미적분 예제

$t \frac{d x}{d t} + 2 x = 4 e^{t}$

단계 1

$\frac{d x}{d t} + M (t) x = Q (t)$ 로 미분 방정식을 다시 씁니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1

$t \frac{d x}{d t} + 2 x = 4 e^{t}$ 의 각 항을 $t$ 로 나눕니다.

$\frac{t \frac{d x}{d t}}{t} + \frac{2 x}{t} = \frac{4 e^{t}}{t}$

단계 1.2

$t$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.2.1

공약수로 약분합니다.

$\frac{t \frac{d x}{d t}}{t} + \frac{2 x}{t} = \frac{4 e^{t}}{t}$

단계 1.2.2

$\frac{d x}{d t}$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$\frac{d x}{d t} + \frac{2 x}{t} = \frac{4 e^{t}}{t}$

단계 1.3

$\frac{2 x}{t}$ 에서 $x$ 를 인수분해합니다.

$\frac{d x}{d t} + x \frac{2}{t} = \frac{4 e^{t}}{t}$

단계 1.4

$x$ 와 $\frac{2}{t}$ 을 다시 정렬합니다.

$\frac{d x}{d t} + \frac{2}{t} x = \frac{4 e^{t}}{t}$

단계 2

적분 인수는 $e^{\int P (t) d t}$ 공식으로 정의됩니다. 여기서는 $P (t) = \frac{2}{t}$ 입니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1

적분을 구합니다.

$e^{\int \frac{2}{t} d t}$

단계 2.2

$\frac{2}{t}$ 를 적분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.2.1

$2$ 은 $t$ 에 대해 상수이므로, $2$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$e^{2 \int \frac{1}{t} d t}$

단계 2.2.2

$\frac{1}{t}$ 를 $t$ 에 대해 적분하면 $\ln (| t |)$ 입니다.

$e^{2 (\ln (| t |) + C)}$

단계 2.2.3

간단히 합니다.

$e^{2 \ln (| t |) + C}$

단계 2.3

적분 상수를 소거합니다.

$e^{2 \ln (t)}$

단계 2.4

로그 멱의 법칙을 사용합니다.

$e^{\ln (t^{2})}$

단계 2.5

지수와 로그는 역함수 관계입니다.

$t^{2}$

단계 3

각 항에 적분 인수 $t^{2}$ 을 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.1

각 항에 $t^{2}$ 을 곱합니다.

$t^{2} \frac{d x}{d t} + t^{2} (\frac{2}{t} x) = t^{2} \frac{4 e^{t}}{t}$

단계 3.2

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.2.1

$\frac{2}{t}$ 와 $x$ 을 묶습니다.

$t^{2} \frac{d x}{d t} + t^{2} \frac{2 x}{t} = t^{2} \frac{4 e^{t}}{t}$

단계 3.2.2

$t$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.2.2.1

$t^{2}$ 에서 $t$ 를 인수분해합니다.

$t^{2} \frac{d x}{d t} + t \cdot t \frac{2 x}{t} = t^{2} \frac{4 e^{t}}{t}$

단계 3.2.2.2

공약수로 약분합니다.

$t^{2} \frac{d x}{d t} + t \cdot t \frac{2 x}{t} = t^{2} \frac{4 e^{t}}{t}$

단계 3.2.2.3

수식을 다시 씁니다.

$t^{2} \frac{d x}{d t} + t (2 x) = t^{2} \frac{4 e^{t}}{t}$

단계 3.2.3

곱셈의 교환법칙을 사용하여 다시 씁니다.

$t^{2} \frac{d x}{d t} + 2 t x = t^{2} \frac{4 e^{t}}{t}$

단계 3.3

$t$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.3.1

$t^{2}$ 에서 $t$ 를 인수분해합니다.

$t^{2} \frac{d x}{d t} + 2 t x = t \cdot t \frac{4 e^{t}}{t}$

단계 3.3.2

공약수로 약분합니다.

$t^{2} \frac{d x}{d t} + 2 t x = t \cdot t \frac{4 e^{t}}{t}$

단계 3.3.3

수식을 다시 씁니다.

$t^{2} \frac{d x}{d t} + 2 t x = t (4 e^{t})$

단계 3.4

곱셈의 교환법칙을 사용하여 다시 씁니다.

$t^{2} \frac{d x}{d t} + 2 t x = 4 t e^{t}$

단계 4

곱을 미분한 결과로 좌변을 다시 씁니다.

$\frac{d}{d t} [t^{2} x] = 4 t e^{t}$

단계 5

각 변의 적분을 구합니다.

$\int \frac{d}{d t} [t^{2} x] d t = \int 4 t e^{t} d t$

단계 6

좌변을 적분합니다.

$t^{2} x = \int 4 t e^{t} d t$

단계 7

우변을 적분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 7.1

$4$ 은 $t$ 에 대해 상수이므로, $4$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$t^{2} x = 4 \int t e^{t} d t$

단계 7.2

$u = t$ 이고 $d v = e^{t}$ 일 때 $\int u d v = u v - \int v d u$ 공식을 이용하여 부분 적분합니다.

$t^{2} x = 4 (t e^{t} - \int e^{t} d t)$

단계 7.3

$e^{t}$ 를 $t$ 에 대해 적분하면 $e^{t}$ 입니다.

$t^{2} x = 4 (t e^{t} - (e^{t} + C))$

단계 7.4

간단히 합니다.

$t^{2} x = 4 (t e^{t} - e^{t}) + C$

단계 8

$t^{2} x = 4 (t e^{t} - e^{t}) + C$ 의 각 항을 $t^{2}$ 로 나누고 식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 8.1

$t^{2} x = 4 (t e^{t} - e^{t}) + C$ 의 각 항을 $t^{2}$ 로 나눕니다.

$\frac{t^{2} x}{t^{2}} = \frac{4 (t e^{t} - e^{t})}{t^{2}} + \frac{C}{t^{2}}$

단계 8.2

좌변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 8.2.1

$t^{2}$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 8.2.1.1

공약수로 약분합니다.

$\frac{t^{2} x}{t^{2}} = \frac{4 (t e^{t} - e^{t})}{t^{2}} + \frac{C}{t^{2}}$

단계 8.2.1.2

$x$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$x = \frac{4 (t e^{t} - e^{t})}{t^{2}} + \frac{C}{t^{2}}$

단계 8.3

우변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 8.3.1

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$x = \frac{4 (t e^{t} - e^{t}) + C}{t^{2}}$

단계 8.3.2

분자를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 8.3.2.1

분배 법칙을 적용합니다.

$x = \frac{4 (t e^{t}) + 4 (- e^{t}) + C}{t^{2}}$

단계 8.3.2.2

$- 1$ 에 $4$ 을 곱합니다.

$x = \frac{4 t e^{t} - 4 e^{t} + C}{t^{2}}$