미적분 예제

$\frac{3}{2} \cdot \frac{d v}{d t} = 13.6 - \frac{1}{2} v$

단계 1

변수를 분리합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1

양변에 $\frac{1}{13.6 - \frac{1}{2} v}$ 을 곱합니다.

$\frac{1}{13.6 - \frac{1}{2} v} (\frac{3}{2} \frac{d v}{d t}) = \frac{1}{13.6 - \frac{1}{2} v} (13.6 - \frac{1}{2} v)$

단계 1.2

$13.6 - \frac{1}{2} v$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.2.1

공약수로 약분합니다.

$\frac{1}{13.6 - \frac{1}{2} v} (\frac{3}{2} \frac{d v}{d t}) = \frac{1}{13.6 - \frac{1}{2} v} (13.6 - \frac{1}{2} v)$

단계 1.2.2

수식을 다시 씁니다.

$\frac{1}{13.6 - \frac{1}{2} v} (\frac{3}{2} \frac{d v}{d t}) = 1$

단계 1.3

불필요한 괄호를 제거합니다.

$\frac{1}{13.6 - \frac{1}{2} v} \cdot \frac{3}{2} \frac{d v}{d t} = 1$

단계 1.4

식을 다시 씁니다.

$\frac{1}{13.6 - \frac{1}{2} v} \cdot \frac{3}{2} d v = 1 d t$

단계 2

양변을 적분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1

각 변의 적분을 구합니다.

$\int \frac{1}{13.6 - \frac{1}{2} v} \cdot \frac{3}{2} d v = \int d t$

단계 2.2

좌변을 적분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.2.1

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.2.1.1

$v$ 와 $\frac{1}{2}$ 을 묶습니다.

$\int \frac{1}{13.6 - \frac{v}{2}} \cdot \frac{3}{2} d v = \int d t$

단계 2.2.1.2

$\frac{1}{13.6 - \frac{v}{2}}$ 에 $\frac{3}{2}$ 을 곱합니다.

$\int \frac{3}{(13.6 - \frac{v}{2}) \cdot 2} d v = \int d t$

단계 2.2.1.3

$13.6 - \frac{v}{2}$ 의 왼쪽으로 $2$ 이동하기

$\int \frac{3}{2 (13.6 - \frac{v}{2})} d v = \int d t$

단계 2.2.2

$\frac{3}{2}$ 은 $v$ 에 대해 상수이므로, $\frac{3}{2}$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$\frac{3}{2} \int \frac{1}{13.6 - \frac{v}{2}} d v = \int d t$

단계 2.2.3

먼저 $u = 13.6 - \frac{v}{2}$ 로 정의합니다. 그러면 $d u = - \frac{1}{2} d v$ 이므로 $- 2 d u = d v$ 가 됩니다. 이 식을 $u$ 와 $d$ $u$ 를 이용하여 다시 씁니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.2.3.1

$u = 13.6 - \frac{v}{2}$ 로 둡니다. $\frac{d u}{d v}$ 를 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.2.3.1.1

$13.6 - \frac{v}{2}$ 를 미분합니다.

$\frac{d}{d v} [13.6 - \frac{v}{2}]$

단계 2.2.3.1.2

미분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.2.3.1.2.1

합의 법칙에 의해 $13.6 - \frac{v}{2}$ 를 $v$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d v} [13.6] + \frac{d}{d v} [- \frac{v}{2}]$ 가 됩니다.

$\frac{d}{d v} [13.6] + \frac{d}{d v} [- \frac{v}{2}]$

단계 2.2.3.1.2.2

$13.6$ 이 $v$ 에 대해 일정하므로, $13.6$ 를 $v$ 에 대해 미분하면 $13.6$ 입니다.

$0 + \frac{d}{d v} [- \frac{v}{2}]$

단계 2.2.3.1.3

$\frac{d}{d v} [- \frac{v}{2}]$ 의 값을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.2.3.1.3.1

$- \frac{1}{2}$ 은 $v$ 에 대해 일정하므로 $v$ 에 대한 $- \frac{v}{2}$ 의 미분은 $- \frac{1}{2} \frac{d}{d v} [v]$ 입니다.

$0 - \frac{1}{2} \frac{d}{d v} [v]$

단계 2.2.3.1.3.2

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d v} [v^{n}]$ 는 $n v^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$0 - \frac{1}{2} \cdot 1$

단계 2.2.3.1.3.3

$- 1$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$0 - \frac{1}{2}$

단계 2.2.3.1.4

$0$ 에서 $\frac{1}{2}$ 을 뺍니다.

$- \frac{1}{2}$

단계 2.2.3.2

$u$ 와 $d u$ 를 사용해 문제를 바꿔 씁니다.

$\frac{3}{2} \int \frac{- 1}{u} \cdot \frac{- 1}{- \frac{1}{2}} d u = \int d t$

단계 2.2.4

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.2.4.1

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$\frac{3}{2} \int - \frac{1}{u} \cdot \frac{- 1}{- \frac{1}{2}} d u = \int d t$

단계 2.2.4.2

두 음수를 나누면 양수가 나옵니다.

$\frac{3}{2} \int - \frac{1}{u} \cdot \frac{1}{\frac{1}{2}} d u = \int d t$

단계 2.2.4.3

$\frac{1}{2}$ 로 나누기 위해 분수의 역수를 곱합니다.

$\frac{3}{2} \int - \frac{1}{u} (1 \cdot 2) d u = \int d t$

단계 2.2.4.4

$2$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$\frac{3}{2} \int - \frac{1}{u} \cdot 2 d u = \int d t$

단계 2.2.4.5

$2$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$\frac{3}{2} \int - 2 \frac{1}{u} d u = \int d t$

단계 2.2.4.6

$- 2$ 와 $\frac{1}{u}$ 을 묶습니다.

$\frac{3}{2} \int \frac{- 2}{u} d u = \int d t$

단계 2.2.4.7

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$\frac{3}{2} \int - \frac{2}{u} d u = \int d t$

단계 2.2.5

$- 1$ 은 $u$ 에 대해 상수이므로, $- 1$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$\frac{3}{2} (- \int \frac{2}{u} d u) = \int d t$

단계 2.2.6

$2$ 은 $u$ 에 대해 상수이므로, $2$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$\frac{3}{2} (- (2 \int \frac{1}{u} d u)) = \int d t$

단계 2.2.7

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.2.7.1

$2$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$\frac{3}{2} (- 2 \int \frac{1}{u} d u) = \int d t$

단계 2.2.7.2

$- 2$ 와 $\frac{3}{2}$ 을 묶습니다.

$\frac{- 2 \cdot 3}{2} \int \frac{1}{u} d u = \int d t$

단계 2.2.7.3

$- 2$ 에 $3$ 을 곱합니다.

$\frac{- 6}{2} \int \frac{1}{u} d u = \int d t$

단계 2.2.7.4

$- 6$ 및 $2$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.2.7.4.1

$- 6$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$\frac{2 \cdot - 3}{2} \int \frac{1}{u} d u = \int d t$

단계 2.2.7.4.2

공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.2.7.4.2.1

$2$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$\frac{2 \cdot - 3}{2 (1)} \int \frac{1}{u} d u = \int d t$

단계 2.2.7.4.2.2

공약수로 약분합니다.

$\frac{2 \cdot - 3}{2 \cdot 1} \int \frac{1}{u} d u = \int d t$

단계 2.2.7.4.2.3

수식을 다시 씁니다.

$\frac{- 3}{1} \int \frac{1}{u} d u = \int d t$

단계 2.2.7.4.2.4

$- 3$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$- 3 \int \frac{1}{u} d u = \int d t$

단계 2.2.8

$\frac{1}{u}$ 를 $u$ 에 대해 적분하면 $\ln (| u |)$ 입니다.

$- 3 (\ln (| u |) + C_{1}) = \int d t$

단계 2.2.9

간단히 합니다.

$- 3 \ln (| u |) + C_{1} = \int d t$

단계 2.2.10

$u$ 를 모두 $13.6 - \frac{v}{2}$ 로 바꿉니다.

$- 3 \ln (| 13.6 - \frac{v}{2} |) + C_{1} = \int d t$

단계 2.2.11

항을 다시 정렬합니다.

$- 3 \ln (| 13.6 - \frac{1}{2} v |) + C_{1} = \int d t$

단계 2.3

상수 규칙을 적용합니다.

$- 3 \ln (| 13.6 - \frac{1}{2} v |) + C_{1} = t + C_{2}$

단계 2.4

우변에 적분 상수를 $C$ 로 묶습니다.

$- 3 \ln (| 13.6 - \frac{1}{2} v |) = t + C$

단계 3

$v$ 에 대해 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.1

$- 3 \ln (| 13.6 - \frac{1}{2} v |) = t + C$ 의 각 항을 $- 3$ 로 나누고 식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.1.1

$- 3 \ln (| 13.6 - \frac{1}{2} v |) = t + C$ 의 각 항을 $- 3$ 로 나눕니다.

$\frac{- 3 \ln (| 13.6 - \frac{1}{2} v |)}{- 3} = \frac{t}{- 3} + \frac{C}{- 3}$

단계 3.1.2

좌변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.1.2.1

$- 3$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.1.2.1.1

공약수로 약분합니다.

$\frac{- 3 \ln (| 13.6 - \frac{1}{2} v |)}{- 3} = \frac{t}{- 3} + \frac{C}{- 3}$

단계 3.1.2.1.2

$\ln (| 13.6 - \frac{1}{2} v |)$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$\ln (| 13.6 - \frac{1}{2} v |) = \frac{t}{- 3} + \frac{C}{- 3}$

단계 3.1.2.2

$v$ 와 $\frac{1}{2}$ 을 묶습니다.

$\ln (| 13.6 - \frac{v}{2} |) = \frac{t}{- 3} + \frac{C}{- 3}$

단계 3.1.3

우변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.1.3.1

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.1.3.1.1

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$\ln (| 13.6 - \frac{v}{2} |) = - \frac{t}{3} + \frac{C}{- 3}$

단계 3.1.3.1.2

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$\ln (| 13.6 - \frac{v}{2} |) = - \frac{t}{3} - \frac{C}{3}$

단계 3.2

$v$ 을 구하기 위해 로그의 성질을 이용하여 방정식을 다시 씁니다.

$e^{\ln (| 13.6 - \frac{v}{2} |)} = e^{- \frac{t}{3} - \frac{C}{3}}$

단계 3.3

로그의 정의를 이용하여 $\ln (| 13.6 - \frac{v}{2} |) = - \frac{t}{3} - \frac{C}{3}$ 를 지수 형태로 다시 씁니다. 만약 $x$ 와 $b$ 가 양의 실수와 $b \neq 1$ 이면, $\log_{b} (x) = y$ 는 $b^{y} = x$ 와 같습니다.

$e^{- \frac{t}{3} - \frac{C}{3}} = | 13.6 - \frac{v}{2} |$

단계 3.4

$v$ 에 대해 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.4.1

$| 13.6 - \frac{v}{2} | = e^{- \frac{t}{3} - \frac{C}{3}}$ 로 방정식을 다시 씁니다.

$| 13.6 - \frac{v}{2} | = e^{- \frac{t}{3} - \frac{C}{3}}$

단계 3.4.2

절대값의 항을 제거합니다. $| x | = \pm x$ 이므로 방정식 우변에 $\pm$ 이 생깁니다.

$13.6 - \frac{v}{2} = \pm e^{- \frac{t}{3} - \frac{C}{3}}$

단계 3.4.3

방정식의 양변에서 $13.6$ 를 뺍니다.

$- \frac{v}{2} = \pm e^{- \frac{t}{3} - \frac{C}{3}} - 13.6$

단계 3.4.4

방정식의 양변에 $- 2$ 을 곱합니다.

$- 2 (- \frac{v}{2}) = - 2 (\pm e^{- \frac{t}{3} - \frac{C}{3}} - 13.6)$

단계 3.4.5

방정식의 양변을 간단히 정리합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.4.5.1

좌변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.4.5.1.1

$- 2 (- \frac{v}{2})$ 을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.4.5.1.1.1

$2$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.4.5.1.1.1.1

$- \frac{v}{2}$ 의 마이너스 부호를 분자로 이동합니다.

$- 2 \frac{- v}{2} = - 2 (\pm e^{- \frac{t}{3} - \frac{C}{3}} - 13.6)$

단계 3.4.5.1.1.1.2

$- 2$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$2 (- 1) \frac{- v}{2} = - 2 (\pm e^{- \frac{t}{3} - \frac{C}{3}} - 13.6)$

단계 3.4.5.1.1.1.3

공약수로 약분합니다.

$2 \cdot - 1 \frac{- v}{2} = - 2 (\pm e^{- \frac{t}{3} - \frac{C}{3}} - 13.6)$

단계 3.4.5.1.1.1.4

수식을 다시 씁니다.

$- - v = - 2 (\pm e^{- \frac{t}{3} - \frac{C}{3}} - 13.6)$

단계 3.4.5.1.1.2

곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.4.5.1.1.2.1

$- 1$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$1 v = - 2 (\pm e^{- \frac{t}{3} - \frac{C}{3}} - 13.6)$

단계 3.4.5.1.1.2.2

$v$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$v = - 2 (\pm e^{- \frac{t}{3} - \frac{C}{3}} - 13.6)$

단계 3.4.5.2

우변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.4.5.2.1

$- 2 (\pm e^{- \frac{t}{3} - \frac{C}{3}} - 13.6)$ 을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.4.5.2.1.1

분배 법칙을 적용합니다.

$v = - 2 (\pm e^{- \frac{t}{3} - \frac{C}{3}}) - 2 \cdot - 13.6$

단계 3.4.5.2.1.2

$- 2$ 에 $- 13.6$ 을 곱합니다.

$v = - 2 (\pm e^{- \frac{t}{3} - \frac{C}{3}}) + 27.2$

단계 3.4.6

$- \frac{t}{3}$ 와 $- \frac{C}{3}$ 을 다시 정렬합니다.

$v = - 2 (\pm e^{- \frac{C}{3} - \frac{t}{3}}) + 27.2$

단계 4

상수 항을 하나로 묶습니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.1

적분 상수를 간단히 합니다.

$v = - 2 (\pm e^{C - \frac{t}{3}}) + 27.2$

단계 4.2

항을 다시 정렬합니다.

$v = - 2 (\pm e^{- \frac{t}{3} + C}) + 27.2$

단계 4.3

$e^{- \frac{t}{3} + C}$ 을 $e^{- \frac{t}{3}} e^{C}$ 로 바꿔 씁니다.

$v = - 2 (\pm e^{- \frac{t}{3}} e^{C}) + 27.2$

단계 4.4

$e^{- \frac{t}{3}}$ 와 $e^{C}$ 을 다시 정렬합니다.

$v = - 2 (\pm e^{C} e^{- \frac{t}{3}}) + 27.2$

단계 4.5

양 또는 음의 상수를 결합합니다.

$v = - 2 (C e^{- \frac{t}{3}}) + 27.2$