미적분 예제

$(3 x^{2} + y^{2} + 4) d x + x (x - 2 y) d y = 0$

단계 1

$M (x, y) = 3 x^{2} + y^{2} + 4$ 인 $\frac{\partial M}{\partial y}$ 을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1

$y$ 에 대해 $M$ 을 미분합니다.

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [3 x^{2} + y^{2} + 4]$

단계 1.2

합의 법칙에 의해 $3 x^{2} + y^{2} + 4$ 를 $y$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d y} [3 x^{2}] + \frac{d}{d y} [y^{2}] + \frac{d}{d y} [4]$ 가 됩니다.

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [3 x^{2}] + \frac{d}{d y} [y^{2}] + \frac{d}{d y} [4]$

단계 1.3

$3 x^{2}$ 이 $y$ 에 대해 일정하므로, $3 x^{2}$ 를 $y$ 에 대해 미분하면 $3 x^{2}$ 입니다.

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 + \frac{d}{d y} [y^{2}] + \frac{d}{d y} [4]$

단계 1.4

$n = 2$ 일 때 $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ 는 $n y^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 + 2 y + \frac{d}{d y} [4]$

단계 1.5

$4$ 이 $y$ 에 대해 일정하므로, $4$ 를 $y$ 에 대해 미분하면 $4$ 입니다.

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 + 2 y + 0$

단계 1.6

항을 묶습니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.6.1

$0$ 를 $2 y$ 에 더합니다.

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 y + 0$

단계 1.6.2

$2 y$ 를 $0$ 에 더합니다.

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 y$

단계 2

$N (x, y) = x (x - 2 y)$ 인 $\frac{\partial N}{\partial x}$ 을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1

$x$ 에 대해 $N$ 을 미분합니다.

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [x (x - 2 y)]$

단계 2.2

$f (x) = x$ , $g (x) = x - 2 y$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ 는 $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ 이라는 곱의 미분 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{\partial N}{\partial x} = x \frac{d}{d x} [x - 2 y] + (x - 2 y) \frac{d}{d x} [x]$

단계 2.3

미분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.3.1

합의 법칙에 의해 $x - 2 y$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2 y]$ 가 됩니다.

$\frac{\partial N}{\partial x} = x (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2 y]) + (x - 2 y) \frac{d}{d x} [x]$

단계 2.3.2

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{\partial N}{\partial x} = x (1 + \frac{d}{d x} [- 2 y]) + (x - 2 y) \frac{d}{d x} [x]$

단계 2.3.3

$- 2 y$ 이 $x$ 에 대해 일정하므로, $- 2 y$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $- 2 y$ 입니다.

$\frac{\partial N}{\partial x} = x (1 + 0) + (x - 2 y) \frac{d}{d x} [x]$

단계 2.3.4

식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.3.4.1

$1$ 를 $0$ 에 더합니다.

$\frac{\partial N}{\partial x} = x \cdot 1 + (x - 2 y) \frac{d}{d x} [x]$

단계 2.3.4.2

$x$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$\frac{\partial N}{\partial x} = x + (x - 2 y) \frac{d}{d x} [x]$

단계 2.3.5

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{\partial N}{\partial x} = x + (x - 2 y) \cdot 1$

단계 2.3.6

항을 더해 식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.3.6.1

$x - 2 y$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$\frac{\partial N}{\partial x} = x + x - 2 y$

단계 2.3.6.2

$x$ 를 $x$ 에 더합니다.

$\frac{\partial N}{\partial x} = 2 x - 2 y$

단계 3

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$ 를 확인합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.1

$\frac{\partial M}{\partial y}$ 에 $2 y$ 을, $\frac{\partial N}{\partial x}$ 에 $2 x - 2 y$ 을 대입합니다.

$2 y = 2 x - 2 y$

단계 3.2

좌측 변이 우측 변과 같지 않으므로 이 방정식은 항등식이 아닙니다.

$2 y = 2 x - 2 y$ 는 항등식이 아닙니다.

단계 4

적분 인수 $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial M}{\partial y} - \frac{\partial N}{\partial x}}{N} d x}$ 을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.1

$\frac{\partial M}{\partial y}$ 에 $2 y$ 를 대입합니다.

$\frac{2 y - \frac{\partial N}{\partial x}}{N}$

단계 4.2

$\frac{\partial N}{\partial x}$ 에 $2 x - 2 y$ 를 대입합니다.

$\frac{2 y - (2 x - 2 y)}{N}$

단계 4.3

$N$ 에 $x (x - 2 y)$ 를 대입합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.3.1

$N$ 에 $x (x - 2 y)$ 를 대입합니다.

$\frac{2 y - (2 x - 2 y)}{x (x - 2 y)}$

단계 4.3.2

분자를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.3.2.1

분배 법칙을 적용합니다.

$\frac{2 y - (2 x) - (- 2 y)}{x (x - 2 y)}$

단계 4.3.2.2

$2$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$\frac{2 y - 2 x - (- 2 y)}{x (x - 2 y)}$

단계 4.3.2.3

$- 2$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$\frac{2 y - 2 x + 2 y}{x (x - 2 y)}$

단계 4.3.2.4

$2 y$ 를 $2 y$ 에 더합니다.

$\frac{- 2 x + 4 y}{x (x - 2 y)}$

단계 4.3.2.5

$- 2 x + 4 y$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.3.2.5.1

$- 2 x$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$\frac{2 (- x) + 4 y}{x (x - 2 y)}$

단계 4.3.2.5.2

$4 y$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$\frac{2 (- x) + 2 (2 y)}{x (x - 2 y)}$

단계 4.3.2.5.3

$2 (- x) + 2 (2 y)$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$\frac{2 (- x + 2 y)}{x (x - 2 y)}$

단계 4.3.3

$- x + 2 y$ 및 $x - 2 y$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.3.3.1

$- x$ 에서 $- 1$ 를 인수분해합니다.

$\frac{2 (- (x) + 2 y)}{x (x - 2 y)}$

단계 4.3.3.2

$2 y$ 에서 $- 1$ 를 인수분해합니다.

$\frac{2 (- (x) - (- 2 y))}{x (x - 2 y)}$

단계 4.3.3.3

$- (x) - (- 2 y)$ 에서 $- 1$ 를 인수분해합니다.

$\frac{2 (- (x - 2 y))}{x (x - 2 y)}$

단계 4.3.3.4

$- (x - 2 y)$ 을 $- 1 (x - 2 y)$ 로 바꿔 씁니다.

$\frac{2 (- 1 (x - 2 y))}{x (x - 2 y)}$

단계 4.3.3.5

공약수로 약분합니다.

$\frac{2 (- 1 (x - 2 y))}{x (x - 2 y)}$

단계 4.3.3.6

수식을 다시 씁니다.

$\frac{2 \cdot (- 1)}{x}$

단계 4.3.4

$2$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$\frac{- 2}{x}$

단계 4.3.5

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$- \frac{2}{x}$

단계 4.4

적분 인수 $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial M}{\partial y} - \frac{\partial N}{\partial x}}{N} d x}$ 을 구합니다.

$μ (x, y) = e^{\int - \frac{2}{x} d x}$

단계 5

적분 $e^{\int - \frac{2}{x} d x}$ 을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.1

$- 1$ 은 $x$ 에 대해 상수이므로, $- 1$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$μ (x, y) = e^{- \int \frac{2}{x} d x}$

단계 5.2

$2$ 은 $x$ 에 대해 상수이므로, $2$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$μ (x, y) = e^{- (2 \int \frac{1}{x} d x)}$

단계 5.3

$2$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$μ (x, y) = e^{- 2 \int \frac{1}{x} d x}$

단계 5.4

$\frac{1}{x}$ 를 $x$ 에 대해 적분하면 $\ln (| x |)$ 입니다.

$μ (x, y) = e^{- 2 (\ln (| x |) + C)}$

단계 5.5

간단히 합니다.

$μ (x, y) = e^{- 2 \ln (| x |)} + C$

단계 5.6

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.6.1

$- 2$ 를 로그 안으로 옮겨 $- 2 \ln (| x |)$ 을 간단히 합니다.

$μ (x, y) = e^{\ln ({| x |}^{- 2})} + C$

단계 5.6.2

지수와 로그는 역함수 관계입니다.

$μ (x, y) = {| x |}^{- 2} + C$

단계 5.6.3

짝수 거듭제곱을 갖는 멱법은 항상 양수이기 때문에 ${| x |}^{- 2}$ 에서 절댓값을 제거합니다.

$μ (x, y) = x^{- 2} + C$

단계 5.6.4

음의 지수 법칙 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 을 활용하여 식을 다시 씁니다.

$μ (x, y) = \frac{1}{x^{2}} + C$

단계 6

$(3 x^{2} + y^{2} + 4) d x + x (x - 2 y) d y = 0$ 의 양변에 적분 인수 $\frac{1}{x^{2}}$ 를 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.1

$3 x^{2} + y^{2} + 4$ 에 $\frac{1}{x^{2}}$ 을 곱합니다.

$(3 x^{2} + y^{2} + 4) \frac{1}{x^{2}} d x + x (x - 2 y) d y = 0$

단계 6.2

$3 x^{2} + y^{2} + 4$ 에 $\frac{1}{x^{2}}$ 을 곱합니다.

$\frac{3 x^{2} + y^{2} + 4}{x^{2}} d x + x (x - 2 y) d y = 0$

단계 6.3

$x (x - 2 y)$ 에 $\frac{1}{x^{2}}$ 을 곱합니다.

$\frac{3 x^{2} + y^{2} + 4}{x^{2}} d x + x (x - 2 y) \frac{1}{x^{2}} d y = 0$

단계 6.4

$x$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.4.1

$x^{2}$ 에서 $x$ 를 인수분해합니다.

$\frac{3 x^{2} + y^{2} + 4}{x^{2}} d x + x (x - 2 y) \frac{1}{x \cdot x} d y = 0$

단계 6.4.2

공약수로 약분합니다.

$\frac{3 x^{2} + y^{2} + 4}{x^{2}} d x + x (x - 2 y) \frac{1}{x \cdot x} d y = 0$

단계 6.4.3

수식을 다시 씁니다.

$\frac{3 x^{2} + y^{2} + 4}{x^{2}} d x + (x - 2 y) \frac{1}{x} d y = 0$

단계 6.5

$x - 2 y$ 에 $\frac{1}{x}$ 을 곱합니다.

$\frac{3 x^{2} + y^{2} + 4}{x^{2}} d x + \frac{x - 2 y}{x} d y = 0$

단계 7

집합 $f (x, y)$ 을 $N (x, y)$ 의 적분과 같게 둡니다.

$f (x, y) = \int \frac{x - 2 y}{x} d y$

단계 8

$N (x, y) = \frac{x - 2 y}{x}$ 을 적분하여 $f (x, y)$ 을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 8.1

분수를 여러 개의 분수로 나눕니다.

$f (x, y) = \int \frac{x}{x} + \frac{- 2 y}{x} d y$

단계 8.2

하나의 적분을 여러 개의 적분으로 나눕니다.

$f (x, y) = \int \frac{x}{x} d y + \int \frac{- 2 y}{x} d y$

단계 8.3

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 8.3.1

$x$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 8.3.1.1

공약수로 약분합니다.

$f (x, y) = \int \frac{x}{x} d y + \int \frac{- 2 y}{x} d y$

단계 8.3.1.2

수식을 다시 씁니다.

$f (x, y) = \int d y + \int \frac{- 2 y}{x} d y$

단계 8.3.2

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$f (x, y) = \int d y + \int - \frac{2 y}{x} d y$

단계 8.4

상수 규칙을 적용합니다.

$f (x, y) = y + C + \int - \frac{2 y}{x} d y$

단계 8.5

$- 1$ 은 $y$ 에 대해 상수이므로, $- 1$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$f (x, y) = y + C - \int \frac{2 y}{x} d y$

단계 8.6

$\frac{2}{x}$ 은 $y$ 에 대해 상수이므로, $\frac{2}{x}$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$f (x, y) = y + C - (\frac{2}{x} \int y d y)$

단계 8.7

괄호를 제거합니다.

$f (x, y) = y + C - \frac{2}{x} \int y d y$

단계 8.8

멱의 법칙에 의해 $y$ 를 $y$ 에 대해 적분하면 $\frac{1}{2} y^{2}$ 가 됩니다.

$f (x, y) = y + C - \frac{2}{x} (\frac{1}{2} y^{2} + C)$

단계 8.9

간단히 합니다.

$f (x, y) = y - \frac{2}{x} \cdot \frac{1}{2} y^{2} + C$

단계 8.10

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 8.10.1

$\frac{1}{2}$ 에 $\frac{2}{x}$ 을 곱합니다.

$f (x, y) = y - \frac{2}{2 x} y^{2} + C$

단계 8.10.2

$2$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 8.10.2.1

공약수로 약분합니다.

$f (x, y) = y - \frac{2}{2 x} y^{2} + C$

단계 8.10.2.2

수식을 다시 씁니다.

$f (x, y) = y - \frac{1}{x} y^{2} + C$

단계 8.10.3

$y^{2}$ 와 $\frac{1}{x}$ 을 묶습니다.

$f (x, y) = y - \frac{y^{2}}{x} + C$

단계 9

$g (x)$ 의 적분에 적분 상수가 있으므로 $C$ 에 $g (x)$ 을 대입할 수 있습니다.

$f (x, y) = y - \frac{y^{2}}{x} + g (x)$

단계 10

$\frac{\partial f}{\partial x} = M (x, y)$ 으로 둡니다.

$\frac{\partial f}{\partial x} = \frac{3 x^{2} + y^{2} + 4}{x^{2}}$

단계 11

$\frac{\partial f}{\partial x}$ 를 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 11.1

$x$ 에 대해 $f$ 을 미분합니다.

$\frac{d}{d x} [y - \frac{y^{2}}{x} + g (x)] = \frac{3 x^{2} + y^{2} + 4}{x^{2}}$

단계 11.2

미분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 11.2.1

합의 법칙에 의해 $y - \frac{y^{2}}{x} + g (x)$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [- \frac{y^{2}}{x}] + \frac{d}{d x} [g (x)]$ 가 됩니다.

$\frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [- \frac{y^{2}}{x}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{3 x^{2} + y^{2} + 4}{x^{2}}$

단계 11.2.2

$y$ 이 $x$ 에 대해 일정하므로, $y$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $y$ 입니다.

$0 + \frac{d}{d x} [- \frac{y^{2}}{x}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{3 x^{2} + y^{2} + 4}{x^{2}}$

단계 11.3

$\frac{d}{d x} [- \frac{y^{2}}{x}]$ 의 값을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 11.3.1

$- y^{2}$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $- \frac{y^{2}}{x}$ 의 미분은 $- y^{2} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$ 입니다.

$0 - y^{2} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{3 x^{2} + y^{2} + 4}{x^{2}}$

단계 11.3.2

$\frac{1}{x}$ 을 $x^{- 1}$ 로 바꿔 씁니다.

$0 - y^{2} \frac{d}{d x} [x^{- 1}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{3 x^{2} + y^{2} + 4}{x^{2}}$

단계 11.3.3

$n = - 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$0 - y^{2} (- x^{- 2}) + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{3 x^{2} + y^{2} + 4}{x^{2}}$

단계 11.3.4

$- 1$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$0 + 1 y^{2} x^{- 2} + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{3 x^{2} + y^{2} + 4}{x^{2}}$

단계 11.3.5

$y^{2}$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$0 + y^{2} x^{- 2} + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{3 x^{2} + y^{2} + 4}{x^{2}}$

단계 11.4

$g (x)$ 의 도함수가 $\frac{d g}{d x}$ 인 함수 규칙을 사용하여 미분합니다.

$0 + y^{2} x^{- 2} + \frac{d g}{d x} = \frac{3 x^{2} + y^{2} + 4}{x^{2}}$

단계 11.5

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 11.5.1

음의 지수 법칙 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 을 활용하여 식을 다시 씁니다.

$0 + y^{2} \frac{1}{x^{2}} + \frac{d g}{d x} = \frac{3 x^{2} + y^{2} + 4}{x^{2}}$

단계 11.5.2

항을 묶습니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 11.5.2.1

$y^{2}$ 와 $\frac{1}{x^{2}}$ 을 묶습니다.

$0 + \frac{y^{2}}{x^{2}} + \frac{d g}{d x} = \frac{3 x^{2} + y^{2} + 4}{x^{2}}$

단계 11.5.2.2

$0$ 를 $\frac{y^{2}}{x^{2}}$ 에 더합니다.

$\frac{y^{2}}{x^{2}} + \frac{d g}{d x} = \frac{3 x^{2} + y^{2} + 4}{x^{2}}$

단계 11.5.3

항을 다시 정렬합니다.

$\frac{d g}{d x} + \frac{y^{2}}{x^{2}} = \frac{3 x^{2} + y^{2} + 4}{x^{2}}$

단계 12

$\frac{d g}{d x}$ 에 대해 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 12.1

$\frac{d g}{d x}$ 에 대해 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 12.1.1

변수를 포함한 모든 항을 방정식의 좌변으로 옮깁니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 12.1.1.1

방정식의 양변에서 $\frac{3 x^{2} + y^{2} + 4}{x^{2}}$ 를 뺍니다.

$\frac{d g}{d x} + \frac{y^{2}}{x^{2}} - \frac{3 x^{2} + y^{2} + 4}{x^{2}} = 0$

단계 12.1.1.2

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$\frac{d g}{d x} + \frac{y^{2} - (3 x^{2} + y^{2} + 4)}{x^{2}} = 0$

단계 12.1.1.3

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 12.1.1.3.1

분배 법칙을 적용합니다.

$\frac{d g}{d x} + \frac{y^{2} - (3 x^{2}) - y^{2} - 1 \cdot 4}{x^{2}} = 0$

단계 12.1.1.3.2

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 12.1.1.3.2.1

$3$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$\frac{d g}{d x} + \frac{y^{2} - 3 x^{2} - y^{2} - 1 \cdot 4}{x^{2}} = 0$

단계 12.1.1.3.2.2

$- 1$ 에 $4$ 을 곱합니다.

$\frac{d g}{d x} + \frac{y^{2} - 3 x^{2} - y^{2} - 4}{x^{2}} = 0$

단계 12.1.1.4

$y^{2} - 3 x^{2} - y^{2} - 4$ 의 반대 항을 묶습니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 12.1.1.4.1

$y^{2}$ 에서 $y^{2}$ 을 뺍니다.

$\frac{d g}{d x} + \frac{- 3 x^{2} + 0 - 4}{x^{2}} = 0$

단계 12.1.1.4.2

$- 3 x^{2}$ 를 $0$ 에 더합니다.

$\frac{d g}{d x} + \frac{- 3 x^{2} - 4}{x^{2}} = 0$

단계 12.1.1.5

공통 분모를 가지는 분수로 $\frac{d g}{d x}$ 을 표현하기 위해 $\frac{x^{2}}{x^{2}}$ 을 곱합니다.

$\frac{\frac{d g}{d x} x^{2}}{x^{2}} + \frac{- 3 x^{2} - 4}{x^{2}} = 0$

단계 12.1.1.6

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$\frac{\frac{d g}{d x} x^{2} - 3 x^{2} - 4}{x^{2}} = 0$

단계 12.1.2

분자가 0과 같게 만듭니다.

$\frac{d g}{d x} x^{2} - 3 x^{2} - 4 = 0$

단계 12.1.3

$\frac{d g}{d x}$ 에 대해 식을 풉니다.

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단계 12.1.3.1

$\frac{d g}{d x}$ 를 포함하지 않은 모든 항을 방정식의 우변으로 옮깁니다.

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단계 12.1.3.1.1

방정식의 양변에 $3 x^{2}$ 를 더합니다.

$\frac{d g}{d x} x^{2} - 4 = 3 x^{2}$

단계 12.1.3.1.2

방정식의 양변에 $4$ 를 더합니다.

$\frac{d g}{d x} x^{2} = 3 x^{2} + 4$

단계 12.1.3.2

$\frac{d g}{d x} x^{2} = 3 x^{2} + 4$ 의 각 항을 $x^{2}$ 로 나누고 식을 간단히 합니다.

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단계 12.1.3.2.1

$\frac{d g}{d x} x^{2} = 3 x^{2} + 4$ 의 각 항을 $x^{2}$ 로 나눕니다.

$\frac{\frac{d g}{d x} x^{2}}{x^{2}} = \frac{3 x^{2}}{x^{2}} + \frac{4}{x^{2}}$

단계 12.1.3.2.2

좌변을 간단히 합니다.

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단계 12.1.3.2.2.1

$x^{2}$ 의 공약수로 약분합니다.

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단계 12.1.3.2.2.1.1

공약수로 약분합니다.

$\frac{\frac{d g}{d x} x^{2}}{x^{2}} = \frac{3 x^{2}}{x^{2}} + \frac{4}{x^{2}}$

단계 12.1.3.2.2.1.2

$\frac{d g}{d x}$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$\frac{d g}{d x} = \frac{3 x^{2}}{x^{2}} + \frac{4}{x^{2}}$

단계 12.1.3.2.3

우변을 간단히 합니다.

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단계 12.1.3.2.3.1

$x^{2}$ 의 공약수로 약분합니다.

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단계 12.1.3.2.3.1.1

공약수로 약분합니다.

$\frac{d g}{d x} = \frac{3 x^{2}}{x^{2}} + \frac{4}{x^{2}}$

단계 12.1.3.2.3.1.2

$3$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$\frac{d g}{d x} = 3 + \frac{4}{x^{2}}$

단계 13

$3 + \frac{4}{x^{2}}$ 의 역도함수를 구하여 $g (x)$ 을 구합니다.

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단계 13.1

$\frac{d g}{d x} = 3 + \frac{4}{x^{2}}$ 의 양쪽을 모두 적분합니다.

$\int \frac{d g}{d x} d x = \int 3 + \frac{4}{x^{2}} d x$

단계 13.2

$\int \frac{d g}{d x} d x$ 의 값을 구합니다.

$g (x) = \int 3 + \frac{4}{x^{2}} d x$

단계 13.3

하나의 적분을 여러 개의 적분으로 나눕니다.

$g (x) = \int 3 d x + \int \frac{4}{x^{2}} d x$

단계 13.4

상수 규칙을 적용합니다.

$g (x) = 3 x + C + \int \frac{4}{x^{2}} d x$

단계 13.5

$4$ 은 $x$ 에 대해 상수이므로, $4$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$g (x) = 3 x + C + 4 \int \frac{1}{x^{2}} d x$

단계 13.6

$x^{2}$ 에 $- 1$ 승을 취하여 분모 밖으로 옮깁니다.

$g (x) = 3 x + C + 4 \int {(x^{2})}^{- 1} d x$

단계 13.7

${(x^{2})}^{- 1}$ 의 지수를 곱합니다.

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단계 13.7.1

멱의 법칙을 적용하여 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 과 같이 지수를 곱합니다.

$g (x) = 3 x + C + 4 \int x^{2 \cdot - 1} d x$

단계 13.7.2

$2$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$g (x) = 3 x + C + 4 \int x^{- 2} d x$

단계 13.8

멱의 법칙에 의해 $x^{- 2}$ 를 $x$ 에 대해 적분하면 $- x^{- 1}$ 가 됩니다.

$g (x) = 3 x + C + 4 (- x^{- 1} + C)$

단계 13.9

간단히 합니다.

$g (x) = 3 x + 4 (- \frac{1}{x}) + C$

단계 13.10

간단히 합니다.

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단계 13.10.1

$- 1$ 에 $4$ 을 곱합니다.

$g (x) = 3 x - 4 \frac{1}{x} + C$

단계 13.10.2

$- 4$ 와 $\frac{1}{x}$ 을 묶습니다.

$g (x) = 3 x + \frac{- 4}{x} + C$

단계 13.10.3

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$g (x) = 3 x - \frac{4}{x} + C$

단계 14

$f (x, y) = y - \frac{y^{2}}{x} + g (x)$ 에서 $g (x)$ 을 대입합니다.

$f (x, y) = y - \frac{y^{2}}{x} + 3 x - \frac{4}{x} + C$