미적분 예제

$(x - 2 y - 1) d x - (x - 3) d y = 0$

단계 1

$M (x, y) = x - 2 y - 1$ 인 $\frac{\partial M}{\partial y}$ 을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1

$y$ 에 대해 $M$ 을 미분합니다.

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [x - 2 y - 1]$

단계 1.2

미분합니다.

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단계 1.2.1

합의 법칙에 의해 $x - 2 y - 1$ 를 $y$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d y} [x] + \frac{d}{d y} [- 2 y] + \frac{d}{d y} [- 1]$ 가 됩니다.

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [x] + \frac{d}{d y} [- 2 y] + \frac{d}{d y} [- 1]$

단계 1.2.2

$x$ 이 $y$ 에 대해 일정하므로, $x$ 를 $y$ 에 대해 미분하면 $x$ 입니다.

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 + \frac{d}{d y} [- 2 y] + \frac{d}{d y} [- 1]$

단계 1.3

$\frac{d}{d y} [- 2 y]$ 의 값을 구합니다.

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단계 1.3.1

$- 2$ 은 $y$ 에 대해 일정하므로 $y$ 에 대한 $- 2 y$ 의 미분은 $- 2 \frac{d}{d y} [y]$ 입니다.

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 - 2 \frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [- 1]$

단계 1.3.2

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ 는 $n y^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 - 2 \cdot 1 + \frac{d}{d y} [- 1]$

단계 1.3.3

$- 2$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 - 2 + \frac{d}{d y} [- 1]$

단계 1.4

$- 1$ 이 $y$ 에 대해 일정하므로, $- 1$ 를 $y$ 에 대해 미분하면 $- 1$ 입니다.

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 - 2 + 0$

단계 1.5

항을 묶습니다.

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단계 1.5.1

$0$ 에서 $2$ 을 뺍니다.

$\frac{\partial M}{\partial y} = - 2 + 0$

단계 1.5.2

$- 2$ 를 $0$ 에 더합니다.

$\frac{\partial M}{\partial y} = - 2$

단계 2

$N (x, y) = - (x - 3)$ 인 $\frac{\partial N}{\partial x}$ 을 구합니다.

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단계 2.1

$x$ 에 대해 $N$ 을 미분합니다.

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [- (x - 3)]$

단계 2.2

$- 1$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $- (x - 3)$ 의 미분은 $- \frac{d}{d x} [x - 3]$ 입니다.

$\frac{\partial N}{\partial x} = - \frac{d}{d x} [x - 3]$

단계 2.3

합의 법칙에 의해 $x - 3$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 3]$ 가 됩니다.

$\frac{\partial N}{\partial x} = - (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 3])$

단계 2.4

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{\partial N}{\partial x} = - (1 + \frac{d}{d x} [- 3])$

단계 2.5

$- 3$ 이 $x$ 에 대해 일정하므로, $- 3$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $- 3$ 입니다.

$\frac{\partial N}{\partial x} = - (1 + 0)$

단계 2.6

식을 간단히 합니다.

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단계 2.6.1

$1$ 를 $0$ 에 더합니다.

$\frac{\partial N}{\partial x} = - 1 \cdot 1$

단계 2.6.2

$- 1$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$\frac{\partial N}{\partial x} = - 1$

단계 3

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$ 를 확인합니다.

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단계 3.1

$\frac{\partial M}{\partial y}$ 에 $- 2$ 을, $\frac{\partial N}{\partial x}$ 에 $- 1$ 을 대입합니다.

$- 2 = - 1$

단계 3.2

좌측 변이 우측 변과 같지 않으므로 이 방정식은 항등식이 아닙니다.

$- 2 = - 1$ 는 항등식이 아닙니다.

단계 4

적분 인수 $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial M}{\partial y} - \frac{\partial N}{\partial x}}{N} d x}$ 을 구합니다.

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단계 4.1

$\frac{\partial M}{\partial y}$ 에 $- 2$ 를 대입합니다.

$\frac{- 2 - \frac{\partial N}{\partial x}}{N}$

단계 4.2

$\frac{\partial N}{\partial x}$ 에 $- 1$ 를 대입합니다.

$\frac{- 2 + 1}{N}$

단계 4.3

$N$ 에 $- (x - 3)$ 를 대입합니다.

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단계 4.3.1

$N$ 에 $- (x - 3)$ 를 대입합니다.

$\frac{- 2 + 1}{- (x - 3)}$

단계 4.3.2

$- 2$ 를 $1$ 에 더합니다.

$\frac{- 1}{- (x - 3)}$

단계 4.3.3

두 음수를 나누면 양수가 나옵니다.

$\frac{1}{x - 3}$

단계 4.4

적분 인수 $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial M}{\partial y} - \frac{\partial N}{\partial x}}{N} d x}$ 을 구합니다.

$μ (x, y) = e^{\int \frac{1}{x - 3} d x}$

단계 5

적분 $e^{\int \frac{1}{x - 3} d x}$ 을 구합니다.

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단계 5.1

먼저 $u = x - 3$ 로 정의합니다. 그러면 $d u = d x$ 가 됩니다. 이 식을 $u$ 와 $d$ $u$ 를 이용하여 다시 씁니다.

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단계 5.1.1

$u = x - 3$ 로 둡니다. $\frac{d u}{d x}$ 를 구합니다.

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단계 5.1.1.1

$x - 3$ 를 미분합니다.

$\frac{d}{d x} [x - 3]$

단계 5.1.1.2

합의 법칙에 의해 $x - 3$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 3]$ 가 됩니다.

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 3]$

단계 5.1.1.3

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$1 + \frac{d}{d x} [- 3]$

단계 5.1.1.4

$- 3$ 이 $x$ 에 대해 일정하므로, $- 3$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $- 3$ 입니다.

$1 + 0$

단계 5.1.1.5

$1$ 를 $0$ 에 더합니다.

$1$

단계 5.1.2

$u$ 와 $d u$ 를 사용해 문제를 바꿔 씁니다.

$μ (x, y) = e^{\int \frac{1}{u} d u}$

단계 5.2

$\frac{1}{u}$ 를 $u$ 에 대해 적분하면 $\ln (| u |)$ 입니다.

$μ (x, y) = e^{\ln (| u |) + C}$

단계 5.3

간단히 합니다.

$μ (x, y) = e^{\ln (| u |)} + C$

단계 5.4

지수와 로그는 역함수 관계입니다.

$μ (x, y) = | u | + C$

단계 5.5

$u$ 를 모두 $x - 3$ 로 바꿉니다.

$μ (x, y) = | x - 3 | + C$

단계 6

$(x - 2 y - 1) d x - (x - 3) d y = 0$ 의 양변에 적분 인수 $x - 3$ 를 곱합니다.

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단계 6.1

$x - 2 y - 1$ 에 $x - 3$ 을 곱합니다.

$(x - 2 y - 1) (x - 3) d x - (x - 3) d y = 0$

단계 6.2

첫 번째 수식의 항과 두 번째 수식의 항을 각각 곱하여 $(x - 2 y - 1) (x - 3)$ 를 전개합니다.

$(x \cdot x + x \cdot - 3 - 2 y x - 2 y \cdot - 3 - 1 x - 1 \cdot - 3) d x - (x - 3) d y = 0$

단계 6.3

각 항을 간단히 합니다.

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단계 6.3.1

$x$ 에 $x$ 을 곱합니다.

$(x^{2} + x \cdot - 3 - 2 y x - 2 y \cdot - 3 - 1 x - 1 \cdot - 3) d x - (x - 3) d y = 0$

단계 6.3.2

$x$ 의 왼쪽으로 $- 3$ 이동하기

$(x^{2} - 3 \cdot x - 2 y x - 2 y \cdot - 3 - 1 x - 1 \cdot - 3) d x - (x - 3) d y = 0$

단계 6.3.3

$- 3$ 에 $- 2$ 을 곱합니다.

$(x^{2} - 3 x - 2 y x + 6 y - 1 x - 1 \cdot - 3) d x - (x - 3) d y = 0$

단계 6.3.4

$- 1 x$ 을 $- x$ 로 바꿔 씁니다.

$(x^{2} - 3 x - 2 y x + 6 y - x - 1 \cdot - 3) d x - (x - 3) d y = 0$

단계 6.3.5

$- 1$ 에 $- 3$ 을 곱합니다.

$(x^{2} - 3 x - 2 y x + 6 y - x + 3) d x - (x - 3) d y = 0$

단계 6.4

$- 3 x$ 에서 $x$ 을 뺍니다.

$(x^{2} - 4 x - 2 y x + 6 y + 3) d x - (x - 3) d y = 0$

단계 6.5

$- (x - 3)$ 에 $x - 3$ 을 곱합니다.

$(x^{2} - 4 x - 2 y x + 6 y + 3) d x - (x - 3) (x - 3) d y = 0$

단계 6.6

분배 법칙을 적용합니다.

$(x^{2} - 4 x - 2 y x + 6 y + 3) d x + (- x - - 3) (x - 3) d y = 0$

단계 6.7

$- 1$ 에 $- 3$ 을 곱합니다.

$(x^{2} - 4 x - 2 y x + 6 y + 3) d x + (- x + 3) (x - 3) d y = 0$

단계 6.8

FOIL 계산법을 이용하여 $(- x + 3) (x - 3)$ 를 전개합니다.

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단계 6.8.1

분배 법칙을 적용합니다.

$(x^{2} - 4 x - 2 y x + 6 y + 3) d x + (- x (x - 3) + 3 (x - 3)) d y = 0$

단계 6.8.2

분배 법칙을 적용합니다.

$(x^{2} - 4 x - 2 y x + 6 y + 3) d x + (- x \cdot x - x \cdot - 3 + 3 (x - 3)) d y = 0$

단계 6.8.3

분배 법칙을 적용합니다.

$(x^{2} - 4 x - 2 y x + 6 y + 3) d x + (- x \cdot x - x \cdot - 3 + 3 x + 3 \cdot - 3) d y = 0$

단계 6.9

동류항끼리 묶고 식을 간단히 합니다.

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단계 6.9.1

각 항을 간단히 합니다.

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단계 6.9.1.1

지수를 더하여 $x$ 에 $x$ 을 곱합니다.

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단계 6.9.1.1.1

$x$ 를 옮깁니다.

$(x^{2} - 4 x - 2 y x + 6 y + 3) d x + (- (x \cdot x) - x \cdot - 3 + 3 x + 3 \cdot - 3) d y = 0$

단계 6.9.1.1.2

$x$ 에 $x$ 을 곱합니다.

$(x^{2} - 4 x - 2 y x + 6 y + 3) d x + (- x^{2} - x \cdot - 3 + 3 x + 3 \cdot - 3) d y = 0$

단계 6.9.1.2

$- 3$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$(x^{2} - 4 x - 2 y x + 6 y + 3) d x + (- x^{2} + 3 x + 3 x + 3 \cdot - 3) d y = 0$

단계 6.9.1.3

$3$ 에 $- 3$ 을 곱합니다.

$(x^{2} - 4 x - 2 y x + 6 y + 3) d x + (- x^{2} + 3 x + 3 x - 9) d y = 0$

단계 6.9.2

$3 x$ 를 $3 x$ 에 더합니다.

$(x^{2} - 4 x - 2 y x + 6 y + 3) d x + (- x^{2} + 6 x - 9) d y = 0$

단계 7

집합 $f (x, y)$ 을 $N (x, y)$ 의 적분과 같게 둡니다.

$f (x, y) = \int - x^{2} + 6 x - 9 d y$

단계 8

$N (x, y) = - x^{2} + 6 x - 9$ 을 적분하여 $f (x, y)$ 을 구합니다.

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단계 8.1

상수 규칙을 적용합니다.

$f (x, y) = (- x^{2} + 6 x - 9) y + C$

단계 9

$g (x)$ 의 적분에 적분 상수가 있으므로 $C$ 에 $g (x)$ 을 대입할 수 있습니다.

$f (x, y) = (- x^{2} + 6 x - 9) y + g (x)$

단계 10

$\frac{\partial f}{\partial x} = M (x, y)$ 으로 둡니다.

$\frac{\partial f}{\partial x} = x^{2} - 4 x - 2 y x + 6 y + 3$

단계 11

$\frac{\partial f}{\partial x}$ 를 구합니다.

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단계 11.1

$x$ 에 대해 $f$ 을 미분합니다.

$\frac{d}{d x} [(- x^{2} + 6 x - 9) y + g (x)] = x^{2} - 4 x - 2 y x + 6 y + 3$

단계 11.2

합의 법칙에 의해 $(- x^{2} + 6 x - 9) y + g (x)$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [(- x^{2} + 6 x - 9) y] + \frac{d}{d x} [g (x)]$ 가 됩니다.

$\frac{d}{d x} [(- x^{2} + 6 x - 9) y] + \frac{d}{d x} [g (x)] = x^{2} - 4 x - 2 y x + 6 y + 3$

단계 11.3

$\frac{d}{d x} [(- x^{2} + 6 x - 9) y]$ 의 값을 구합니다.

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단계 11.3.1

$y$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $(- x^{2} + 6 x - 9) y$ 의 미분은 $y \frac{d}{d x} [- x^{2} + 6 x - 9]$ 입니다.

$y \frac{d}{d x} [- x^{2} + 6 x - 9] + \frac{d}{d x} [g (x)] = x^{2} - 4 x - 2 y x + 6 y + 3$

단계 11.3.2

합의 법칙에 의해 $- x^{2} + 6 x - 9$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [- x^{2}] + \frac{d}{d x} [6 x] + \frac{d}{d x} [- 9]$ 가 됩니다.

$y (\frac{d}{d x} [- x^{2}] + \frac{d}{d x} [6 x] + \frac{d}{d x} [- 9]) + \frac{d}{d x} [g (x)] = x^{2} - 4 x - 2 y x + 6 y + 3$

단계 11.3.3

$- 1$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $- x^{2}$ 의 미분은 $- \frac{d}{d x} [x^{2}]$ 입니다.

$y (- \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [6 x] + \frac{d}{d x} [- 9]) + \frac{d}{d x} [g (x)] = x^{2} - 4 x - 2 y x + 6 y + 3$

단계 11.3.4

$n = 2$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$y (- (2 x) + \frac{d}{d x} [6 x] + \frac{d}{d x} [- 9]) + \frac{d}{d x} [g (x)] = x^{2} - 4 x - 2 y x + 6 y + 3$

단계 11.3.5

$6$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $6 x$ 의 미분은 $6 \frac{d}{d x} [x]$ 입니다.

$y (- (2 x) + 6 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 9]) + \frac{d}{d x} [g (x)] = x^{2} - 4 x - 2 y x + 6 y + 3$

단계 11.3.6

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$y (- (2 x) + 6 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 9]) + \frac{d}{d x} [g (x)] = x^{2} - 4 x - 2 y x + 6 y + 3$

단계 11.3.7

$- 9$ 이 $x$ 에 대해 일정하므로, $- 9$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $- 9$ 입니다.

$y (- (2 x) + 6 \cdot 1 + 0) + \frac{d}{d x} [g (x)] = x^{2} - 4 x - 2 y x + 6 y + 3$

단계 11.3.8

$2$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$y (- 2 x + 6 \cdot 1 + 0) + \frac{d}{d x} [g (x)] = x^{2} - 4 x - 2 y x + 6 y + 3$

단계 11.3.9

$6$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$y (- 2 x + 6 + 0) + \frac{d}{d x} [g (x)] = x^{2} - 4 x - 2 y x + 6 y + 3$

단계 11.3.10

$- 2 x + 6$ 를 $0$ 에 더합니다.

$y (- 2 x + 6) + \frac{d}{d x} [g (x)] = x^{2} - 4 x - 2 y x + 6 y + 3$

단계 11.4

$g (x)$ 의 도함수가 $\frac{d g}{d x}$ 인 함수 규칙을 사용하여 미분합니다.

$y (- 2 x + 6) + \frac{d g}{d x} = x^{2} - 4 x - 2 y x + 6 y + 3$

단계 11.5

간단히 합니다.

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단계 11.5.1

분배 법칙을 적용합니다.

$y (- 2 x) + y \cdot 6 + \frac{d g}{d x} = x^{2} - 4 x - 2 y x + 6 y + 3$

단계 11.5.2

$y$ 의 왼쪽으로 $6$ 이동하기

$y (- 2 x) + 6 y + \frac{d g}{d x} = x^{2} - 4 x - 2 y x + 6 y + 3$

단계 11.5.3

항을 다시 정렬합니다.

$\frac{d g}{d x} - 2 x y + 6 y = x^{2} - 4 x - 2 y x + 6 y + 3$

단계 12

$\frac{d g}{d x}$ 에 대해 풉니다.

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단계 12.1

$\frac{d g}{d x}$ 를 포함하지 않은 모든 항을 방정식의 우변으로 옮깁니다.

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단계 12.1.1

방정식의 양변에 $2 x y$ 를 더합니다.

$\frac{d g}{d x} + 6 y = x^{2} - 4 x - 2 y x + 6 y + 3 + 2 x y$

단계 12.1.2

방정식의 양변에서 $6 y$ 를 뺍니다.

$\frac{d g}{d x} = x^{2} - 4 x - 2 y x + 6 y + 3 + 2 x y - 6 y$

단계 12.1.3

$x^{2} - 4 x - 2 y x + 6 y + 3 + 2 x y - 6 y$ 의 반대 항을 묶습니다.

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단계 12.1.3.1

인수가 항 $- 2 y x$ 과(와) $2 x y$ (으)로 표현되도록 다시 정렬합니다.

$\frac{d g}{d x} = x^{2} - 4 x - 2 x y + 6 y + 3 + 2 x y - 6 y$

단계 12.1.3.2

$- 2 x y$ 를 $2 x y$ 에 더합니다.

$\frac{d g}{d x} = x^{2} - 4 x + 6 y + 3 + 0 - 6 y$

단계 12.1.3.3

$x^{2} - 4 x + 6 y + 3$ 를 $0$ 에 더합니다.

$\frac{d g}{d x} = x^{2} - 4 x + 6 y + 3 - 6 y$

단계 12.1.3.4

$6 y$ 에서 $6 y$ 을 뺍니다.

$\frac{d g}{d x} = x^{2} - 4 x + 0 + 3$

단계 12.1.3.5

$x^{2} - 4 x$ 를 $0$ 에 더합니다.

$\frac{d g}{d x} = x^{2} - 4 x + 3$

단계 13

$x^{2} - 4 x + 3$ 의 역도함수를 구하여 $g (x)$ 을 구합니다.

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단계 13.1

$\frac{d g}{d x} = x^{2} - 4 x + 3$ 의 양쪽을 모두 적분합니다.

$\int \frac{d g}{d x} d x = \int x^{2} - 4 x + 3 d x$

단계 13.2

$\int \frac{d g}{d x} d x$ 의 값을 구합니다.

$g (x) = \int x^{2} - 4 x + 3 d x$

단계 13.3

하나의 적분을 여러 개의 적분으로 나눕니다.

$g (x) = \int x^{2} d x + \int - 4 x d x + \int 3 d x$

단계 13.4

멱의 법칙에 의해 $x^{2}$ 를 $x$ 에 대해 적분하면 $\frac{1}{3} x^{3}$ 가 됩니다.

$g (x) = \frac{1}{3} x^{3} + C + \int - 4 x d x + \int 3 d x$

단계 13.5

$- 4$ 은 $x$ 에 대해 상수이므로, $- 4$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$g (x) = \frac{1}{3} x^{3} + C - 4 \int x d x + \int 3 d x$

단계 13.6

멱의 법칙에 의해 $x$ 를 $x$ 에 대해 적분하면 $\frac{1}{2} x^{2}$ 가 됩니다.

$g (x) = \frac{1}{3} x^{3} + C - 4 (\frac{1}{2} x^{2} + C) + \int 3 d x$

단계 13.7

상수 규칙을 적용합니다.

$g (x) = \frac{1}{3} x^{3} + C - 4 (\frac{1}{2} x^{2} + C) + 3 x + C$

단계 13.8

$\frac{1}{2}$ 와 $x^{2}$ 을 묶습니다.

$g (x) = \frac{1}{3} x^{3} + C - 4 (\frac{x^{2}}{2} + C) + 3 x + C$

단계 13.9

간단히 합니다.

$g (x) = \frac{x^{3}}{3} - 2 x^{2} + 3 x + C$

단계 13.10

항을 다시 정렬합니다.

$g (x) = \frac{1}{3} x^{3} - 2 x^{2} + 3 x + C$

단계 14

$f (x, y) = (- x^{2} + 6 x - 9) y + g (x)$ 에서 $g (x)$ 을 대입합니다.

$f (x, y) = (- x^{2} + 6 x - 9) y + \frac{1}{3} x^{3} - 2 x^{2} + 3 x + C$

단계 15

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 15.1

분배 법칙을 적용합니다.

$f (x, y) = - x^{2} y + 6 x y - 9 y + \frac{1}{3} x^{3} - 2 x^{2} + 3 x + C$

단계 15.2

$\frac{1}{3}$ 와 $x^{3}$ 을 묶습니다.

$f (x, y) = - x^{2} y + 6 x y - 9 y + \frac{x^{3}}{3} - 2 x^{2} + 3 x + C$