \frac{x}{1 + x^{2}} d x$

단계 2.2.2

$e^{y}$ 를 $y$ 에 대해 적분하면 $e^{y}$ 입니다.

$e^{y} + C_{1} = \int \frac{x}{1 + x^{2}} d x$

단계 2.3

우변을 적분합니다.

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단계 2.3.1

먼저 $u = 1 + x^{2}$ 로 정의합니다. 그러면 $d u = 2 x d x$ 이므로 $\frac{1}{2} d u = x d x$ 가 됩니다. 이 식을 $u$ 와 $d$ $u$ 를 이용하여 다시 씁니다.

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단계 2.3.1.1

$u = 1 + x^{2}$ 로 둡니다. $\frac{d u}{d x}$ 를 구합니다.

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단계 2.3.1.1.1

$1 + x^{2}$ 를 미분합니다.

$\frac{d}{d x} [1 + x^{2}]$

단계 2.3.1.1.2

합의 법칙에 의해 $1 + x^{2}$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [x^{2}]$ 가 됩니다.

$\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [x^{2}]$

단계 2.3.1.1.3

$1$ 이 $x$ 에 대해 일정하므로, $1$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $1$ 입니다.

$0 + \frac{d}{d x} [x^{2}]$

단계 2.3.1.1.4

$n = 2$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$0 + 2 x$

단계 2.3.1.1.5

$0$ 를 $2 x$ 에 더합니다.

$2 x$

단계 2.3.1.2

$u$ 와 $d u$ 를 사용해 문제를 바꿔 씁니다.

$e^{y} + C_{1} = \int \frac{1}{u} \cdot \frac{1}{2} d u$

단계 2.3.2

간단히 합니다.

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단계 2.3.2.1

$\frac{1}{u}$ 에 $\frac{1}{2}$ 을 곱합니다.

$e^{y} + C_{1} = \int \frac{1}{u \cdot 2} d u$

단계 2.3.2.2

$u$ 의 왼쪽으로 $2$ 이동하기

$e^{y} + C_{1} = \int \frac{1}{2 u} d u$

단계 2.3.3

$\frac{1}{2}$ 은 $u$ 에 대해 상수이므로, $\frac{1}{2}$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$e^{y} + C_{1} = \frac{1}{2} \int \frac{1}{u} d u$

단계 2.3.4

$\frac{1}{u}$ 를 $u$ 에 대해 적분하면 $\ln (| u |)$ 입니다.

$e^{y} + C_{1} = \frac{1}{2} (\ln (| u |) + C_{2})$

단계 2.3.5

간단히 합니다.

$e^{y} + C_{1} = \frac{1}{2} \ln (| u |) + C_{2}$

단계 2.3.6

$u$ 를 모두 $1 + x^{2}$ 로 바꿉니다.

$e^{y} + C_{1} = \frac{1}{2} \ln (| 1 + x^{2} |) + C_{2}$

단계 2.4

우변에 적분 상수를 $C$ 로 묶습니다.

$e^{y} = \frac{1}{2} \ln (| 1 + x^{2} |) + C$

단계 3

$y$ 에 대해 풉니다.

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단계 3.1

지수에서 변수를 제거하기 위하여 방정식의 양변에 자연로그를 취합니다.

$\ln (e^{y}) = \ln (\ln ({| 1 + x^{2} |}^{\frac{1}{2}}) + C)$

단계 3.2

왼편을 확장합니다.

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단계 3.2.1

$y$ 을 로그 밖으로 내보내서 $\ln (e^{y})$ 을 전개합니다.

$y \ln (e) = \ln (\ln ({| 1 + x^{2} |}^{\frac{1}{2}}) + C)$

단계 3.2.2

$e$ 의 자연로그값은 $1$ 입니다.

$y \cdot 1 = \ln (\ln ({| 1 + x^{2} |}^{\frac{1}{2}}) + C)$

단계 3.2.3

$y$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$y = \ln (\ln ({| 1 + x^{2} |}^{\frac{1}{2}}) + C)$

단계 3.3

$\frac{1}{2}$ 을 로그 밖으로 내보내서 $\ln ({| 1 + x^{2} |}^{\frac{1}{2}})$ 을 전개합니다.

$y = \ln (\frac{1}{2} \ln (| 1 + x^{2} |) + C)$

단계 3.4

$\frac{1}{2}$ 를 로그 안으로 옮겨 $\frac{1}{2} \ln (| 1 + x^{2} |)$ 을 간단히 합니다.

$y = \ln (\ln ({| 1 + x^{2} |}^{\frac{1}{2}}) + C)$