미적분 예제

$\frac{d y}{d x} = \frac{e^{x} - y}{x}$

단계 1

$\frac{d y}{d x} + M (x) y = Q (x)$ 로 미분 방정식을 다시 씁니다.

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단계 1.1

$M (x) \frac{d y}{d x} + P (x) y = Q (x)$ 로 방정식을 다시 씁니다.

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단계 1.1.1

분수 $\frac{e^{x} - y}{x}$ 를 두 개의 분수로 나눕니다.

$\frac{d y}{d x} = \frac{e^{x}}{x} + \frac{- y}{x}$

단계 1.1.2

방정식의 양변에서 $\frac{- y}{x}$ 를 뺍니다.

$\frac{d y}{d x} - \frac{- y}{x} = \frac{e^{x}}{x}$

단계 1.2

$- \frac{- y}{x}$ 에서 $y$ 를 인수분해합니다.

$\frac{d y}{d x} + y (- \frac{- 1}{x}) = \frac{e^{x}}{x}$

단계 1.3

$y$ 와 $- \frac{- 1}{x}$ 을 다시 정렬합니다.

$\frac{d y}{d x} - \frac{- 1}{x} y = \frac{e^{x}}{x}$

단계 2

적분 인수는 $e^{\int P (x) d x}$ 공식으로 정의됩니다. 여기서는 $P (x) = - \frac{- 1}{x}$ 입니다.

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단계 2.1

적분을 구합니다.

$e^{\int - \frac{- 1}{x} d x}$

단계 2.2

$- \frac{- 1}{x}$ 를 적분합니다.

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단계 2.2.1

간단히 합니다.

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단계 2.2.1.1

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$e^{\int - - \frac{1}{x} d x}$

단계 2.2.1.2

$- 1$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$e^{\int 1 \frac{1}{x} d x}$

단계 2.2.1.3

$\frac{1}{x}$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$e^{\int \frac{1}{x} d x}$

단계 2.2.2

$\frac{1}{x}$ 를 $x$ 에 대해 적분하면 $\ln (| x |)$ 입니다.

$e^{\ln (| x |) + C}$

단계 2.3

적분 상수를 소거합니다.

$e^{\ln (x)}$

단계 2.4

지수와 로그는 역함수 관계입니다.

$x$

단계 3

각 항에 적분 인수 $x$ 을 곱합니다.

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단계 3.1

각 항에 $x$ 을 곱합니다.

$x \frac{d y}{d x} + x (- \frac{- 1}{x} y) = x \frac{e^{x}}{x}$

단계 3.2

각 항을 간단히 합니다.

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단계 3.2.1

곱셈의 교환법칙을 사용하여 다시 씁니다.

$x \frac{d y}{d x} - x (\frac{- 1}{x} y) = x \frac{e^{x}}{x}$

단계 3.2.2

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$x \frac{d y}{d x} - x (- \frac{1}{x} y) = x \frac{e^{x}}{x}$

단계 3.2.3

$y$ 와 $\frac{1}{x}$ 을 묶습니다.

$x \frac{d y}{d x} - x (- \frac{y}{x}) = x \frac{e^{x}}{x}$

단계 3.2.4

$x$ 의 공약수로 약분합니다.

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단계 3.2.4.1

$- \frac{y}{x}$ 의 마이너스 부호를 분자로 이동합니다.

$x \frac{d y}{d x} - x \frac{- y}{x} = x \frac{e^{x}}{x}$

단계 3.2.4.2

$- x$ 에서 $x$ 를 인수분해합니다.

$x \frac{d y}{d x} + x \cdot - 1 \frac{- y}{x} = x \frac{e^{x}}{x}$

단계 3.2.4.3

공약수로 약분합니다.

$x \frac{d y}{d x} + x \cdot - 1 \frac{- y}{x} = x \frac{e^{x}}{x}$

단계 3.2.4.4

수식을 다시 씁니다.

$x \frac{d y}{d x} - - y = x \frac{e^{x}}{x}$

단계 3.2.5

$- 1$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$x \frac{d y}{d x} + 1 y = x \frac{e^{x}}{x}$

단계 3.2.6

$y$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$x \frac{d y}{d x} + y = x \frac{e^{x}}{x}$

단계 3.3

$x$ 의 공약수로 약분합니다.

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단계 3.3.1

공약수로 약분합니다.

$x \frac{d y}{d x} + y = x \frac{e^{x}}{x}$

단계 3.3.2

수식을 다시 씁니다.

$x \frac{d y}{d x} + y = e^{x}$

단계 4

곱을 미분한 결과로 좌변을 다시 씁니다.

$\frac{d}{d x} [x y] = e^{x}$

단계 5

각 변의 적분을 구합니다.

$\int \frac{d}{d x} [x y] d x = \int e^{x} d x$

단계 6

좌변을 적분합니다.

$x y = \int e^{x} d x$

단계 7

$e^{x}$ 를 $x$ 에 대해 적분하면 $e^{x}$ 입니다.

$x y = e^{x} + C$

단계 8

$x y = e^{x} + C$ 의 각 항을 $x$ 로 나누고 식을 간단히 합니다.

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단계 8.1

$x y = e^{x} + C$ 의 각 항을 $x$ 로 나눕니다.

$\frac{x y}{x} = \frac{e^{x}}{x} + \frac{C}{x}$

단계 8.2

좌변을 간단히 합니다.

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단계 8.2.1

$x$ 의 공약수로 약분합니다.

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단계 8.2.1.1

공약수로 약분합니다.

$\frac{x y}{x} = \frac{e^{x}}{x} + \frac{C}{x}$

단계 8.2.1.2

$y$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$y = \frac{e^{x}}{x} + \frac{C}{x}$