미적분 예제

$\frac{d y}{d x} + \frac{2 x + 1}{x} y = e^{- 2 x}$

단계 1

적분 인수는 $e^{\int P (x) d x}$ 공식으로 정의됩니다. 여기서는 $P (x) = \frac{2 x + 1}{x}$ 입니다.

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단계 1.1

적분을 구합니다.

$e^{\int \frac{2 x + 1}{x} d x}$

단계 1.2

$\frac{2 x + 1}{x}$ 를 적분합니다.

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단계 1.2.1

분수를 여러 개의 분수로 나눕니다.

$e^{\int \frac{2 x}{x} + \frac{1}{x} d x}$

단계 1.2.2

하나의 적분을 여러 개의 적분으로 나눕니다.

$e^{\int \frac{2 x}{x} d x + \int \frac{1}{x} d x}$

단계 1.2.3

$x$ 의 공약수로 약분합니다.

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단계 1.2.3.1

공약수로 약분합니다.

$e^{\int \frac{2 x}{x} d x + \int \frac{1}{x} d x}$

단계 1.2.3.2

$2$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$e^{\int 2 d x + \int \frac{1}{x} d x}$

단계 1.2.4

상수 규칙을 적용합니다.

$e^{2 x + C + \int \frac{1}{x} d x}$

단계 1.2.5

$\frac{1}{x}$ 를 $x$ 에 대해 적분하면 $\ln (| x |)$ 입니다.

$e^{2 x + C + \ln (| x |) + C}$

단계 1.2.6

간단히 합니다.

$e^{2 x + \ln (| x |) + C}$

단계 1.3

적분 상수를 소거합니다.

$e^{2 x + \ln (x)}$

단계 2

각 항에 적분 인수 $e^{2 x + \ln (x)}$ 을 곱합니다.

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단계 2.1

각 항에 $e^{2 x + \ln (x)}$ 을 곱합니다.

$e^{2 x + \ln (x)} \frac{d y}{d x} + e^{2 x + \ln (x)} (\frac{2 x + 1}{x} y) = e^{2 x + \ln (x)} e^{- 2 x}$

단계 2.2

각 항을 간단히 합니다.

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단계 2.2.1

$\frac{2 x + 1}{x}$ 와 $y$ 을 묶습니다.

$e^{2 x + \ln (x)} \frac{d y}{d x} + e^{2 x + \ln (x)} \frac{(2 x + 1) y}{x} = e^{2 x + \ln (x)} e^{- 2 x}$

단계 2.2.2

$e^{2 x + \ln (x)}$ 와 $\frac{(2 x + 1) y}{x}$ 을 묶습니다.

$e^{2 x + \ln (x)} \frac{d y}{d x} + \frac{e^{2 x + \ln (x)} (2 x + 1) y}{x} = e^{2 x + \ln (x)} e^{- 2 x}$

단계 2.3

공통 분모를 가지는 분수로 $e^{2 x + \ln (x)} \frac{d y}{d x}$ 을 표현하기 위해 $\frac{x}{x}$ 을 곱합니다.

$\frac{e^{2 x + \ln (x)} \frac{d y}{d x} x}{x} + \frac{e^{2 x + \ln (x)} (2 x + 1) y}{x} = e^{2 x + \ln (x)} e^{- 2 x}$

단계 2.4

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$\frac{e^{2 x + \ln (x)} \frac{d y}{d x} x + e^{2 x + \ln (x)} (2 x + 1) y}{x} = e^{2 x + \ln (x)} e^{- 2 x}$

단계 2.5

분자를 간단히 합니다.

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단계 2.5.1

$e^{2 x + \ln (x)} \frac{d y}{d x} x + e^{2 x + \ln (x)} (2 x + 1) y$ 에서 $e^{2 x + \ln (x)}$ 를 인수분해합니다.

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단계 2.5.1.1

$e^{2 x + \ln (x)} \frac{d y}{d x} x$ 에서 $e^{2 x + \ln (x)}$ 를 인수분해합니다.

$\frac{e^{2 x + \ln (x)} (\frac{d y}{d x} x) + e^{2 x + \ln (x)} (2 x + 1) y}{x} = e^{2 x + \ln (x)} e^{- 2 x}$

단계 2.5.1.2

$e^{2 x + \ln (x)} (2 x + 1) y$ 에서 $e^{2 x + \ln (x)}$ 를 인수분해합니다.

$\frac{e^{2 x + \ln (x)} (\frac{d y}{d x} x) + e^{2 x + \ln (x)} ((2 x + 1) y)}{x} = e^{2 x + \ln (x)} e^{- 2 x}$

단계 2.5.1.3

$e^{2 x + \ln (x)} (\frac{d y}{d x} x) + e^{2 x + \ln (x)} ((2 x + 1) y)$ 에서 $e^{2 x + \ln (x)}$ 를 인수분해합니다.

$\frac{e^{2 x + \ln (x)} (\frac{d y}{d x} x + (2 x + 1) y)}{x} = e^{2 x + \ln (x)} e^{- 2 x}$

단계 2.5.2

분배 법칙을 적용합니다.

$\frac{e^{2 x + \ln (x)} (\frac{d y}{d x} x + 2 x y + 1 y)}{x} = e^{2 x + \ln (x)} e^{- 2 x}$

단계 2.5.3

$y$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$\frac{e^{2 x + \ln (x)} (\frac{d y}{d x} x + 2 x y + y)}{x} = e^{2 x + \ln (x)} e^{- 2 x}$

단계 2.6

지수를 더하여 $e^{2 x + \ln (x)}$ 에 $e^{- 2 x}$ 을 곱합니다.

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단계 2.6.1

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$\frac{e^{2 x + \ln (x)} (\frac{d y}{d x} x + 2 x y + y)}{x} = e^{2 x + \ln (x) - 2 x}$

단계 2.6.2

$2 x + \ln (x) - 2 x$ 의 반대 항을 묶습니다.

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단계 2.6.2.1

$2 x$ 에서 $2 x$ 을 뺍니다.

$\frac{e^{2 x + \ln (x)} (\frac{d y}{d x} x + 2 x y + y)}{x} = e^{0 + \ln (x)}$

단계 2.6.2.2

$0$ 를 $\ln (x)$ 에 더합니다.

$\frac{e^{2 x + \ln (x)} (\frac{d y}{d x} x + 2 x y + y)}{x} = e^{\ln (x)}$

단계 2.7

지수와 로그는 역함수 관계입니다.

$\frac{e^{2 x + \ln (x)} (\frac{d y}{d x} x + 2 x y + y)}{x} = x$

단계 2.8

$\frac{e^{2 x + \ln (x)} (\frac{d y}{d x} x + 2 x y + y)}{x} = x$ 에서 인수를 다시 정렬합니다.

$\frac{e^{2 x + \ln (x)} (x \frac{d y}{d x} + 2 x y + y)}{x} = x$

단계 3

곱을 미분한 결과로 좌변을 다시 씁니다.

$\frac{d}{d x} [e^{2 x + \ln (x)} y] = x$

단계 4

각 변의 적분을 구합니다.

$\int \frac{d}{d x} [e^{2 x + \ln (x)} y] d x = \int x d x$

단계 5

좌변을 적분합니다.

$e^{2 x + \ln (x)} y = \int x d x$

단계 6

멱의 법칙에 의해 $x$ 를 $x$ 에 대해 적분하면 $\frac{1}{2} x^{2}$ 가 됩니다.

$e^{2 x + \ln (x)} y = \frac{1}{2} x^{2} + C$

단계 7

$e^{2 x + \ln (x)} y = \frac{1}{2} x^{2} + C$ 의 각 항을 $e^{2 x + \ln (x)}$ 로 나누고 식을 간단히 합니다.

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단계 7.1

$e^{2 x + \ln (x)} y = \frac{1}{2} x^{2} + C$ 의 각 항을 $e^{2 x + \ln (x)}$ 로 나눕니다.

$\frac{e^{2 x + \ln (x)} y}{e^{2 x + \ln (x)}} = \frac{\frac{1}{2} x^{2}}{e^{2 x + \ln (x)}} + \frac{C}{e^{2 x + \ln (x)}}$

단계 7.2

좌변을 간단히 합니다.

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단계 7.2.1

$e^{2 x + \ln (x)}$ 의 공약수로 약분합니다.

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단계 7.2.1.1

공약수로 약분합니다.

$\frac{e^{2 x + \ln (x)} y}{e^{2 x + \ln (x)}} = \frac{\frac{1}{2} x^{2}}{e^{2 x + \ln (x)}} + \frac{C}{e^{2 x + \ln (x)}}$

단계 7.2.1.2

$y$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$y = \frac{\frac{1}{2} x^{2}}{e^{2 x + \ln (x)}} + \frac{C}{e^{2 x + \ln (x)}}$

단계 7.3

우변을 간단히 합니다.

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단계 7.3.1

각 항을 간단히 합니다.

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단계 7.3.1.1

$\frac{1}{2}$ 와 $x^{2}$ 을 묶습니다.

$y = \frac{\frac{x^{2}}{2}}{e^{2 x + \ln (x)}} + \frac{C}{e^{2 x + \ln (x)}}$

단계 7.3.1.2

분자에 분모의 역수를 곱합니다.

$y = \frac{x^{2}}{2} \cdot \frac{1}{e^{2 x + \ln (x)}} + \frac{C}{e^{2 x + \ln (x)}}$

단계 7.3.1.3

조합합니다.

$y = \frac{x^{2} \cdot 1}{2 e^{2 x + \ln (x)}} + \frac{C}{e^{2 x + \ln (x)}}$

단계 7.3.1.4

$x^{2}$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$y = \frac{x^{2}}{2 e^{2 x + \ln (x)}} + \frac{C}{e^{2 x + \ln (x)}}$