미적분 예제

$\frac{d y}{d x} = \frac{(1 + y^{2})}{(1 + x^{2})}$

단계 1

변수를 분리합니다.

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단계 1.1

양변에 $\frac{1}{1 + y^{2}}$ 을 곱합니다.

$\frac{1}{1 + y^{2}} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{1 + y^{2}} \cdot \frac{1 + y^{2}}{1 + x^{2}}$

단계 1.2

$1 + y^{2}$ 의 공약수로 약분합니다.

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단계 1.2.1

공약수로 약분합니다.

$\frac{1}{1 + y^{2}} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{1 + y^{2}} \cdot \frac{1 + y^{2}}{1 + x^{2}}$

단계 1.2.2

수식을 다시 씁니다.

$\frac{1}{1 + y^{2}} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{1 + x^{2}}$

단계 1.3

식을 다시 씁니다.

$\frac{1}{1 + y^{2}} d y = \frac{1}{1 + x^{2}} d x$

단계 2

양변을 적분합니다.

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단계 2.1

각 변의 적분을 구합니다.

$\int \frac{1}{1 + y^{2}} d y = \int \frac{1}{1 + x^{2}} d x$

단계 2.2

좌변을 적분합니다.

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단계 2.2.1

$1$ 을 $1^{2}$ 로 바꿔 씁니다.

$\int \frac{1}{1^{2} + y^{2}} d y = \int \frac{1}{1 + x^{2}} d x$

단계 2.2.2

$\frac{1}{1^{2} + y^{2}}$ 를 $y$ 에 대해 적분하면 $\arctan (y) + C_{1}$ 입니다.

$\arctan (y) + C_{1} = \int \frac{1}{1 + x^{2}} d x$

단계 2.3

우변을 적분합니다.

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단계 2.3.1

$1$ 을 $1^{2}$ 로 바꿔 씁니다.

$\arctan (y) + C_{1} = \int \frac{1}{1^{2} + x^{2}} d x$

단계 2.3.2

$\frac{1}{1^{2} + x^{2}}$ 를 $x$ 에 대해 적분하면 $\arctan (x) + C_{2}$ 입니다.

$\arctan (y) + C_{1} = \arctan (x) + C_{2}$

단계 2.4

우변에 적분 상수를 $K$ 로 묶습니다.

$\arctan (y) = \arctan (x) + K$

단계 3

$y$ 에 대해 풉니다.

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단계 3.1

$\arctan (x) + K = \arctan (y)$ 로 방정식을 다시 씁니다.

$\arctan (x) + K = \arctan (y)$

단계 3.2

방정식의 양변에서 $K$ 를 뺍니다.

$\arctan (x) = \arctan (y) - K$

단계 3.3

방정식의 양변에서 역 아크탄젠트를 취하여 아크탄젠트 안의 $y$ 을 꺼냅니다.

$x = \tan (\arctan (y) - K)$

단계 3.4

$\tan (\arctan (y) - K) = x$ 로 방정식을 다시 씁니다.

$\tan (\arctan (y) - K) = x$

단계 3.5

탄젠트 안의 $\arctan (y)$ 를 꺼내기 위해 방정식 양변에 탄젠트의 역을 취합니다.

$\arctan (y) - K = \arctan (x)$

단계 3.6

방정식의 양변에 $K$ 를 더합니다.

$\arctan (y) = \arctan (x) + K$

단계 3.7

방정식의 양변에서 역 아크탄젠트를 취하여 아크탄젠트 안의 $y$ 을 꺼냅니다.

$y = \tan (\arctan (x) + K)$

단계 3.8

$y$ 가 식의 우변에 있으므로, 두 변을 바꿔 식의 좌변으로 옮깁니다.

$\tan (\arctan (y) - K) = x$

단계 3.9

탄젠트 안의 $\arctan (y)$ 를 꺼내기 위해 방정식 양변에 탄젠트의 역을 취합니다.

$\arctan (y) - K = \arctan (x)$

단계 3.10

방정식의 양변에 $K$ 를 더합니다.

$\arctan (y) = \arctan (x) + K$

단계 3.11

방정식의 양변에서 역 아크탄젠트를 취하여 아크탄젠트 안의 $y$ 을 꺼냅니다.

$y = \tan (\arctan (x) + K)$