미적분 예제

$(y + 1) e^{x} d x - (e^{x} + 1) d y = 0$

단계 1

방정식의 양변에서 $(y + 1) e^{x} d x$ 를 뺍니다.

$- (e^{x} + 1) d y = - (y + 1) e^{x} d x$

단계 2

양변에 $\frac{1}{(e^{x} + 1) (y + 1)}$ 을 곱합니다.

$\frac{1}{(e^{x} + 1) (y + 1)} (- (e^{x} + 1)) d y = \frac{1}{(e^{x} + 1) (y + 1)} (- (y + 1) e^{x}) d x$

단계 3

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.1

곱셈의 교환법칙을 사용하여 다시 씁니다.

$- \frac{1}{(e^{x} + 1) (y + 1)} (e^{x} + 1) d y = \frac{1}{(e^{x} + 1) (y + 1)} (- (y + 1) e^{x}) d x$

단계 3.2

$e^{x} + 1$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.2.1

$- \frac{1}{(e^{x} + 1) (y + 1)}$ 의 마이너스 부호를 분자로 이동합니다.

$\frac{- 1}{(e^{x} + 1) (y + 1)} (e^{x} + 1) d y = \frac{1}{(e^{x} + 1) (y + 1)} (- (y + 1) e^{x}) d x$

단계 3.2.2

공약수로 약분합니다.

$\frac{- 1}{(e^{x} + 1) (y + 1)} (e^{x} + 1) d y = \frac{1}{(e^{x} + 1) (y + 1)} (- (y + 1) e^{x}) d x$

단계 3.2.3

수식을 다시 씁니다.

$\frac{- 1}{y + 1} d y = \frac{1}{(e^{x} + 1) (y + 1)} (- (y + 1) e^{x}) d x$

단계 3.3

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$- \frac{1}{y + 1} d y = \frac{1}{(e^{x} + 1) (y + 1)} (- (y + 1) e^{x}) d x$

단계 3.4

곱셈의 교환법칙을 사용하여 다시 씁니다.

$- \frac{1}{y + 1} d y = - \frac{1}{(e^{x} + 1) (y + 1)} ((y + 1) e^{x}) d x$

단계 3.5

$y + 1$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.5.1

$- \frac{1}{(e^{x} + 1) (y + 1)}$ 의 마이너스 부호를 분자로 이동합니다.

$- \frac{1}{y + 1} d y = \frac{- 1}{(e^{x} + 1) (y + 1)} ((y + 1) e^{x}) d x$

단계 3.5.2

$(e^{x} + 1) (y + 1)$ 에서 $y + 1$ 를 인수분해합니다.

$- \frac{1}{y + 1} d y = \frac{- 1}{(y + 1) (e^{x} + 1)} ((y + 1) e^{x}) d x$

단계 3.5.3

$(y + 1) e^{x}$ 에서 $y + 1$ 를 인수분해합니다.

$- \frac{1}{y + 1} d y = \frac{- 1}{(y + 1) (e^{x} + 1)} ((y + 1) (e^{x})) d x$

단계 3.5.4

공약수로 약분합니다.

$- \frac{1}{y + 1} d y = \frac{- 1}{(y + 1) (e^{x} + 1)} ((y + 1) e^{x}) d x$

단계 3.5.5

수식을 다시 씁니다.

$- \frac{1}{y + 1} d y = \frac{- 1}{e^{x} + 1} e^{x} d x$

단계 3.6

$\frac{- 1}{e^{x} + 1}$ 와 $e^{x}$ 을 묶습니다.

$- \frac{1}{y + 1} d y = \frac{- e^{x}}{e^{x} + 1} d x$

단계 3.7

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$- \frac{1}{y + 1} d y = - \frac{e^{x}}{e^{x} + 1} d x$

단계 4

양변을 적분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.1

각 변의 적분을 구합니다.

$\int - \frac{1}{y + 1} d y = \int - \frac{e^{x}}{e^{x} + 1} d x$

단계 4.2

좌변을 적분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.2.1

$- 1$ 은 $y$ 에 대해 상수이므로, $- 1$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$- \int \frac{1}{y + 1} d y = \int - \frac{e^{x}}{e^{x} + 1} d x$

단계 4.2.2

먼저 $u_{1} = y + 1$ 로 정의합니다. 그러면 $d u_{1} = d y$ 가 됩니다. 이 식을 $u_{1}$ 와 $d$ $u_{1}$ 를 이용하여 다시 씁니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.2.2.1

$u_{1} = y + 1$ 로 둡니다. $\frac{d u_{1}}{d y}$ 를 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.2.2.1.1

$y + 1$ 를 미분합니다.

$\frac{d}{d y} [y + 1]$

단계 4.2.2.1.2

합의 법칙에 의해 $y + 1$ 를 $y$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [1]$ 가 됩니다.

$\frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [1]$

단계 4.2.2.1.3

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ 는 $n y^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$1 + \frac{d}{d y} [1]$

단계 4.2.2.1.4

$1$ 이 $y$ 에 대해 일정하므로, $1$ 를 $y$ 에 대해 미분하면 $1$ 입니다.

$1 + 0$

단계 4.2.2.1.5

$1$ 를 $0$ 에 더합니다.

$1$

단계 4.2.2.2

$u_{1}$ 와 $d u_{1}$ 를 사용해 문제를 바꿔 씁니다.

$- \int \frac{1}{u_{1}} d u_{1} = \int - \frac{e^{x}}{e^{x} + 1} d x$

단계 4.2.3

$\frac{1}{u_{1}}$ 를 $u_{1}$ 에 대해 적분하면 $\ln (| u_{1} |)$ 입니다.

$- (\ln (| u_{1} |) + C_{1}) = \int - \frac{e^{x}}{e^{x} + 1} d x$

단계 4.2.4

간단히 합니다.

$- \ln (| u_{1} |) + C_{1} = \int - \frac{e^{x}}{e^{x} + 1} d x$

단계 4.2.5

$u_{1}$ 를 모두 $y + 1$ 로 바꿉니다.

$- \ln (| y + 1 |) + C_{1} = \int - \frac{e^{x}}{e^{x} + 1} d x$

단계 4.3

우변을 적분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.3.1

$- 1$ 은 $x$ 에 대해 상수이므로, $- 1$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$- \ln (| y + 1 |) + C_{1} = - \int \frac{e^{x}}{e^{x} + 1} d x$

단계 4.3.2

먼저 $u_{2} = e^{x} + 1$ 로 정의합니다. 그러면 $d u_{2} = e^{x} d x$ 이므로 $\frac{1}{e^{x}} d u_{2} = d x$ 가 됩니다. 이 식을 $u_{2}$ 와 $d$ $u_{2}$ 를 이용하여 다시 씁니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.3.2.1

$u_{2} = e^{x} + 1$ 로 둡니다. $\frac{d u_{2}}{d x}$ 를 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.3.2.1.1

$e^{x} + 1$ 를 미분합니다.

$\frac{d}{d x} [e^{x} + 1]$

단계 4.3.2.1.2

합의 법칙에 의해 $e^{x} + 1$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [e^{x}] + \frac{d}{d x} [1]$ 가 됩니다.

$\frac{d}{d x} [e^{x}] + \frac{d}{d x} [1]$

단계 4.3.2.1.3

$a$ = $e$ 일 때 $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ 은 $a^{x} \ln (a)$ 이라는 지수 법칙을 이용하여 미분합니다.

$e^{x} + \frac{d}{d x} [1]$

단계 4.3.2.1.4

상수의 미분 법칙을 이용하여 미분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.3.2.1.4.1

$1$ 이 $x$ 에 대해 일정하므로, $1$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $1$ 입니다.

$e^{x} + 0$

단계 4.3.2.1.4.2

$e^{x}$ 를 $0$ 에 더합니다.

$e^{x}$

단계 4.3.2.2

$u_{2}$ 와 $d u_{2}$ 를 사용해 문제를 바꿔 씁니다.

$- \ln (| y + 1 |) + C_{1} = - \int \frac{1}{u_{2}} d u_{2}$

단계 4.3.3

$\frac{1}{u_{2}}$ 를 $u_{2}$ 에 대해 적분하면 $\ln (| u_{2} |)$ 입니다.

$- \ln (| y + 1 |) + C_{1} = - (\ln (| u_{2} |) + C_{2})$

단계 4.3.4

간단히 합니다.

$- \ln (| y + 1 |) + C_{1} = - \ln (| u_{2} |) + C_{2}$

단계 4.3.5

$u_{2}$ 를 모두 $e^{x} + 1$ 로 바꿉니다.

$- \ln (| y + 1 |) + C_{1} = - \ln (| e^{x} + 1 |) + C_{2}$

단계 4.4

우변에 적분 상수를 $C$ 로 묶습니다.

$- \ln (| y + 1 |) = - \ln (| e^{x} + 1 |) + C$