미적분 예제

$8 x y^{3} d x + 12 x^{2} y^{2} d y = 0$

단계 1

방정식의 양변에서 $8 x y^{3} d x$ 를 뺍니다.

$12 x^{2} y^{2} d y = - 8 x y^{3} d x$

단계 2

양변에 $\frac{1}{x^{2} y^{3}}$ 을 곱합니다.

$\frac{1}{x^{2} y^{3}} (12 x^{2} y^{2}) d y = \frac{1}{x^{2} y^{3}} (- 8 x y^{3}) d x$

단계 3

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.1

곱셈의 교환법칙을 사용하여 다시 씁니다.

$12 \frac{1}{x^{2} y^{3}} (x^{2} y^{2}) d y = \frac{1}{x^{2} y^{3}} (- 8 x y^{3}) d x$

단계 3.2

$12$ 와 $\frac{1}{x^{2} y^{3}}$ 을 묶습니다.

$\frac{12}{x^{2} y^{3}} (x^{2} y^{2}) d y = \frac{1}{x^{2} y^{3}} (- 8 x y^{3}) d x$

단계 3.3

$x^{2} y^{2}$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.3.1

$x^{2} y^{3}$ 에서 $x^{2} y^{2}$ 를 인수분해합니다.

$\frac{12}{x^{2} y^{2} (y)} (x^{2} y^{2}) d y = \frac{1}{x^{2} y^{3}} (- 8 x y^{3}) d x$

단계 3.3.2

공약수로 약분합니다.

$\frac{12}{x^{2} y^{2} y} (x^{2} y^{2}) d y = \frac{1}{x^{2} y^{3}} (- 8 x y^{3}) d x$

단계 3.3.3

수식을 다시 씁니다.

$\frac{12}{y} d y = \frac{1}{x^{2} y^{3}} (- 8 x y^{3}) d x$

단계 3.4

곱셈의 교환법칙을 사용하여 다시 씁니다.

$\frac{12}{y} d y = - 8 \frac{1}{x^{2} y^{3}} (x y^{3}) d x$

단계 3.5

$- 8$ 와 $\frac{1}{x^{2} y^{3}}$ 을 묶습니다.

$\frac{12}{y} d y = \frac{- 8}{x^{2} y^{3}} (x y^{3}) d x$

단계 3.6

$x y^{3}$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.6.1

$x^{2} y^{3}$ 에서 $x y^{3}$ 를 인수분해합니다.

$\frac{12}{y} d y = \frac{- 8}{x y^{3} (x)} (x y^{3}) d x$

단계 3.6.2

공약수로 약분합니다.

$\frac{12}{y} d y = \frac{- 8}{x y^{3} x} (x y^{3}) d x$

단계 3.6.3

수식을 다시 씁니다.

$\frac{12}{y} d y = \frac{- 8}{x} d x$

단계 3.7

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$\frac{12}{y} d y = - \frac{8}{x} d x$

단계 4

양변을 적분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.1

각 변의 적분을 구합니다.

$\int \frac{12}{y} d y = \int - \frac{8}{x} d x$

단계 4.2

좌변을 적분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.2.1

$12$ 은 $y$ 에 대해 상수이므로, $12$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$12 \int \frac{1}{y} d y = \int - \frac{8}{x} d x$

단계 4.2.2

$\frac{1}{y}$ 를 $y$ 에 대해 적분하면 $\ln (| y |)$ 입니다.

$12 (\ln (| y |) + C_{1}) = \int - \frac{8}{x} d x$

단계 4.2.3

간단히 합니다.

$12 \ln (| y |) + C_{1} = \int - \frac{8}{x} d x$

단계 4.3

우변을 적분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.3.1

$- 1$ 은 $x$ 에 대해 상수이므로, $- 1$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$12 \ln (| y |) + C_{1} = - \int \frac{8}{x} d x$

단계 4.3.2

$8$ 은 $x$ 에 대해 상수이므로, $8$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$12 \ln (| y |) + C_{1} = - (8 \int \frac{1}{x} d x)$

단계 4.3.3

$8$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$12 \ln (| y |) + C_{1} = - 8 \int \frac{1}{x} d x$

단계 4.3.4

$\frac{1}{x}$ 를 $x$ 에 대해 적분하면 $\ln (| x |)$ 입니다.

$12 \ln (| y |) + C_{1} = - 8 (\ln (| x |) + C_{2})$

단계 4.3.5

간단히 합니다.

$12 \ln (| y |) + C_{1} = - 8 \ln (| x |) + C_{2}$

단계 4.4

우변에 적분 상수를 $C$ 로 묶습니다.

$12 \ln (| y |) = - 8 \ln (| x |) + C$

단계 5

$y$ 에 대해 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.1

로그를 포함하고 있는 모든 항을 방정식의 좌변으로 옮깁니다.

$12 \ln (| y |) + 8 \ln (| x |) = C$

단계 5.2

좌변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.2.1

$12 \ln (| y |) + 8 \ln (| x |)$ 을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.2.1.1

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.2.1.1.1

$12$ 를 로그 안으로 옮겨 $12 \ln (| y |)$ 을 간단히 합니다.

$\ln ({| y |}^{12}) + 8 \ln (| x |) = C$

단계 5.2.1.1.2

짝수 거듭제곱을 갖는 멱법은 항상 양수이기 때문에 ${| y |}^{12}$ 에서 절댓값을 제거합니다.

$\ln (y^{12}) + 8 \ln (| x |) = C$

단계 5.2.1.1.3

$8$ 를 로그 안으로 옮겨 $8 \ln (| x |)$ 을 간단히 합니다.

$\ln (y^{12}) + \ln ({| x |}^{8}) = C$

단계 5.2.1.1.4

짝수 거듭제곱을 갖는 멱법은 항상 양수이기 때문에 ${| x |}^{8}$ 에서 절댓값을 제거합니다.

$\ln (y^{12}) + \ln (x^{8}) = C$

단계 5.2.1.2

로그의 곱의 성질 $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ 를 사용합니다.

$\ln (y^{12} x^{8}) = C$

단계 5.3

$y$ 을 구하기 위해 로그의 성질을 이용하여 방정식을 다시 씁니다.

$e^{\ln (y^{12} x^{8})} = e^{C}$

단계 5.4

로그의 정의를 이용하여 $\ln (y^{12} x^{8}) = C$ 를 지수 형태로 다시 씁니다. 만약 $x$ 와 $b$ 가 양의 실수와 $b \neq 1$ 이면, $\log_{b} (x) = y$ 는 $b^{y} = x$ 와 같습니다.

$e^{C} = y^{12} x^{8}$

단계 5.5

$y$ 에 대해 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.5.1

$y^{12} x^{8} = e^{C}$ 로 방정식을 다시 씁니다.

$y^{12} x^{8} = e^{C}$

단계 5.5.2

$y^{12} x^{8} = e^{C}$ 의 각 항을 $x^{8}$ 로 나누고 식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.5.2.1

$y^{12} x^{8} = e^{C}$ 의 각 항을 $x^{8}$ 로 나눕니다.

$\frac{y^{12} x^{8}}{x^{8}} = \frac{e^{C}}{x^{8}}$

단계 5.5.2.2

좌변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.5.2.2.1

$x^{8}$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.5.2.2.1.1

공약수로 약분합니다.

$\frac{y^{12} x^{8}}{x^{8}} = \frac{e^{C}}{x^{8}}$

단계 5.5.2.2.1.2

$y^{12}$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$y^{12} = \frac{e^{C}}{x^{8}}$

단계 5.5.3

좌변의 지수를 소거하기 위하여 방정식의 양변에 지정된 제곱근을 취합니다.

$y = \pm \sqrt[12]{\frac{e^{C}}{x^{8}}}$

단계 5.5.4

$\pm \sqrt[12]{\frac{e^{C}}{x^{8}}}$ 을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.5.4.1

$\sqrt[12]{\frac{e^{C}}{x^{8}}}$ 을 $\frac{\sqrt[12]{e^{C}}}{\sqrt[12]{x^{8}}}$ 로 바꿔 씁니다.

$y = \pm \frac{\sqrt[12]{e^{C}}}{\sqrt[12]{x^{8}}}$

단계 5.5.4.2

분모를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.5.4.2.1

$x^{8}$ 을 ${(x^{2})}^{4}$ 로 바꿔 씁니다.

$y = \pm \frac{\sqrt[12]{e^{C}}}{\sqrt[12]{{(x^{2})}^{4}}}$

단계 5.5.4.2.2

$\sqrt[12]{{(x^{2})}^{4}}$ 을 $\sqrt[3]{\sqrt[4]{{(x^{2})}^{4}}}$ 로 바꿔 씁니다.

$y = \pm \frac{\sqrt[12]{e^{C}}}{\sqrt[3]{\sqrt[4]{{(x^{2})}^{4}}}}$

단계 5.5.4.2.3

양의 실수로 가정하여 근호 안의 항을 밖으로 빼냅니다.

$y = \pm \frac{\sqrt[12]{e^{C}}}{\sqrt[3]{x^{2}}}$

단계 5.5.4.3

$\frac{\sqrt[12]{e^{C}}}{\sqrt[3]{x^{2}}}$ 에 $\frac{{\sqrt[3]{x^{2}}}^{2}}{{\sqrt[3]{x^{2}}}^{2}}$ 을 곱합니다.

$y = \pm \frac{\sqrt[12]{e^{C}}}{\sqrt[3]{x^{2}}} \cdot \frac{{\sqrt[3]{x^{2}}}^{2}}{{\sqrt[3]{x^{2}}}^{2}}$

단계 5.5.4.4

분모를 결합하고 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.5.4.4.1

$\frac{\sqrt[12]{e^{C}}}{\sqrt[3]{x^{2}}}$ 에 $\frac{{\sqrt[3]{x^{2}}}^{2}}{{\sqrt[3]{x^{2}}}^{2}}$ 을 곱합니다.

$y = \pm \frac{\sqrt[12]{e^{C}} {\sqrt[3]{x^{2}}}^{2}}{\sqrt[3]{x^{2}} {\sqrt[3]{x^{2}}}^{2}}$

단계 5.5.4.4.2

$\sqrt[3]{x^{2}}$ 를 $1$ 승 합니다.

$y = \pm \frac{\sqrt[12]{e^{C}} {\sqrt[3]{x^{2}}}^{2}}{{\sqrt[3]{x^{2}}}^{1} {\sqrt[3]{x^{2}}}^{2}}$

단계 5.5.4.4.3

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$y = \pm \frac{\sqrt[12]{e^{C}} {\sqrt[3]{x^{2}}}^{2}}{{\sqrt[3]{x^{2}}}^{1 + 2}}$

단계 5.5.4.4.4

$1$ 를 $2$ 에 더합니다.

$y = \pm \frac{\sqrt[12]{e^{C}} {\sqrt[3]{x^{2}}}^{2}}{{\sqrt[3]{x^{2}}}^{3}}$

단계 5.5.4.4.5

${\sqrt[3]{x^{2}}}^{3}$ 을 $x^{2}$ 로 바꿔 씁니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.5.4.4.5.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ 을(를) 사용하여 $\sqrt[3]{x^{2}}$ 을(를) $x^{\frac{2}{3}}$ (으)로 다시 씁니다.

$y = \pm \frac{\sqrt[12]{e^{C}} {\sqrt[3]{x^{2}}}^{2}}{{(x^{\frac{2}{3}})}^{3}}$

단계 5.5.4.4.5.2

멱의 법칙을 적용하여 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 과 같이 지수를 곱합니다.

$y = \pm \frac{\sqrt[12]{e^{C}} {\sqrt[3]{x^{2}}}^{2}}{x^{\frac{2}{3} \cdot 3}}$

단계 5.5.4.4.5.3

$\frac{2}{3}$ 와 $3$ 을 묶습니다.

$y = \pm \frac{\sqrt[12]{e^{C}} {\sqrt[3]{x^{2}}}^{2}}{x^{\frac{2 \cdot 3}{3}}}$

단계 5.5.4.4.5.4

$2$ 에 $3$ 을 곱합니다.

$y = \pm \frac{\sqrt[12]{e^{C}} {\sqrt[3]{x^{2}}}^{2}}{x^{\frac{6}{3}}}$

단계 5.5.4.4.5.5

$6$ 및 $3$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.5.4.4.5.5.1

$6$ 에서 $3$ 를 인수분해합니다.

$y = \pm \frac{\sqrt[12]{e^{C}} {\sqrt[3]{x^{2}}}^{2}}{x^{\frac{3 \cdot 2}{3}}}$

단계 5.5.4.4.5.5.2

공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.5.4.4.5.5.2.1

$3$ 에서 $3$ 를 인수분해합니다.

$y = \pm \frac{\sqrt[12]{e^{C}} {\sqrt[3]{x^{2}}}^{2}}{x^{\frac{3 \cdot 2}{3 (1)}}}$

단계 5.5.4.4.5.5.2.2

공약수로 약분합니다.

$y = \pm \frac{\sqrt[12]{e^{C}} {\sqrt[3]{x^{2}}}^{2}}{x^{\frac{3 \cdot 2}{3 \cdot 1}}}$

단계 5.5.4.4.5.5.2.3

수식을 다시 씁니다.

$y = \pm \frac{\sqrt[12]{e^{C}} {\sqrt[3]{x^{2}}}^{2}}{x^{\frac{2}{1}}}$

단계 5.5.4.4.5.5.2.4

$2$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$y = \pm \frac{\sqrt[12]{e^{C}} {\sqrt[3]{x^{2}}}^{2}}{x^{2}}$

단계 5.5.4.5

분자를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.5.4.5.1

${\sqrt[3]{x^{2}}}^{2}$ 을 $\sqrt[3]{{(x^{2})}^{2}}$ 로 바꿔 씁니다.

$y = \pm \frac{\sqrt[12]{e^{C}} \sqrt[3]{{(x^{2})}^{2}}}{x^{2}}$

단계 5.5.4.5.2

${(x^{2})}^{2}$ 의 지수를 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.5.4.5.2.1

멱의 법칙을 적용하여 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 과 같이 지수를 곱합니다.

$y = \pm \frac{\sqrt[12]{e^{C}} \sqrt[3]{x^{2 \cdot 2}}}{x^{2}}$

단계 5.5.4.5.2.2

$2$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$y = \pm \frac{\sqrt[12]{e^{C}} \sqrt[3]{x^{4}}}{x^{2}}$

단계 5.5.4.5.3

$x^{3}$ 로 인수분해합니다.

$y = \pm \frac{\sqrt[12]{e^{C}} \sqrt[3]{x^{3} x}}{x^{2}}$

단계 5.5.4.5.4

근호 안의 항을 밖으로 빼냅니다.

$y = \pm \frac{\sqrt[12]{e^{C}} x \sqrt[3]{x}}{x^{2}}$

단계 5.5.4.5.5

지수를 묶습니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.5.4.5.5.1

$12$ 의 최소 공통 지수를 이용하여 수식을 다시 씁니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.5.4.5.5.1.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ 을(를) 사용하여 $\sqrt[3]{x}$ 을(를) $x^{\frac{1}{3}}$ (으)로 다시 씁니다.

$y = \pm \frac{x (\sqrt[12]{e^{C}} x^{\frac{1}{3}})}{x^{2}}$

단계 5.5.4.5.5.1.2

$x^{\frac{1}{3}}$ 을 $x^{\frac{4}{12}}$ 로 바꿔 씁니다.

$y = \pm \frac{x (\sqrt[12]{e^{C}} x^{\frac{4}{12}})}{x^{2}}$

단계 5.5.4.5.5.1.3

$x^{\frac{4}{12}}$ 을 $\sqrt[12]{x^{4}}$ 로 바꿔 씁니다.

$y = \pm \frac{x (\sqrt[12]{e^{C}} \sqrt[12]{x^{4}})}{x^{2}}$

단계 5.5.4.5.5.2

근호의 곱의 미분 법칙을 사용하여 묶습니다.

$y = \pm \frac{x \sqrt[12]{e^{C} x^{4}}}{x^{2}}$

단계 5.5.4.6

공약수를 소거하여 수식을 간단히 정리합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.5.4.6.1

$x$ 및 $x^{2}$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.5.4.6.1.1

$x \sqrt[12]{e^{C} x^{4}}$ 에서 $x$ 를 인수분해합니다.

$y = \pm \frac{x \sqrt[12]{e^{C} x^{4}}}{x^{2}}$

단계 5.5.4.6.1.2

공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.5.4.6.1.2.1

$x^{2}$ 에서 $x$ 를 인수분해합니다.

$y = \pm \frac{x \sqrt[12]{e^{C} x^{4}}}{x \cdot x}$

단계 5.5.4.6.1.2.2

공약수로 약분합니다.

$y = \pm \frac{x \sqrt[12]{e^{C} x^{4}}}{x \cdot x}$

단계 5.5.4.6.1.2.3

수식을 다시 씁니다.

$y = \pm \frac{\sqrt[12]{e^{C} x^{4}}}{x}$

단계 5.5.4.6.2

$\pm \frac{\sqrt[12]{e^{C} x^{4}}}{x}$ 에서 인수를 다시 정렬합니다.

$y = \pm \frac{\sqrt[12]{x^{4} e^{C}}}{x}$

단계 5.5.5

해의 양수와 음수 부분 모두 최종 해가 됩니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.5.5.1

먼저, $\pm$ 의 양의 값을 이용하여 첫 번째 해를 구합니다.