미적분 예제

$\frac{d^{2} y}{d x^{2}} + y = \cos (x)$

단계 1

모든 해는 $y = e^{r x}$ 형식인 것으로 가정합니다.

단계 2

$\frac{d^{2} y}{d x^{2}} + y = \cos (x)$ 에 대한 특성 방정식을 구합니다.

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단계 2.1

1차 도함수를 구합니다.

$\frac{d y}{d x} = r e^{r x}$

단계 2.2

2차 도함수를 구합니다

$\frac{d^{2} y}{d x^{2}} = r^{2} e^{r x}$

단계 2.3

미분 방정식에 대입합니다.

$r^{2} e^{r x} + e^{r x} = \cos (x)$

단계 2.4

$e^{r x}$ 로 인수분해합니다.

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단계 2.4.1

$r^{2} e^{r x}$ 에서 $e^{r x}$ 를 인수분해합니다.

$e^{r x} r^{2} + e^{r x} = \cos (x)$

단계 2.4.2

$1$ 을 곱합니다.

$e^{r x} r^{2} + e^{r x} \cdot 1 = \cos (x)$

단계 2.4.3

$e^{r x} r^{2} + e^{r x} \cdot 1$ 에서 $e^{r x}$ 를 인수분해합니다.

$e^{r x} (r^{2} + 1) = \cos (x)$

단계 2.5

지수는 절대 0이 될 수 없으므로 양쪽을 $e^{r x}$ 으로 나눕니다.

$r^{2} + 1 = \cos (x)$

단계 3

$r$ 에 대해 풉니다.

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단계 3.1

방정식의 양변에서 $1$ 를 뺍니다.

$r^{2} = \cos (x) - 1$

단계 3.2

좌변의 지수를 소거하기 위하여 방정식의 양변에 지정된 제곱근을 취합니다.

$r = \pm \sqrt{\cos (x) - 1}$

단계 3.3

해의 양수와 음수 부분 모두 최종 해가 됩니다.

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단계 3.3.1

먼저, $\pm$ 의 양의 값을 이용하여 첫 번째 해를 구합니다.

$r = \sqrt{\cos (x) - 1}$

단계 3.3.2

그 다음 $\pm$ 의 마이너스 값을 사용하여 두 번째 해를 구합니다.

$r = - \sqrt{\cos (x) - 1}$

단계 3.3.3

해의 양수와 음수 부분 모두 최종 해가 됩니다.

$r = \sqrt{\cos (x) - 1}$

$r = - \sqrt{\cos (x) - 1}$

$r = \sqrt{\cos (x) - 1}$

$r = - \sqrt{\cos (x) - 1}$

$r = \sqrt{\cos (x) - 1}$

$r = - \sqrt{\cos (x) - 1}$

단계 4

$r$ 의 구한 값 두 개를 사용하여 두 개의 해를 구성할 수 있습니다.

$y_{1} = e^{\sqrt{\cos (x) - 1} x}$

$y_{2} = e^{- \sqrt{\cos (x) - 1} x}$

단계 5

중첩 원리에 의해 일반해는 2계 동차 선형 미분 방정식에 대한 두 해의 선형 결합입니다.

$y = c_{1} e^{\sqrt{\cos (x) - 1} x} + c_{2} e^{- \sqrt{\cos (x) - 1} x}$