미적분 예제

$e^{5 x} \frac{d y}{d x} + 5 e^{5 x} y = \sin (8 x)$

단계 1

방정식 좌변이 $e^{5 x} y$ 항의 도함수 결과값인지 확인합니다.

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단계 1.1

$f (x) = e^{5 x}$ , $g (x) = y$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ 는 $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ 이라는 곱의 미분 법칙을 이용하여 미분합니다.

$e^{5 x} \frac{d}{d x} [y] + y \frac{d}{d x} [e^{5 x}]$

단계 1.2

$\frac{d}{d x} [y]$ 을 $y'$ 로 바꿔 씁니다.

$e^{5 x} y' + y \frac{d}{d x} [e^{5 x}]$

단계 1.3

$f (x) = e^{x}$ , $g (x) = 5 x$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 는 $f' (g (x)) g' (x)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

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단계 1.3.1

연쇄법칙을 적용하기 위해 $u$ 를 $5 x$ 로 바꿉니다.

$e^{5 x} y' + y (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [5 x])$

단계 1.3.2

$a$ = $e$ 일 때 $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ 은 $a^{u} \ln (a)$ 이라는 지수 법칙을 이용하여 미분합니다.

$e^{5 x} y' + y (e^{u} \frac{d}{d x} [5 x])$

단계 1.3.3

$u$ 를 모두 $5 x$ 로 바꿉니다.

$e^{5 x} y' + y (e^{5 x} \frac{d}{d x} [5 x])$

단계 1.4

$5$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $5 x$ 의 미분은 $5 \frac{d}{d x} [x]$ 입니다.

$e^{5 x} y' + y (e^{5 x} (5 \frac{d}{d x} [x]))$

단계 1.5

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$e^{5 x} y' + y (e^{5 x} (5 \cdot 1))$

단계 1.6

$5$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$e^{5 x} y' + y (e^{5 x} \cdot 5)$

단계 1.7

$e^{5 x}$ 의 왼쪽으로 $5$ 이동하기

$e^{5 x} y' + y (5 e^{5 x})$

단계 1.8

$y'$ 에 $\frac{d y}{d x}$ 를 대입합니다.

$e^{5 x} \frac{d y}{d x} + y (5 e^{5 x})$

단계 1.9

괄호를 제거합니다.

$e^{5 x} \frac{d y}{d x} + y \cdot 5 e^{5 x}$

단계 1.10

$y$ 와 $5$ 을 다시 정렬합니다.

$e^{5 x} \frac{d y}{d x} + 5 \cdot y e^{5 x}$

단계 2

곱을 미분한 결과로 좌변을 다시 씁니다.

$\frac{d}{d x} [e^{5 x} y] = \sin (8 x)$

단계 3

각 변의 적분을 구합니다.

$\int \frac{d}{d x} [e^{5 x} y] d x = \int \sin (8 x) d x$

단계 4

좌변을 적분합니다.

$e^{5 x} y = \int \sin (8 x) d x$

단계 5

우변을 적분합니다.

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단계 5.1

먼저 $u = 8 x$ 로 정의합니다. 그러면 $d u = 8 d x$ 이므로 $\frac{1}{8} d u = d x$ 가 됩니다. 이 식을 $u$ 와 $d$ $u$ 를 이용하여 다시 씁니다.

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단계 5.1.1

$u = 8 x$ 로 둡니다. $\frac{d u}{d x}$ 를 구합니다.

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단계 5.1.1.1

$8 x$ 를 미분합니다.

$\frac{d}{d x} [8 x]$

단계 5.1.1.2

$8$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $8 x$ 의 미분은 $8 \frac{d}{d x} [x]$ 입니다.

$8 \frac{d}{d x} [x]$

단계 5.1.1.3

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$8 \cdot 1$

단계 5.1.1.4

$8$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$8$

단계 5.1.2

$u$ 와 $d u$ 를 사용해 문제를 바꿔 씁니다.

$e^{5 x} y = \int \sin (u) \frac{1}{8} d u$

단계 5.2

$\sin (u)$ 와 $\frac{1}{8}$ 을 묶습니다.

$e^{5 x} y = \int \frac{\sin (u)}{8} d u$

단계 5.3

$\frac{1}{8}$ 은 $u$ 에 대해 상수이므로, $\frac{1}{8}$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$e^{5 x} y = \frac{1}{8} \int \sin (u) d u$

단계 5.4

$\sin (u)$ 를 $u$ 에 대해 적분하면 $- \cos (u)$ 입니다.

$e^{5 x} y = \frac{1}{8} (- \cos (u) + C)$

단계 5.5

간단히 합니다.

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단계 5.5.1

간단히 합니다.

$e^{5 x} y = \frac{1}{8} (- \cos (u)) + C$

단계 5.5.2

$\frac{1}{8}$ 와 $\cos (u)$ 을 묶습니다.

$e^{5 x} y = - \frac{\cos (u)}{8} + C$

단계 5.6

$u$ 를 모두 $8 x$ 로 바꿉니다.

$e^{5 x} y = - \frac{\cos (8 x)}{8} + C$

단계 5.7

항을 다시 정렬합니다.

$e^{5 x} y = - \frac{1}{8} \cos (8 x) + C$

단계 6

$e^{5 x} y = - \frac{1}{8} \cos (8 x) + C$ 의 각 항을 $e^{5 x}$ 로 나누고 식을 간단히 합니다.

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단계 6.1

$e^{5 x} y = - \frac{1}{8} \cos (8 x) + C$ 의 각 항을 $e^{5 x}$ 로 나눕니다.

$\frac{e^{5 x} y}{e^{5 x}} = \frac{- \frac{1}{8} \cos (8 x)}{e^{5 x}} + \frac{C}{e^{5 x}}$

단계 6.2

좌변을 간단히 합니다.

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단계 6.2.1

$e^{5 x}$ 의 공약수로 약분합니다.

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단계 6.2.1.1

공약수로 약분합니다.

$\frac{e^{5 x} y}{e^{5 x}} = \frac{- \frac{1}{8} \cos (8 x)}{e^{5 x}} + \frac{C}{e^{5 x}}$

단계 6.2.1.2

$y$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$y = \frac{- \frac{1}{8} \cos (8 x)}{e^{5 x}} + \frac{C}{e^{5 x}}$

단계 6.3

우변을 간단히 합니다.

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단계 6.3.1

각 항을 간단히 합니다.

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단계 6.3.1.1

$\cos (8 x)$ 와 $\frac{1}{8}$ 을 묶습니다.

$y = \frac{- \frac{\cos (8 x)}{8}}{e^{5 x}} + \frac{C}{e^{5 x}}$

단계 6.3.1.2

분자에 분모의 역수를 곱합니다.

$y = - \frac{\cos (8 x)}{8} \cdot \frac{1}{e^{5 x}} + \frac{C}{e^{5 x}}$

단계 6.3.1.3

$\frac{1}{e^{5 x}}$ 에 $\frac{\cos (8 x)}{8}$ 을 곱합니다.

$y = - \frac{\cos (8 x)}{e^{5 x} \cdot 8} + \frac{C}{e^{5 x}}$

단계 6.3.1.4

$e^{5 x}$ 의 왼쪽으로 $8$ 이동하기

$y = - \frac{\cos (8 x)}{8 e^{5 x}} + \frac{C}{e^{5 x}}$