미적분 예제

$\frac{d y}{d x} = \frac{y^{2}}{x^{2} + x y}$

단계 1

$\frac{y}{x}$ 의 함수로 미분 방정식을 다시 세웁니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1

$\frac{y^{2}}{x^{2} + x y}$ 의 $\frac{y}{x}$ 를 인수분해합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1.1

$\frac{y^{2}}{x^{2} + x y}$ 에서 $\frac{y}{x}$ 를 인수분해합니다.

$\frac{d y}{d x} = \frac{y}{x} \cdot \frac{y}{x + y}$

단계 1.1.2

$\frac{y}{x}$ 와 $\frac{y}{x + y}$ 을 다시 정렬합니다.

$\frac{d y}{d x} = \frac{y}{x + y} \cdot \frac{y}{x}$

단계 1.2

$\frac{y}{x + y}$ 에 $\frac{\frac{1}{x^{1}}}{\frac{1}{x^{1}}}$ 을 곱합니다.

$\frac{d y}{d x} = \frac{y}{x + y} \cdot \frac{\frac{1}{x^{1}}}{\frac{1}{x^{1}}} \frac{y}{x}$

단계 1.3

$\frac{y}{x + y}$ 에 $\frac{\frac{1}{x^{1}}}{\frac{1}{x^{1}}}$ 을 곱합니다.

$\frac{d y}{d x} = \frac{y \frac{1}{x^{1}}}{(x + y) \frac{1}{x^{1}}} \cdot \frac{y}{x}$

단계 1.4

분배 법칙을 적용합니다.

$\frac{d y}{d x} = \frac{y \frac{1}{x^{1}}}{x \frac{1}{x^{1}} + y \frac{1}{x^{1}}} \cdot \frac{y}{x}$

단계 1.5

간단히 합니다.

$\frac{d y}{d x} = \frac{y \frac{1}{x^{1}}}{x \frac{1}{x} + y \frac{1}{x^{1}}} \cdot \frac{y}{x}$

단계 1.6

간단히 합니다.

$\frac{d y}{d x} = \frac{y \frac{1}{x^{1}}}{x \frac{1}{x} + y \frac{1}{x}} \cdot \frac{y}{x}$

단계 1.7

간단히 합니다.

$\frac{d y}{d x} = \frac{y \frac{1}{x}}{x \frac{1}{x} + y \frac{1}{x}} \cdot \frac{y}{x}$

단계 1.8

$y$ 와 $\frac{1}{x}$ 을 묶습니다.

$\frac{d y}{d x} = \frac{\frac{y}{x}}{x \frac{1}{x} + y \frac{1}{x}} \cdot \frac{y}{x}$

단계 1.9

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.9.1

$x$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.9.1.1

공약수로 약분합니다.

$\frac{d y}{d x} = \frac{\frac{y}{x}}{x \frac{1}{x} + y \frac{1}{x}} \cdot \frac{y}{x}$

단계 1.9.1.2

수식을 다시 씁니다.

$\frac{d y}{d x} = \frac{\frac{y}{x}}{1 + y \frac{1}{x}} \cdot \frac{y}{x}$

단계 1.9.2

$y$ 와 $\frac{1}{x}$ 을 묶습니다.

$\frac{d y}{d x} = \frac{\frac{y}{x}}{1 + \frac{y}{x}} \cdot \frac{y}{x}$

단계 2

$V = \frac{y}{x}$ 라고 두고, $V$ 를 $\frac{y}{x}$ 에 대입합니다.

$\frac{d y}{d x} = \frac{V}{1 + V} V$

단계 3

$V = \frac{y}{x}$ 을 $y$ 에 대해 풉니다.

$y = V x$

단계 4

곱의 미분 법칙을 사용해 $x$ 에 대하여 $y = V x$ 의 도함수를 구합니다.

$\frac{d y}{d x} = x \frac{d V}{d x} + V$

단계 5

$\frac{d y}{d x}$ 에 $x \frac{d V}{d x} + V$ 를 대입합니다.

$x \frac{d V}{d x} + V = \frac{V}{1 + V} V$

단계 6

치환 미분 방정식을 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.1

변수를 분리합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.1.1

$\frac{d V}{d x}$ 에 대해 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.1.1.1

$\frac{V}{1 + V} V$ 을 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.1.1.1.1

$\frac{V}{1 + V}$ 와 $V$ 을 묶습니다.

$x \frac{d V}{d x} + V = \frac{V \cdot V}{1 + V}$

단계 6.1.1.1.2

$V$ 를 $1$ 승 합니다.

$x \frac{d V}{d x} + V = \frac{V^{1} V}{1 + V}$

단계 6.1.1.1.3

$V$ 를 $1$ 승 합니다.

$x \frac{d V}{d x} + V = \frac{V^{1} V^{1}}{1 + V}$

단계 6.1.1.1.4

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$x \frac{d V}{d x} + V = \frac{V^{1 + 1}}{1 + V}$

단계 6.1.1.1.5

$1$ 를 $1$ 에 더합니다.

$x \frac{d V}{d x} + V = \frac{V^{2}}{1 + V}$

단계 6.1.1.2

방정식의 양변에서 $V$ 를 뺍니다.

$x \frac{d V}{d x} = \frac{V^{2}}{1 + V} - V$

단계 6.1.1.3

$x \frac{d V}{d x} = \frac{V^{2}}{1 + V} - V$ 의 각 항을 $x$ 로 나누고 식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.1.1.3.1

$x \frac{d V}{d x} = \frac{V^{2}}{1 + V} - V$ 의 각 항을 $x$ 로 나눕니다.

$\frac{x \frac{d V}{d x}}{x} = \frac{\frac{V^{2}}{1 + V}}{x} + \frac{- V}{x}$

단계 6.1.1.3.2

좌변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.1.1.3.2.1

$x$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.1.1.3.2.1.1

공약수로 약분합니다.

$\frac{x \frac{d V}{d x}}{x} = \frac{\frac{V^{2}}{1 + V}}{x} + \frac{- V}{x}$

단계 6.1.1.3.2.1.2

$\frac{d V}{d x}$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$\frac{d V}{d x} = \frac{\frac{V^{2}}{1 + V}}{x} + \frac{- V}{x}$

단계 6.1.1.3.3

우변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.1.1.3.3.1

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$\frac{d V}{d x} = \frac{\frac{V^{2}}{1 + V} - V}{x}$

단계 6.1.1.3.3.2

공통 분모를 가지는 분수로 $- V$ 을 표현하기 위해 $\frac{1 + V}{1 + V}$ 을 곱합니다.

$\frac{d V}{d x} = \frac{\frac{V^{2}}{1 + V} - V \cdot \frac{1 + V}{1 + V}}{x}$

단계 6.1.1.3.3.3

항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.1.1.3.3.3.1

$- V$ 와 $\frac{1 + V}{1 + V}$ 을 묶습니다.

$\frac{d V}{d x} = \frac{\frac{V^{2}}{1 + V} + \frac{- V (1 + V)}{1 + V}}{x}$

단계 6.1.1.3.3.3.2

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$\frac{d V}{d x} = \frac{\frac{V^{2} - V (1 + V)}{1 + V}}{x}$

단계 6.1.1.3.3.4

분자를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.1.1.3.3.4.1

$V^{2} - V (1 + V)$ 에서 $V$ 를 인수분해합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.1.1.3.3.4.1.1

$V^{2}$ 에서 $V$ 를 인수분해합니다.

$\frac{d V}{d x} = \frac{\frac{V \cdot V - V (1 + V)}{1 + V}}{x}$

단계 6.1.1.3.3.4.1.2

$- V (1 + V)$ 에서 $V$ 를 인수분해합니다.

$\frac{d V}{d x} = \frac{\frac{V \cdot V + V (- (1 + V))}{1 + V}}{x}$

단계 6.1.1.3.3.4.1.3

$V \cdot V + V (- (1 + V))$ 에서 $V$ 를 인수분해합니다.

$\frac{d V}{d x} = \frac{\frac{V (V - (1 + V))}{1 + V}}{x}$

단계 6.1.1.3.3.4.2

분배 법칙을 적용합니다.

$\frac{d V}{d x} = \frac{\frac{V (V - 1 \cdot 1 - V)}{1 + V}}{x}$

단계 6.1.1.3.3.4.3

$- 1$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$\frac{d V}{d x} = \frac{\frac{V (V - 1 - V)}{1 + V}}{x}$

단계 6.1.1.3.3.4.4

$V$ 에서 $V$ 을 뺍니다.

$\frac{d V}{d x} = \frac{\frac{V (0 - 1)}{1 + V}}{x}$

단계 6.1.1.3.3.4.5

$0$ 에서 $1$ 을 뺍니다.

$\frac{d V}{d x} = \frac{\frac{V \cdot - 1}{1 + V}}{x}$

단계 6.1.1.3.3.5

식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.1.1.3.3.5.1

$V$ 의 왼쪽으로 $- 1$ 이동하기

$\frac{d V}{d x} = \frac{\frac{- 1 \cdot V}{1 + V}}{x}$

단계 6.1.1.3.3.5.2

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$\frac{d V}{d x} = \frac{- \frac{V}{1 + V}}{x}$

단계 6.1.1.3.3.6

분자에 분모의 역수를 곱합니다.

$\frac{d V}{d x} = - \frac{V}{1 + V} \cdot \frac{1}{x}$

단계 6.1.1.3.3.7

$\frac{1}{x}$ 에 $\frac{V}{1 + V}$ 을 곱합니다.

$\frac{d V}{d x} = - \frac{V}{x (1 + V)}$

단계 6.1.2

인수를 다시 묶습니다.

$\frac{d V}{d x} = - \frac{V}{1 + V} \cdot \frac{1}{x}$

단계 6.1.3

양변에 $\frac{1 + V}{V}$ 을 곱합니다.

$\frac{1 + V}{V} \frac{d V}{d x} = \frac{1 + V}{V} (- \frac{V}{1 + V} \cdot \frac{1}{x})$

단계 6.1.4

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.1.4.1

곱셈의 교환법칙을 사용하여 다시 씁니다.

$\frac{1 + V}{V} \frac{d V}{d x} = - \frac{1 + V}{V} (\frac{V}{1 + V} \cdot \frac{1}{x})$

단계 6.1.4.2

$\frac{V}{1 + V}$ 에 $\frac{1}{x}$ 을 곱합니다.

$\frac{1 + V}{V} \frac{d V}{d x} = - \frac{1 + V}{V} \cdot \frac{V}{(1 + V) x}$

단계 6.1.4.3

$1 + V$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.1.4.3.1

$- \frac{1 + V}{V}$ 의 마이너스 부호를 분자로 이동합니다.

$\frac{1 + V}{V} \frac{d V}{d x} = \frac{- (1 + V)}{V} \cdot \frac{V}{(1 + V) x}$

단계 6.1.4.3.2

$- (1 + V)$ 에서 $1 + V$ 를 인수분해합니다.

$\frac{1 + V}{V} \frac{d V}{d x} = \frac{(1 + V) \cdot - 1}{V} \cdot \frac{V}{(1 + V) x}$

단계 6.1.4.3.3

$(1 + V) x$ 에서 $1 + V$ 를 인수분해합니다.

$\frac{1 + V}{V} \frac{d V}{d x} = \frac{(1 + V) \cdot - 1}{V} \cdot \frac{V}{(1 + V) (x)}$

단계 6.1.4.3.4

공약수로 약분합니다.

$\frac{1 + V}{V} \frac{d V}{d x} = \frac{(1 + V) \cdot - 1}{V} \cdot \frac{V}{(1 + V) x}$

단계 6.1.4.3.5

수식을 다시 씁니다.

$\frac{1 + V}{V} \frac{d V}{d x} = \frac{- 1}{V} \cdot \frac{V}{x}$

단계 6.1.4.4

$V$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.1.4.4.1

공약수로 약분합니다.

$\frac{1 + V}{V} \frac{d V}{d x} = \frac{- 1}{V} \cdot \frac{V}{x}$

단계 6.1.4.4.2

수식을 다시 씁니다.

$\frac{1 + V}{V} \frac{d V}{d x} = - \frac{1}{x}$

단계 6.1.5

식을 다시 씁니다.

$\frac{1 + V}{V} d V = - \frac{1}{x} d x$

단계 6.2

양변을 적분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.2.1

각 변의 적분을 구합니다.

$\int \frac{1 + V}{V} d V = \int - \frac{1}{x} d x$

단계 6.2.2

좌변을 적분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.2.2.1

분수를 여러 개의 분수로 나눕니다.

$\int \frac{1}{V} + \frac{V}{V} d V = \int - \frac{1}{x} d x$

단계 6.2.2.2

하나의 적분을 여러 개의 적분으로 나눕니다.

$\int \frac{1}{V} d V + \int \frac{V}{V} d V = \int - \frac{1}{x} d x$

단계 6.2.2.3

$V$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.2.2.3.1

공약수로 약분합니다.

$\int \frac{1}{V} d V + \int \frac{V}{V} d V = \int - \frac{1}{x} d x$

단계 6.2.2.3.2

수식을 다시 씁니다.

$\int \frac{1}{V} d V + \int d V = \int - \frac{1}{x} d x$

단계 6.2.2.4

$\frac{1}{V}$ 를 $V$ 에 대해 적분하면 $\ln (| V |)$ 입니다.

$\ln (| V |) + C_{1} + \int d V = \int - \frac{1}{x} d x$

단계 6.2.2.5

상수 규칙을 적용합니다.

$\ln (| V |) + C_{1} + V + C_{2} = \int - \frac{1}{x} d x$

단계 6.2.2.6

간단히 합니다.

$\ln (| V |) + V + C_{3} = \int - \frac{1}{x} d x$

단계 6.2.2.7

항을 다시 정렬합니다.

$V + \ln (| V |) + C_{3} = \int - \frac{1}{x} d x$

단계 6.2.3

우변을 적분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.2.3.1

$- 1$ 은 $x$ 에 대해 상수이므로, $- 1$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$V + \ln (| V |) + C_{3} = - \int \frac{1}{x} d x$

단계 6.2.3.2

$\frac{1}{x}$ 를 $x$ 에 대해 적분하면 $\ln (| x |)$ 입니다.

$V + \ln (| V |) + C_{3} = - (\ln (| x |) + C_{4})$

단계 6.2.3.3

간단히 합니다.

$V + \ln (| V |) + C_{3} = - \ln (| x |) + C_{4}$

단계 6.2.4

우변에 적분 상수를 $C$ 로 묶습니다.

$V + \ln (| V |) = - \ln (| x |) + C$

단계 7

$V$ 에 $\frac{y}{x}$ 를 대입합니다.

$\frac{y}{x} + \ln (| \frac{y}{x} |) = - \ln (| x |) + C$

단계 8

$\frac{y}{x} + \ln (| \frac{y}{x} |) = - \ln (| x |) + C$ 을 $y$ 에 대해 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 8.1

로그를 포함하고 있는 모든 항을 방정식의 좌변으로 옮깁니다.

$\ln (| \frac{y}{x} |) + \ln (| x |) = - \frac{y}{x} + C$

단계 8.2

로그의 곱의 성질 $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ 를 사용합니다.

$\ln (| \frac{y}{x} | | x |) = - \frac{y}{x} + C$

단계 8.3

$| \frac{y}{x} | | x |$ 을 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 8.3.1

절댓값을 곱하려면 각 절댓값 내부의 항을 곱합니다.

$\ln (| \frac{y}{x} \cdot x |) = - \frac{y}{x} + C$

단계 8.3.2

$\frac{y}{x}$ 와 $x$ 을 묶습니다.

$\ln (| \frac{y x}{x} |) = - \frac{y}{x} + C$

단계 8.4

$x$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 8.4.1

공약수로 약분합니다.

$\ln (| \frac{y x}{x} |) = - \frac{y}{x} + C$

단계 8.4.2

$y$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$\ln (| y |) = - \frac{y}{x} + C$