미적분 예제

$(2 x + Y) d x + (2 Y + x) d y = 0$

단계 1

방정식의 양변에서 $(2 x + Y) d x$ 를 뺍니다.

$(2 Y + x) d y = - (2 x + Y) d x$

단계 2

양변에 $\frac{1}{2 Y + x}$ 을 곱합니다.

$\frac{1}{2 Y + x} (2 Y + x) d y = \frac{1}{2 Y + x} (- (2 x + Y)) d x$

단계 3

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.1

$2 Y + x$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.1.1

공약수로 약분합니다.

$\frac{1}{2 Y + x} (2 Y + x) d y = \frac{1}{2 Y + x} (- (2 x + Y)) d x$

단계 3.1.2

수식을 다시 씁니다.

$1 d y = \frac{1}{2 Y + x} (- (2 x + Y)) d x$

단계 3.2

곱셈의 교환법칙을 사용하여 다시 씁니다.

$1 d y = - \frac{1}{2 Y + x} (2 x + Y) d x$

단계 3.3

분배 법칙을 적용합니다.

$1 d y = (- \frac{1}{2 Y + x} (2 x) - \frac{1}{2 Y + x} Y) d x$

단계 3.4

$- \frac{1}{2 Y + x} (2 x)$ 을 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.4.1

$2$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$1 d y = (- 2 \frac{1}{2 Y + x} x - \frac{1}{2 Y + x} Y) d x$

단계 3.4.2

$- 2$ 와 $\frac{1}{2 Y + x}$ 을 묶습니다.

$1 d y = (\frac{- 2}{2 Y + x} x - \frac{1}{2 Y + x} Y) d x$

단계 3.4.3

$\frac{- 2}{2 Y + x}$ 와 $x$ 을 묶습니다.

$1 d y = (\frac{- 2 x}{2 Y + x} - \frac{1}{2 Y + x} Y) d x$

단계 3.5

$Y$ 와 $\frac{1}{2 Y + x}$ 을 묶습니다.

$1 d y = (\frac{- 2 x}{2 Y + x} - \frac{Y}{2 Y + x}) d x$

단계 3.6

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$1 d y = \frac{- 2 x - Y}{2 Y + x} d x$

단계 3.7

$- 2 x$ 에서 $- 1$ 를 인수분해합니다.

$1 d y = \frac{- (2 x) - Y}{2 Y + x} d x$

단계 3.8

$- Y$ 에서 $- 1$ 를 인수분해합니다.

$1 d y = \frac{- (2 x) - (Y)}{2 Y + x} d x$

단계 3.9

$- (2 x) - (Y)$ 에서 $- 1$ 를 인수분해합니다.

$1 d y = \frac{- (2 x + Y)}{2 Y + x} d x$

단계 3.10

$- (2 x + Y)$ 을 $- 1 (2 x + Y)$ 로 바꿔 씁니다.

$1 d y = \frac{- 1 (2 x + Y)}{2 Y + x} d x$

단계 3.11

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$1 d y = - \frac{2 x + Y}{2 Y + x} d x$

단계 4

양변을 적분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.1

각 변의 적분을 구합니다.

$\int d y = \int - \frac{2 x + Y}{2 Y + x} d x$

단계 4.2

상수 규칙을 적용합니다.

$y + C_{1} = \int - \frac{2 x + Y}{2 Y + x} d x$

단계 4.3

우변을 적분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.3.1

$- 1$ 은 $x$ 에 대해 상수이므로, $- 1$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$y + C_{1} = - \int \frac{2 x + Y}{2 Y + x} d x$

단계 4.3.2

먼저 $u = 2 Y + x$ 로 정의합니다. 그러면 $d u = d x$ 가 됩니다. 이 식을 $u$ 와 $d$ $u$ 를 이용하여 다시 씁니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.3.2.1

$u = 2 Y + x$ 로 둡니다. $\frac{d u}{d x}$ 를 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.3.2.1.1

$2 Y + x$ 를 미분합니다.

$\frac{d}{d x} [2 Y + x]$

단계 4.3.2.1.2

합의 법칙에 의해 $2 Y + x$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [2 Y] + \frac{d}{d x} [x]$ 가 됩니다.

$\frac{d}{d x} [2 Y] + \frac{d}{d x} [x]$

단계 4.3.2.1.3

$2 Y$ 이 $x$ 에 대해 일정하므로, $2 Y$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $2 Y$ 입니다.

$0 + \frac{d}{d x} [x]$

단계 4.3.2.1.4

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$0 + 1$

단계 4.3.2.1.5

$0$ 를 $1$ 에 더합니다.

$1$

단계 4.3.2.2

$u$ 와 $d u$ 를 사용해 문제를 바꿔 씁니다.

$y + C_{1} = - \int \frac{2 (u - 2 Y) + Y}{u} d u$

단계 4.3.3

분수를 여러 개의 분수로 나눕니다.

$y + C_{1} = - \int \frac{2 (u - 2 Y)}{u} + \frac{Y}{u} d u$

단계 4.3.4

하나의 적분을 여러 개의 적분으로 나눕니다.

$y + C_{1} = - (\int \frac{2 (u - 2 Y)}{u} d u + \int \frac{Y}{u} d u)$

단계 4.3.5

$2$ 은 $u$ 에 대해 상수이므로, $2$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$y + C_{1} = - (2 \int \frac{u - 2 Y}{u} d u + \int \frac{Y}{u} d u)$

단계 4.3.6

분수를 여러 개의 분수로 나눕니다.

$y + C_{1} = - (2 \int \frac{u}{u} + \frac{- 2 Y}{u} d u + \int \frac{Y}{u} d u)$

단계 4.3.7

하나의 적분을 여러 개의 적분으로 나눕니다.

$y + C_{1} = - (2 (\int \frac{u}{u} d u + \int \frac{- 2 Y}{u} d u) + \int \frac{Y}{u} d u)$

단계 4.3.8

$u$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.3.8.1

공약수로 약분합니다.

$y + C_{1} = - (2 (\int \frac{u}{u} d u + \int \frac{- 2 Y}{u} d u) + \int \frac{Y}{u} d u)$

단계 4.3.8.2

수식을 다시 씁니다.

$y + C_{1} = - (2 (\int d u + \int \frac{- 2 Y}{u} d u) + \int \frac{Y}{u} d u)$

단계 4.3.9

상수 규칙을 적용합니다.

$y + C_{1} = - (2 (u + C_{2} + \int \frac{- 2 Y}{u} d u) + \int \frac{Y}{u} d u)$

단계 4.3.10

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$y + C_{1} = - (2 (u + C_{2} + \int - \frac{2 Y}{u} d u) + \int \frac{Y}{u} d u)$

단계 4.3.11

$- 1$ 은 $u$ 에 대해 상수이므로, $- 1$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$y + C_{1} = - (2 (u + C_{2} - \int \frac{2 Y}{u} d u) + \int \frac{Y}{u} d u)$

단계 4.3.12

$2 Y$ 은 $u$ 에 대해 상수이므로, $2 Y$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$y + C_{1} = - (2 (u + C_{2} - (2 Y \int \frac{1}{u} d u)) + \int \frac{Y}{u} d u)$

단계 4.3.13

$\frac{1}{u}$ 를 $u$ 에 대해 적분하면 $\ln (| u |)$ 입니다.

$y + C_{1} = - (2 (u + C_{2} - (2 Y (\ln (| u |) + C_{3}))) + \int \frac{Y}{u} d u)$

단계 4.3.14

$2$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$y + C_{1} = - (2 (u + C_{2} - 2 Y (\ln (| u |) + C_{3})) + \int \frac{Y}{u} d u)$

단계 4.3.15

$Y$ 은 $u$ 에 대해 상수이므로, $Y$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$y + C_{1} = - (2 (u + C_{2} - 2 Y (\ln (| u |) + C_{3})) + Y \int \frac{1}{u} d u)$

단계 4.3.16

$\frac{1}{u}$ 를 $u$ 에 대해 적분하면 $\ln (| u |)$ 입니다.

$y + C_{1} = - (2 (u + C_{2} - 2 Y (\ln (| u |) + C_{3})) + Y (\ln (| u |) + C_{4}))$

단계 4.3.17

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.3.17.1

간단히 합니다.

$y + C_{1} = - (2 u - 4 Y \ln (| u |) + Y \ln (| u |)) + C_{5}$

단계 4.3.17.2

$- 4 Y \ln (| u |)$ 를 $Y \ln (| u |)$ 에 더합니다.

$y + C_{1} = - (2 u - 3 Y \ln (| u |)) + C_{5}$

단계 4.3.18

$u$ 를 모두 $2 Y + x$ 로 바꿉니다.

$y + C_{1} = - (2 (2 Y + x) - 3 Y \ln (| 2 Y + x |)) + C_{5}$

단계 4.3.19

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.3.19.1

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.3.19.1.1

분배 법칙을 적용합니다.

$y + C_{1} = - (2 (2 Y) + 2 x - 3 Y \ln (| 2 Y + x |)) + C_{5}$

단계 4.3.19.1.2

$2$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$y + C_{1} = - (4 Y + 2 x - 3 Y \ln (| 2 Y + x |)) + C_{5}$

단계 4.3.19.2

분배 법칙을 적용합니다.

$y + C_{1} = - (4 Y) - (2 x) - (- 3 Y \ln (| 2 Y + x |)) + C_{5}$

단계 4.3.19.3

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.3.19.3.1

$4$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$y + C_{1} = - 4 Y - (2 x) - (- 3 Y \ln (| 2 Y + x |)) + C_{5}$

단계 4.3.19.3.2

$2$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$y + C_{1} = - 4 Y - 2 x - (- 3 Y \ln (| 2 Y + x |)) + C_{5}$

단계 4.3.19.3.3

$- 3$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$y + C_{1} = - 4 Y - 2 x + 3 (Y \ln (| 2 Y + x |)) + C_{5}$

$y + C_{1} = - 4 Y - 2 x + 3 Y \ln (| 2 Y + x |) + C_{5}$

단계 4.3.20

항을 다시 정렬합니다.

$y + C_{1} = - 4 Y + 3 Y \ln (| 2 Y + x |) - 2 x + C_{5}$

단계 4.4

우변에 적분 상수를 $C$ 로 묶습니다.

$y = - 4 Y + 3 Y \ln (| 2 Y + x |) - 2 x + C$