미적분 예제

$\frac{d y}{d x} + y = \frac{1}{1 + e^{x}}$

단계 1

적분 인수는 $e^{\int P (x) d x}$ 공식으로 정의됩니다. 여기서는 $P (x) = 1$ 입니다.

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단계 1.1

적분을 구합니다.

$e^{\int d x}$

단계 1.2

상수 규칙을 적용합니다.

$e^{x + C}$

단계 1.3

적분 상수를 소거합니다.

$e^{x}$

단계 2

각 항에 적분 인수 $e^{x}$ 을 곱합니다.

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단계 2.1

각 항에 $e^{x}$ 을 곱합니다.

$e^{x} \frac{d y}{d x} + e^{x} y = e^{x} \frac{1}{1 + e^{x}}$

단계 2.2

$e^{x}$ 와 $\frac{1}{1 + e^{x}}$ 을 묶습니다.

$e^{x} \frac{d y}{d x} + e^{x} y = \frac{e^{x}}{1 + e^{x}}$

단계 2.3

$e^{x} \frac{d y}{d x} + e^{x} y = \frac{e^{x}}{1 + e^{x}}$ 에서 인수를 다시 정렬합니다.

$e^{x} \frac{d y}{d x} + y e^{x} = \frac{e^{x}}{1 + e^{x}}$

단계 3

곱을 미분한 결과로 좌변을 다시 씁니다.

$\frac{d}{d x} [e^{x} y] = \frac{e^{x}}{1 + e^{x}}$

단계 4

각 변의 적분을 구합니다.

$\int \frac{d}{d x} [e^{x} y] d x = \int \frac{e^{x}}{1 + e^{x}} d x$

단계 5

좌변을 적분합니다.

$e^{x} y = \int \frac{e^{x}}{1 + e^{x}} d x$

단계 6

우변을 적분합니다.

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단계 6.1

먼저 $u = 1 + e^{x}$ 로 정의합니다. 그러면 $d u = e^{x} d x$ 이므로 $\frac{1}{e^{x}} d u = d x$ 가 됩니다. 이 식을 $u$ 와 $d$ $u$ 를 이용하여 다시 씁니다.

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단계 6.1.1

$u = 1 + e^{x}$ 로 둡니다. $\frac{d u}{d x}$ 를 구합니다.

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단계 6.1.1.1

$1 + e^{x}$ 를 미분합니다.

$\frac{d}{d x} [1 + e^{x}]$

단계 6.1.1.2

미분합니다.

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단계 6.1.1.2.1

합의 법칙에 의해 $1 + e^{x}$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [e^{x}]$ 가 됩니다.

$\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [e^{x}]$

단계 6.1.1.2.2

$1$ 이 $x$ 에 대해 일정하므로, $1$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $1$ 입니다.

$0 + \frac{d}{d x} [e^{x}]$

단계 6.1.1.3

$a$ = $e$ 일 때 $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ 은 $a^{x} \ln (a)$ 이라는 지수 법칙을 이용하여 미분합니다.

$0 + e^{x}$

단계 6.1.1.4

$0$ 를 $e^{x}$ 에 더합니다.

$e^{x}$

단계 6.1.2

$u$ 와 $d u$ 를 사용해 문제를 바꿔 씁니다.

$e^{x} y = \int \frac{1}{u} d u$

단계 6.2

$\frac{1}{u}$ 를 $u$ 에 대해 적분하면 $\ln (| u |)$ 입니다.

$e^{x} y = \ln (| u |) + C$

단계 6.3

$u$ 를 모두 $1 + e^{x}$ 로 바꿉니다.

$e^{x} y = \ln (| 1 + e^{x} |) + C$

단계 7

$e^{x} y = \ln (| 1 + e^{x} |) + C$ 의 각 항을 $e^{x}$ 로 나누고 식을 간단히 합니다.

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단계 7.1

$e^{x} y = \ln (| 1 + e^{x} |) + C$ 의 각 항을 $e^{x}$ 로 나눕니다.

$\frac{e^{x} y}{e^{x}} = \frac{\ln (| 1 + e^{x} |)}{e^{x}} + \frac{C}{e^{x}}$

단계 7.2

좌변을 간단히 합니다.

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단계 7.2.1

$e^{x}$ 의 공약수로 약분합니다.

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단계 7.2.1.1

공약수로 약분합니다.

$\frac{e^{x} y}{e^{x}} = \frac{\ln (| 1 + e^{x} |)}{e^{x}} + \frac{C}{e^{x}}$

단계 7.2.1.2

$y$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$y = \frac{\ln (| 1 + e^{x} |)}{e^{x}} + \frac{C}{e^{x}}$

단계 7.3

우변을 간단히 합니다.

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단계 7.3.1

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$y = \frac{\ln (| 1 + e^{x} |) + C}{e^{x}}$