미적분 예제

$\frac{d y}{d x} = - \frac{1}{x^{2}} - \frac{3}{x^{4}} + 12$

단계 1

식을 다시 씁니다.

$d y = (- \frac{1}{x^{2}} - \frac{3}{x^{4}} + 12) d x$

단계 2

양변을 적분합니다.

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단계 2.1

각 변의 적분을 구합니다.

$\int d y = \int - \frac{1}{x^{2}} - \frac{3}{x^{4}} + 12 d x$

단계 2.2

상수 규칙을 적용합니다.

$y + C_{1} = \int - \frac{1}{x^{2}} - \frac{3}{x^{4}} + 12 d x$

단계 2.3

우변을 적분합니다.

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단계 2.3.1

하나의 적분을 여러 개의 적분으로 나눕니다.

$y + C_{1} = \int - \frac{1}{x^{2}} d x + \int - \frac{3}{x^{4}} d x + \int 12 d x$

단계 2.3.2

$- 1$ 은 $x$ 에 대해 상수이므로, $- 1$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$y + C_{1} = - \int \frac{1}{x^{2}} d x + \int - \frac{3}{x^{4}} d x + \int 12 d x$

단계 2.3.3

지수의 기본 법칙을 적용합니다.

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단계 2.3.3.1

$x^{2}$ 에 $- 1$ 승을 취하여 분모 밖으로 옮깁니다.

$y + C_{1} = - \int {(x^{2})}^{- 1} d x + \int - \frac{3}{x^{4}} d x + \int 12 d x$

단계 2.3.3.2

${(x^{2})}^{- 1}$ 의 지수를 곱합니다.

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단계 2.3.3.2.1

멱의 법칙을 적용하여 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 과 같이 지수를 곱합니다.

$y + C_{1} = - \int x^{2 \cdot - 1} d x + \int - \frac{3}{x^{4}} d x + \int 12 d x$

단계 2.3.3.2.2

$2$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$y + C_{1} = - \int x^{- 2} d x + \int - \frac{3}{x^{4}} d x + \int 12 d x$

단계 2.3.4

멱의 법칙에 의해 $x^{- 2}$ 를 $x$ 에 대해 적분하면 $- x^{- 1}$ 가 됩니다.

$y + C_{1} = - (- x^{- 1} + C_{2}) + \int - \frac{3}{x^{4}} d x + \int 12 d x$

단계 2.3.5

$- 1$ 은 $x$ 에 대해 상수이므로, $- 1$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$y + C_{1} = - (- x^{- 1} + C_{2}) - \int \frac{3}{x^{4}} d x + \int 12 d x$

단계 2.3.6

$3$ 은 $x$ 에 대해 상수이므로, $3$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$y + C_{1} = - (- x^{- 1} + C_{2}) - (3 \int \frac{1}{x^{4}} d x) + \int 12 d x$

단계 2.3.7

식을 간단히 합니다.

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단계 2.3.7.1

$3$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$y + C_{1} = - (- x^{- 1} + C_{2}) - 3 \int \frac{1}{x^{4}} d x + \int 12 d x$

단계 2.3.7.2

$x^{4}$ 에 $- 1$ 승을 취하여 분모 밖으로 옮깁니다.

$y + C_{1} = - (- x^{- 1} + C_{2}) - 3 \int {(x^{4})}^{- 1} d x + \int 12 d x$

단계 2.3.7.3

${(x^{4})}^{- 1}$ 의 지수를 곱합니다.

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단계 2.3.7.3.1

멱의 법칙을 적용하여 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 과 같이 지수를 곱합니다.

$y + C_{1} = - (- x^{- 1} + C_{2}) - 3 \int x^{4 \cdot - 1} d x + \int 12 d x$

단계 2.3.7.3.2

$4$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$y + C_{1} = - (- x^{- 1} + C_{2}) - 3 \int x^{- 4} d x + \int 12 d x$

단계 2.3.8

멱의 법칙에 의해 $x^{- 4}$ 를 $x$ 에 대해 적분하면 $- \frac{1}{3} x^{- 3}$ 가 됩니다.

$y + C_{1} = - (- x^{- 1} + C_{2}) - 3 (- \frac{1}{3} x^{- 3} + C_{3}) + \int 12 d x$

단계 2.3.9

간단히 합니다.

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단계 2.3.9.1

$x^{- 3}$ 와 $\frac{1}{3}$ 을 묶습니다.

$y + C_{1} = - (- x^{- 1} + C_{2}) - 3 (- \frac{x^{- 3}}{3} + C_{3}) + \int 12 d x$

단계 2.3.9.2

음의 지수 법칙 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 을 활용하여 $x^{- 3}$ 를 분모로 이동합니다.

$y + C_{1} = - (- x^{- 1} + C_{2}) - 3 (- \frac{1}{3 x^{3}} + C_{3}) + \int 12 d x$

단계 2.3.10

상수 규칙을 적용합니다.

$y + C_{1} = - (- x^{- 1} + C_{2}) - 3 (- \frac{1}{3 x^{3}} + C_{3}) + 12 x + C_{4}$

단계 2.3.11

간단히 합니다.

$y + C_{1} = \frac{1}{x} + \frac{1}{x^{3}} + 12 x + C_{5}$

단계 2.3.12

항을 다시 정렬합니다.

$y + C_{1} = 12 x + \frac{1}{x} + \frac{1}{x^{3}} + C_{5}$

단계 2.4

우변에 적분 상수를 $K$ 로 묶습니다.

$y = 12 x + \frac{1}{x} + \frac{1}{x^{3}} + K$