미적분 예제

$x y d x + (1 + x) (1 - y) d y = 0$

단계 1

방정식의 양변에서 $x y d x$ 를 뺍니다.

$(1 + x) (1 - y) d y = - x y d x$

단계 2

양변에 $\frac{1}{(1 + x) y}$ 을 곱합니다.

$\frac{1}{(1 + x) y} ((1 + x) (1 - y)) d y = \frac{1}{(1 + x) y} (- x y) d x$

단계 3

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.1

$1 + x$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.1.1

$(1 + x) y$ 에서 $1 + x$ 를 인수분해합니다.

$\frac{1}{(1 + x) (y)} ((1 + x) (1 - y)) d y = \frac{1}{(1 + x) y} (- x y) d x$

단계 3.1.2

공약수로 약분합니다.

$\frac{1}{(1 + x) y} ((1 + x) (1 - y)) d y = \frac{1}{(1 + x) y} (- x y) d x$

단계 3.1.3

수식을 다시 씁니다.

$\frac{1}{y} (1 - y) d y = \frac{1}{(1 + x) y} (- x y) d x$

단계 3.2

$\frac{1}{y}$ 에 $1 - y$ 을 곱합니다.

$\frac{1 - y}{y} d y = \frac{1}{(1 + x) y} (- x y) d x$

단계 3.3

곱셈의 교환법칙을 사용하여 다시 씁니다.

$\frac{1 - y}{y} d y = - \frac{1}{(1 + x) y} (x y) d x$

단계 3.4

$y$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.4.1

$- \frac{1}{(1 + x) y}$ 의 마이너스 부호를 분자로 이동합니다.

$\frac{1 - y}{y} d y = \frac{- 1}{(1 + x) y} (x y) d x$

단계 3.4.2

$(1 + x) y$ 에서 $y$ 를 인수분해합니다.

$\frac{1 - y}{y} d y = \frac{- 1}{y (1 + x)} (x y) d x$

단계 3.4.3

$x y$ 에서 $y$ 를 인수분해합니다.

$\frac{1 - y}{y} d y = \frac{- 1}{y (1 + x)} (y x) d x$

단계 3.4.4

공약수로 약분합니다.

$\frac{1 - y}{y} d y = \frac{- 1}{y (1 + x)} (y x) d x$

단계 3.4.5

수식을 다시 씁니다.

$\frac{1 - y}{y} d y = \frac{- 1}{1 + x} x d x$

단계 3.5

$\frac{- 1}{1 + x}$ 와 $x$ 을 묶습니다.

$\frac{1 - y}{y} d y = \frac{- x}{1 + x} d x$

단계 3.6

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$\frac{1 - y}{y} d y = - \frac{x}{1 + x} d x$

단계 4

양변을 적분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.1

각 변의 적분을 구합니다.

$\int \frac{1 - y}{y} d y = \int - \frac{x}{1 + x} d x$

단계 4.2

좌변을 적분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.2.1

분수를 여러 개의 분수로 나눕니다.

$\int \frac{1}{y} + \frac{- y}{y} d y = \int - \frac{x}{1 + x} d x$

단계 4.2.2

하나의 적분을 여러 개의 적분으로 나눕니다.

$\int \frac{1}{y} d y + \int \frac{- y}{y} d y = \int - \frac{x}{1 + x} d x$

단계 4.2.3

$y$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.2.3.1

공약수로 약분합니다.

$\int \frac{1}{y} d y + \int \frac{- y}{y} d y = \int - \frac{x}{1 + x} d x$

단계 4.2.3.2

$- 1$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$\int \frac{1}{y} d y + \int - 1 d y = \int - \frac{x}{1 + x} d x$

단계 4.2.4

$\frac{1}{y}$ 를 $y$ 에 대해 적분하면 $\ln (| y |)$ 입니다.

$\ln (| y |) + C_{1} + \int - 1 d y = \int - \frac{x}{1 + x} d x$

단계 4.2.5

상수 규칙을 적용합니다.

$\ln (| y |) + C_{1} - y + C_{2} = \int - \frac{x}{1 + x} d x$

단계 4.2.6

간단히 합니다.

$\ln (| y |) - y + C_{3} = \int - \frac{x}{1 + x} d x$

단계 4.2.7

항을 다시 정렬합니다.

$- y + \ln (| y |) + C_{3} = \int - \frac{x}{1 + x} d x$

단계 4.3

우변을 적분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.3.1

$- 1$ 은 $x$ 에 대해 상수이므로, $- 1$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$- y + \ln (| y |) + C_{3} = - \int \frac{x}{1 + x} d x$

단계 4.3.2

$1$ 와 $x$ 을 다시 정렬합니다.

$- y + \ln (| y |) + C_{3} = - \int \frac{x}{x + 1} d x$

단계 4.3.3

$x$ 을 $x + 1$ 로 나눕니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.3.3.1

다항식을 나눗셈 형태로 적습니다. 각 지수에 대하여 항이 없는 경우 값이 $0$ 인 항을 삽입합니다.

$x$

$1$

$x$

$0$

단계 4.3.3.2

피제수 $x$ 의 고차항을 제수 $x$ 의 고차항으로 나눕니다.

					$1$
	$x$	+	$1$		$x$	+	$0$

단계 4.3.3.3

새로운 몫 값에 제수를 곱합니다.

				$1$
$x$	+	$1$		$x$	+	$0$
			+	$x$	+	$1$

단계 4.3.3.4

식을 피제수에서 빼야 하므로 $x + 1$ 의 모든 부호를 바꿉니다.

				$1$
$x$	+	$1$		$x$	+	$0$
			-	$x$	-	$1$

단계 4.3.3.5

부호를 바꾼 뒤, 곱한 다항식의 마지막 피제수를 더해 새로운 피제수를 구합니다.

				$1$
$x$	+	$1$		$x$	+	$0$
			-	$x$	-	$1$
					-	$1$

단계 4.3.3.6

최종 답은 몫에 제수 분의 나머지를 더한 값입니다.

$- y + \ln (| y |) + C_{3} = - \int 1 - \frac{1}{x + 1} d x$

단계 4.3.4

하나의 적분을 여러 개의 적분으로 나눕니다.

$- y + \ln (| y |) + C_{3} = - (\int d x + \int - \frac{1}{x + 1} d x)$

단계 4.3.5

상수 규칙을 적용합니다.

$- y + \ln (| y |) + C_{3} = - (x + C_{4} + \int - \frac{1}{x + 1} d x)$

단계 4.3.6

$- 1$ 은 $x$ 에 대해 상수이므로, $- 1$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$- y + \ln (| y |) + C_{3} = - (x + C_{4} - \int \frac{1}{x + 1} d x)$

단계 4.3.7

먼저 $u = x + 1$ 로 정의합니다. 그러면 $d u = d x$ 가 됩니다. 이 식을 $u$ 와 $d$ $u$ 를 이용하여 다시 씁니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.3.7.1

$u = x + 1$ 로 둡니다. $\frac{d u}{d x}$ 를 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.3.7.1.1

$x + 1$ 를 미분합니다.

$\frac{d}{d x} [x + 1]$

단계 4.3.7.1.2

합의 법칙에 의해 $x + 1$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$ 가 됩니다.

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$

단계 4.3.7.1.3

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$1 + \frac{d}{d x} [1]$

단계 4.3.7.1.4

$1$ 이 $x$ 에 대해 일정하므로, $1$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $1$ 입니다.

$1 + 0$

단계 4.3.7.1.5

$1$ 를 $0$ 에 더합니다.

$1$

단계 4.3.7.2

$u$ 와 $d u$ 를 사용해 문제를 바꿔 씁니다.

$- y + \ln (| y |) + C_{3} = - (x + C_{4} - \int \frac{1}{u} d u)$

단계 4.3.8

$\frac{1}{u}$ 를 $u$ 에 대해 적분하면 $\ln (| u |)$ 입니다.

$- y + \ln (| y |) + C_{3} = - (x + C_{4} - (\ln (| u |) + C_{5}))$

단계 4.3.9

간단히 합니다.

$- y + \ln (| y |) + C_{3} = - (x - \ln (| u |)) + C_{6}$

단계 4.3.10

$u$ 를 모두 $x + 1$ 로 바꿉니다.

$- y + \ln (| y |) + C_{3} = - (x - \ln (| x + 1 |)) + C_{6}$

단계 4.3.11

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.3.11.1

분배 법칙을 적용합니다.

$- y + \ln (| y |) + C_{3} = - x - - \ln (| x + 1 |) + C_{6}$

단계 4.3.11.2

$- - \ln (| x + 1 |)$ 을 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.3.11.2.1

$- 1$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$- y + \ln (| y |) + C_{3} = - x + 1 \ln (| x + 1 |) + C_{6}$

단계 4.3.11.2.2

$\ln (| x + 1 |)$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$- y + \ln (| y |) + C_{3} = - x + \ln (| x + 1 |) + C_{6}$

단계 4.4

우변에 적분 상수를 $C$ 로 묶습니다.

$- y + \ln (| y |) = - x + \ln (| x + 1 |) + C$