미적분 예제

$\frac{d y}{d x} = \frac{1}{4} \sqrt{y} \cos^{2} (\sqrt{y})$

단계 1

변수를 분리합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1

양변에 $\frac{1}{\sqrt{y} \cos^{2} (\sqrt{y})}$ 을 곱합니다.

$\frac{1}{\sqrt{y} \cos^{2} (\sqrt{y})} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{\sqrt{y} \cos^{2} (\sqrt{y})} (\frac{1}{4} \sqrt{y} \cos^{2} (\sqrt{y}))$

단계 1.2

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.2.1

곱셈의 교환법칙을 사용하여 다시 씁니다.

$\frac{1}{\sqrt{y} \cos^{2} (\sqrt{y})} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{4} \cdot \frac{1}{\sqrt{y} \cos^{2} (\sqrt{y})} \sqrt{y} \cos^{2} (\sqrt{y})$

단계 1.2.2

조합합니다.

$\frac{1}{\sqrt{y} \cos^{2} (\sqrt{y})} \frac{d y}{d x} = \frac{1 \cdot 1}{4 (\sqrt{y} \cos^{2} (\sqrt{y}))} \sqrt{y} \cos^{2} (\sqrt{y})$

단계 1.2.3

$\sqrt{y}$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.2.3.1

$4 (\sqrt{y} \cos^{2} (\sqrt{y}))$ 에서 $\sqrt{y}$ 를 인수분해합니다.

$\frac{1}{\sqrt{y} \cos^{2} (\sqrt{y})} \frac{d y}{d x} = \frac{1 \cdot 1}{\sqrt{y} (4 (\cos^{2} (\sqrt{y})))} \sqrt{y} \cos^{2} (\sqrt{y})$

단계 1.2.3.2

공약수로 약분합니다.

$\frac{1}{\sqrt{y} \cos^{2} (\sqrt{y})} \frac{d y}{d x} = \frac{1 \cdot 1}{\sqrt{y} (4 (\cos^{2} (\sqrt{y})))} \sqrt{y} \cos^{2} (\sqrt{y})$

단계 1.2.3.3

수식을 다시 씁니다.

$\frac{1}{\sqrt{y} \cos^{2} (\sqrt{y})} \frac{d y}{d x} = \frac{1 \cdot 1}{4 (\cos^{2} (\sqrt{y}))} \cos^{2} (\sqrt{y})$

단계 1.2.4

$\cos^{2} (\sqrt{y})$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.2.4.1

$4 (\cos^{2} (\sqrt{y}))$ 에서 $\cos^{2} (\sqrt{y})$ 를 인수분해합니다.

$\frac{1}{\sqrt{y} \cos^{2} (\sqrt{y})} \frac{d y}{d x} = \frac{1 \cdot 1}{\cos^{2} (\sqrt{y}) \cdot 4} \cos^{2} (\sqrt{y})$

단계 1.2.4.2

공약수로 약분합니다.

$\frac{1}{\sqrt{y} \cos^{2} (\sqrt{y})} \frac{d y}{d x} = \frac{1 \cdot 1}{\cos^{2} (\sqrt{y}) \cdot 4} \cos^{2} (\sqrt{y})$

단계 1.2.4.3

수식을 다시 씁니다.

$\frac{1}{\sqrt{y} \cos^{2} (\sqrt{y})} \frac{d y}{d x} = \frac{1 \cdot 1}{4}$

단계 1.2.5

$1$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$\frac{1}{\sqrt{y} \cos^{2} (\sqrt{y})} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{4}$

단계 1.3

식을 다시 씁니다.

$\frac{1}{\sqrt{y} \cos^{2} (\sqrt{y})} d y = \frac{1}{4} d x$

단계 2

양변을 적분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1

각 변의 적분을 구합니다.

$\int \frac{1}{\sqrt{y} \cos^{2} (\sqrt{y})} d y = \int \frac{1}{4} d x$

단계 2.2

좌변을 적분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.2.1

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.2.1.1

$1$ 을 곱합니다.

$\int \frac{1}{\sqrt{y} (\cos^{2} (\sqrt{y}) \cdot 1)} d y = \int \frac{1}{4} d x$

단계 2.2.1.2

분수를 나눕니다.

$\int \frac{1}{\sqrt{y} \cdot (1)} \cdot \frac{1}{\cos^{2} (\sqrt{y})} d y = \int \frac{1}{4} d x$

단계 2.2.1.3

$\frac{1}{\cos^{2} (\sqrt{y})}$ 을 $\sec^{2} (\sqrt{y})$ 로 변환합니다.

$\int \frac{1}{\sqrt{y} \cdot (1)} \sec^{2} (\sqrt{y}) d y = \int \frac{1}{4} d x$

단계 2.2.1.4

$\sqrt{y}$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$\int \frac{1}{\sqrt{y}} \sec^{2} (\sqrt{y}) d y = \int \frac{1}{4} d x$

단계 2.2.1.5

$\frac{1}{\sqrt{y}}$ 와 $\sec^{2} (\sqrt{y})$ 을 묶습니다.

$\int \frac{\sec^{2} (\sqrt{y})}{\sqrt{y}} d y = \int \frac{1}{4} d x$

단계 2.2.2

지수의 기본 법칙을 적용합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.2.2.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ 을(를) 사용하여 $\sqrt{y}$ 을(를) $y^{\frac{1}{2}}$ (으)로 다시 씁니다.

$\int \frac{\sec^{2} (y^{\frac{1}{2}})}{\sqrt{y}} d y = \int \frac{1}{4} d x$

단계 2.2.2.2

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ 을(를) 사용하여 $\sqrt{y}$ 을(를) $y^{\frac{1}{2}}$ (으)로 다시 씁니다.

$\int \frac{\sec^{2} (y^{\frac{1}{2}})}{y^{\frac{1}{2}}} d y = \int \frac{1}{4} d x$

단계 2.2.2.3

$y^{\frac{1}{2}}$ 에 $- 1$ 승을 취하여 분모 밖으로 옮깁니다.

$\int \sec^{2} (y^{\frac{1}{2}}) {(y^{\frac{1}{2}})}^{- 1} d y = \int \frac{1}{4} d x$

단계 2.2.2.4

${(y^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ 의 지수를 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.2.2.4.1

멱의 법칙을 적용하여 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 과 같이 지수를 곱합니다.

$\int \sec^{2} (y^{\frac{1}{2}}) y^{\frac{1}{2} \cdot - 1} d y = \int \frac{1}{4} d x$

단계 2.2.2.4.2

$\frac{1}{2}$ 와 $- 1$ 을 묶습니다.

$\int \sec^{2} (y^{\frac{1}{2}}) y^{\frac{- 1}{2}} d y = \int \frac{1}{4} d x$

단계 2.2.2.4.3

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$\int \sec^{2} (y^{\frac{1}{2}}) y^{- \frac{1}{2}} d y = \int \frac{1}{4} d x$

단계 2.2.3

먼저 $u = y^{\frac{1}{2}}$ 로 정의합니다. 그러면 $d u = \frac{1}{2 y^{\frac{1}{2}}} d y$ 이므로 $- d u = \frac{- 1}{2 y^{\frac{1}{2}}} d y$ 가 됩니다. 이 식을 $u$ 와 $d$ $u$ 를 이용하여 다시 씁니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.2.3.1

$u = y^{\frac{1}{2}}$ 로 둡니다. $\frac{d u}{d y}$ 를 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.2.3.1.1

$y^{\frac{1}{2}}$ 를 미분합니다.

$\frac{d}{d y} [y^{\frac{1}{2}}]$

단계 2.2.3.1.2

$n = \frac{1}{2}$ 일 때 $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ 는 $n y^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{1}{2} y^{\frac{1}{2} - 1}$

단계 2.2.3.1.3

공통 분모를 가지는 분수로 $- 1$ 을 표현하기 위해 $\frac{2}{2}$ 을 곱합니다.

$\frac{1}{2} y^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}}$

단계 2.2.3.1.4

$- 1$ 와 $\frac{2}{2}$ 을 묶습니다.

$\frac{1}{2} y^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}}$

단계 2.2.3.1.5

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$\frac{1}{2} y^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}}$

단계 2.2.3.1.6

분자를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.2.3.1.6.1

$- 1$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$\frac{1}{2} y^{\frac{1 - 2}{2}}$

단계 2.2.3.1.6.2

$1$ 에서 $2$ 을 뺍니다.

$\frac{1}{2} y^{\frac{- 1}{2}}$

단계 2.2.3.1.7

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$\frac{1}{2} y^{- \frac{1}{2}}$

단계 2.2.3.1.8

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.2.3.1.8.1

음의 지수 법칙 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 을 활용하여 식을 다시 씁니다.

$\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{y^{\frac{1}{2}}}$

단계 2.2.3.1.8.2

$\frac{1}{2}$ 에 $\frac{1}{y^{\frac{1}{2}}}$ 을 곱합니다.

$\frac{1}{2 y^{\frac{1}{2}}}$

단계 2.2.3.2

$u$ 와 $d u$ 를 사용해 문제를 바꿔 씁니다.

$\int 2 \sec^{2} (u) d u = \int \frac{1}{4} d x$

단계 2.2.4

$2$ 은 $u$ 에 대해 상수이므로, $2$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$2 \int \sec^{2} (u) d u = \int \frac{1}{4} d x$

단계 2.2.5

$\tan (u)$ 의 도함수는 $\sec^{2} (u)$ 이므로, $\sec^{2} (u)$ 의 적분값은 $\tan (u)$ 이 됩니다.

$2 (\tan (u) + C_{1}) = \int \frac{1}{4} d x$

단계 2.2.6

간단히 합니다.

$2 \tan (u) + C_{1} = \int \frac{1}{4} d x$

단계 2.2.7

$u$ 를 모두 $y^{\frac{1}{2}}$ 로 바꿉니다.

$2 \tan (y^{\frac{1}{2}}) + C_{1} = \int \frac{1}{4} d x$

단계 2.3

상수 규칙을 적용합니다.

$2 \tan (y^{\frac{1}{2}}) + C_{1} = \frac{1}{4} x + C_{2}$

단계 2.4

우변에 적분 상수를 $K$ 로 묶습니다.

$2 \tan (y^{\frac{1}{2}}) = \frac{1}{4} x + K$

단계 3

$y$ 에 대해 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.1

$2 \tan (y^{\frac{1}{2}}) = \frac{1}{4} x + K$ 의 각 항을 $2$ 로 나누고 식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.1.1

$2 \tan (y^{\frac{1}{2}}) = \frac{1}{4} x + K$ 의 각 항을 $2$ 로 나눕니다.

$\frac{2 \tan (y^{\frac{1}{2}})}{2} = \frac{\frac{1}{4} x}{2} + \frac{K}{2}$

단계 3.1.2

좌변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.1.2.1

$2$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.1.2.1.1

공약수로 약분합니다.

$\frac{2 \tan (y^{\frac{1}{2}})}{2} = \frac{\frac{1}{4} x}{2} + \frac{K}{2}$

단계 3.1.2.1.2

$\tan (y^{\frac{1}{2}})$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$\tan (y^{\frac{1}{2}}) = \frac{\frac{1}{4} x}{2} + \frac{K}{2}$

단계 3.1.3

우변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.1.3.1

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.1.3.1.1

$\frac{1}{4}$ 와 $x$ 을 묶습니다.

$\tan (y^{\frac{1}{2}}) = \frac{\frac{x}{4}}{2} + \frac{K}{2}$

단계 3.1.3.1.2

분자에 분모의 역수를 곱합니다.

$\tan (y^{\frac{1}{2}}) = \frac{x}{4} \cdot \frac{1}{2} + \frac{K}{2}$

단계 3.1.3.1.3

$\frac{x}{4} \cdot \frac{1}{2}$ 을 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.1.3.1.3.1

$\frac{x}{4}$ 에 $\frac{1}{2}$ 을 곱합니다.

$\tan (y^{\frac{1}{2}}) = \frac{x}{4 \cdot 2} + \frac{K}{2}$

단계 3.1.3.1.3.2

$4$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$\tan (y^{\frac{1}{2}}) = \frac{x}{8} + \frac{K}{2}$

단계 3.2

$y^{\frac{1}{2}}$ 에 $u$ 를 대입합니다.

$\tan (u) = \frac{x}{8} + \frac{K}{2}$

단계 3.3

$\frac{x}{8}$ 와 $\frac{K}{2}$ 을 다시 정렬합니다.

$\tan (u) = \frac{K}{2} + \frac{x}{8}$

단계 3.4

탄젠트 안의 $u$ 를 꺼내기 위해 방정식 양변에 탄젠트의 역을 취합니다.

$u = \arctan (\frac{K}{2} + \frac{x}{8})$

단계 3.5

$u$ 에 $y^{\frac{1}{2}}$ 을 대입하고 $y^{\frac{1}{2}} = \arctan (\frac{K}{2} + \frac{x}{8})$ 를 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.5.1

좌변의 분수 지수를 없애기 위해 방정식의 각 변을 $2$ 승합니다.

${(y^{\frac{1}{2}})}^{2} = {\arctan (\frac{K}{2} + \frac{x}{8})}^{2}$

단계 3.5.2

좌변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.5.2.1

${(y^{\frac{1}{2}})}^{2}$ 을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.5.2.1.1

${(y^{\frac{1}{2}})}^{2}$ 의 지수를 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.5.2.1.1.1

멱의 법칙을 적용하여 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 과 같이 지수를 곱합니다.

$y^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {\arctan (\frac{K}{2} + \frac{x}{8})}^{2}$

단계 3.5.2.1.1.2

$2$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.5.2.1.1.2.1

공약수로 약분합니다.

$y^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {\arctan (\frac{K}{2} + \frac{x}{8})}^{2}$

단계 3.5.2.1.1.2.2

수식을 다시 씁니다.

$y^{1} = {\arctan (\frac{K}{2} + \frac{x}{8})}^{2}$

단계 3.5.2.1.2

간단히 합니다.

$y = {\arctan (\frac{K}{2} + \frac{x}{8})}^{2}$

단계 4

적분 상수를 간단히 합니다.

$y = {\arctan (K + \frac{x}{8})}^{2}$