미적분 예제

$x^{2} (y d) y - (x + 1) (y + 1) d x = 0$

단계 1

방정식의 양변에 $(x + 1) (y + 1) d x$ 를 더합니다.

$x^{2} y d y = (x + 1) (y + 1) d x$

단계 2

양변에 $\frac{1}{x^{2} (y + 1)}$ 을 곱합니다.

$\frac{1}{x^{2} (y + 1)} (x^{2} y) d y = \frac{1}{x^{2} (y + 1)} ((x + 1) (y + 1)) d x$

단계 3

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.1

$x^{2}$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.1.1

$x^{2} y$ 에서 $x^{2}$ 를 인수분해합니다.

$\frac{1}{x^{2} (y + 1)} (x^{2} (y)) d y = \frac{1}{x^{2} (y + 1)} ((x + 1) (y + 1)) d x$

단계 3.1.2

공약수로 약분합니다.

$\frac{1}{x^{2} (y + 1)} (x^{2} y) d y = \frac{1}{x^{2} (y + 1)} ((x + 1) (y + 1)) d x$

단계 3.1.3

수식을 다시 씁니다.

$\frac{1}{y + 1} y d y = \frac{1}{x^{2} (y + 1)} ((x + 1) (y + 1)) d x$

단계 3.2

$\frac{1}{y + 1}$ 와 $y$ 을 묶습니다.

$\frac{y}{y + 1} d y = \frac{1}{x^{2} (y + 1)} ((x + 1) (y + 1)) d x$

단계 3.3

$y + 1$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.3.1

$x^{2} (y + 1)$ 에서 $y + 1$ 를 인수분해합니다.

$\frac{y}{y + 1} d y = \frac{1}{(y + 1) x^{2}} ((x + 1) (y + 1)) d x$

단계 3.3.2

$(x + 1) (y + 1)$ 에서 $y + 1$ 를 인수분해합니다.

$\frac{y}{y + 1} d y = \frac{1}{(y + 1) x^{2}} ((y + 1) (x + 1)) d x$

단계 3.3.3

공약수로 약분합니다.

$\frac{y}{y + 1} d y = \frac{1}{(y + 1) x^{2}} ((y + 1) (x + 1)) d x$

단계 3.3.4

수식을 다시 씁니다.

$\frac{y}{y + 1} d y = \frac{1}{x^{2}} (x + 1) d x$

단계 3.4

$\frac{1}{x^{2}}$ 에 $x + 1$ 을 곱합니다.

$\frac{y}{y + 1} d y = \frac{x + 1}{x^{2}} d x$

단계 4

양변을 적분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.1

각 변의 적분을 구합니다.

$\int \frac{y}{y + 1} d y = \int \frac{x + 1}{x^{2}} d x$

단계 4.2

좌변을 적분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.2.1

$y$ 을 $y + 1$ 로 나눕니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.2.1.1

다항식을 나눗셈 형태로 적습니다. 각 지수에 대하여 항이 없는 경우 값이 $0$ 인 항을 삽입합니다.

$y$

$1$

$y$

$0$

단계 4.2.1.2

피제수 $y$ 의 고차항을 제수 $y$ 의 고차항으로 나눕니다.

					$1$
	$y$	+	$1$		$y$	+	$0$

단계 4.2.1.3

새로운 몫 값에 제수를 곱합니다.

				$1$
$y$	+	$1$		$y$	+	$0$
			+	$y$	+	$1$

단계 4.2.1.4

식을 피제수에서 빼야 하므로 $y + 1$ 의 모든 부호를 바꿉니다.

				$1$
$y$	+	$1$		$y$	+	$0$
			-	$y$	-	$1$

단계 4.2.1.5

부호를 바꾼 뒤, 곱한 다항식의 마지막 피제수를 더해 새로운 피제수를 구합니다.

				$1$
$y$	+	$1$		$y$	+	$0$
			-	$y$	-	$1$
					-	$1$

단계 4.2.1.6

최종 답은 몫에 제수 분의 나머지를 더한 값입니다.

$\int 1 - \frac{1}{y + 1} d y = \int \frac{x + 1}{x^{2}} d x$

단계 4.2.2

하나의 적분을 여러 개의 적분으로 나눕니다.

$\int d y + \int - \frac{1}{y + 1} d y = \int \frac{x + 1}{x^{2}} d x$

단계 4.2.3

상수 규칙을 적용합니다.

$y + C_{1} + \int - \frac{1}{y + 1} d y = \int \frac{x + 1}{x^{2}} d x$

단계 4.2.4

$- 1$ 은 $y$ 에 대해 상수이므로, $- 1$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$y + C_{1} - \int \frac{1}{y + 1} d y = \int \frac{x + 1}{x^{2}} d x$

단계 4.2.5

먼저 $u = y + 1$ 로 정의합니다. 그러면 $d u = d y$ 가 됩니다. 이 식을 $u$ 와 $d$ $u$ 를 이용하여 다시 씁니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.2.5.1

$u = y + 1$ 로 둡니다. $\frac{d u}{d y}$ 를 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.2.5.1.1

$y + 1$ 를 미분합니다.

$\frac{d}{d y} [y + 1]$

단계 4.2.5.1.2

합의 법칙에 의해 $y + 1$ 를 $y$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [1]$ 가 됩니다.

$\frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [1]$

단계 4.2.5.1.3

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ 는 $n y^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$1 + \frac{d}{d y} [1]$

단계 4.2.5.1.4

$1$ 이 $y$ 에 대해 일정하므로, $1$ 를 $y$ 에 대해 미분하면 $1$ 입니다.

$1 + 0$

단계 4.2.5.1.5

$1$ 를 $0$ 에 더합니다.

$1$

단계 4.2.5.2

$u$ 와 $d u$ 를 사용해 문제를 바꿔 씁니다.

$y + C_{1} - \int \frac{1}{u} d u = \int \frac{x + 1}{x^{2}} d x$

단계 4.2.6

$\frac{1}{u}$ 를 $u$ 에 대해 적분하면 $\ln (| u |)$ 입니다.

$y + C_{1} - (\ln (| u |) + C_{2}) = \int \frac{x + 1}{x^{2}} d x$

단계 4.2.7

간단히 합니다.

$y - \ln (| u |) + C_{3} = \int \frac{x + 1}{x^{2}} d x$

단계 4.2.8

$u$ 를 모두 $y + 1$ 로 바꿉니다.

$y - \ln (| y + 1 |) + C_{3} = \int \frac{x + 1}{x^{2}} d x$

단계 4.3

우변을 적분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.3.1

지수의 기본 법칙을 적용합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.3.1.1

$x^{2}$ 에 $- 1$ 승을 취하여 분모 밖으로 옮깁니다.

$y - \ln (| y + 1 |) + C_{3} = \int (x + 1) {(x^{2})}^{- 1} d x$

단계 4.3.1.2

${(x^{2})}^{- 1}$ 의 지수를 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.3.1.2.1

멱의 법칙을 적용하여 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 과 같이 지수를 곱합니다.

$y - \ln (| y + 1 |) + C_{3} = \int (x + 1) x^{2 \cdot - 1} d x$

단계 4.3.1.2.2

$2$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$y - \ln (| y + 1 |) + C_{3} = \int (x + 1) x^{- 2} d x$

단계 4.3.2

$(x + 1) x^{- 2}$ 을 곱합니다.

$y - \ln (| y + 1 |) + C_{3} = \int x \cdot x^{- 2} + 1 x^{- 2} d x$

단계 4.3.3

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.3.3.1

지수를 더하여 $x$ 에 $x^{- 2}$ 을 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.3.3.1.1

$x$ 에 $x^{- 2}$ 을 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.3.3.1.1.1

$x$ 를 $1$ 승 합니다.

$y - \ln (| y + 1 |) + C_{3} = \int x^{1} x^{- 2} + 1 x^{- 2} d x$

단계 4.3.3.1.1.2

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$y - \ln (| y + 1 |) + C_{3} = \int x^{1 - 2} + 1 x^{- 2} d x$

단계 4.3.3.1.2

$1$ 에서 $2$ 을 뺍니다.

$y - \ln (| y + 1 |) + C_{3} = \int x^{- 1} + 1 x^{- 2} d x$

단계 4.3.3.2

$x^{- 2}$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$y - \ln (| y + 1 |) + C_{3} = \int x^{- 1} + x^{- 2} d x$

단계 4.3.4

하나의 적분을 여러 개의 적분으로 나눕니다.

$y - \ln (| y + 1 |) + C_{3} = \int x^{- 1} d x + \int x^{- 2} d x$

단계 4.3.5

$x^{- 1}$ 를 $x$ 에 대해 적분하면 $\ln (| x |)$ 입니다.

$y - \ln (| y + 1 |) + C_{3} = \ln (| x |) + C_{4} + \int x^{- 2} d x$

단계 4.3.6

멱의 법칙에 의해 $x^{- 2}$ 를 $x$ 에 대해 적분하면 $- x^{- 1}$ 가 됩니다.

$y - \ln (| y + 1 |) + C_{3} = \ln (| x |) + C_{4} - x^{- 1} + C_{5}$

단계 4.3.7

간단히 합니다.

$y - \ln (| y + 1 |) + C_{3} = \ln (| x |) - \frac{1}{x} + C_{6}$

단계 4.3.8

항을 다시 정렬합니다.

$y - \ln (| y + 1 |) + C_{3} = - \frac{1}{x} + \ln (| x |) + C_{6}$

단계 4.4

우변에 적분 상수를 $C$ 로 묶습니다.

$y - \ln (| y + 1 |) = - \frac{1}{x} + \ln (| x |) + C$