미적분 예제

$2 \frac{d y}{d x} = 4 x e^{- x}$ , $y (0) = 5$

단계 1

식을 다시 씁니다.

$2 d y = 4 x e^{- x} d x$

단계 2

양변을 적분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1

각 변의 적분을 구합니다.

$\int 2 d y = \int 4 x e^{- x} d x$

단계 2.2

상수 규칙을 적용합니다.

$2 y + C_{1} = \int 4 x e^{- x} d x$

단계 2.3

우변을 적분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.3.1

$4$ 은 $x$ 에 대해 상수이므로, $4$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$2 y + C_{1} = 4 \int x e^{- x} d x$

단계 2.3.2

$u = x$ 이고 $d v = e^{- x}$ 일 때 $\int u d v = u v - \int v d u$ 공식을 이용하여 부분 적분합니다.

$2 y + C_{1} = 4 (x (- e^{- x}) - \int - e^{- x} d x)$

단계 2.3.3

$- 1$ 은 $x$ 에 대해 상수이므로, $- 1$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$2 y + C_{1} = 4 (x (- e^{- x}) - - \int e^{- x} d x)$

단계 2.3.4

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.3.4.1

$- 1$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$2 y + C_{1} = 4 (x (- e^{- x}) + 1 \int e^{- x} d x)$

단계 2.3.4.2

$\int e^{- x} d x$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$2 y + C_{1} = 4 (x (- e^{- x}) + \int e^{- x} d x)$

단계 2.3.5

먼저 $u = - x$ 로 정의합니다. 그러면 $d u = - d x$ 이므로 $- d u = d x$ 가 됩니다. 이 식을 $u$ 와 $d$ $u$ 를 이용하여 다시 씁니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.3.5.1

$u = - x$ 로 둡니다. $\frac{d u}{d x}$ 를 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.3.5.1.1

$- x$ 를 미분합니다.

$\frac{d}{d x} [- x]$

단계 2.3.5.1.2

$- 1$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $- x$ 의 미분은 $- \frac{d}{d x} [x]$ 입니다.

$- \frac{d}{d x} [x]$

단계 2.3.5.1.3

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$- 1 \cdot 1$

단계 2.3.5.1.4

$- 1$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$- 1$

단계 2.3.5.2

$u$ 와 $d u$ 를 사용해 문제를 바꿔 씁니다.

$2 y + C_{1} = 4 (x (- e^{- x}) + \int - e^{u} d u)$

단계 2.3.6

$- 1$ 은 $u$ 에 대해 상수이므로, $- 1$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$2 y + C_{1} = 4 (x (- e^{- x}) - \int e^{u} d u)$

단계 2.3.7

$e^{u}$ 를 $u$ 에 대해 적분하면 $e^{u}$ 입니다.

$2 y + C_{1} = 4 (x (- e^{- x}) - (e^{u} + C_{2}))$

단계 2.3.8

$4 (x (- e^{- x}) - (e^{u} + C_{2}))$ 을 $4 (- x e^{- x} - e^{u}) + C_{2}$ 로 바꿔 씁니다.

$2 y + C_{1} = 4 (- x e^{- x} - e^{u}) + C_{2}$

단계 2.3.9

$u$ 를 모두 $- x$ 로 바꿉니다.

$2 y + C_{1} = 4 (- x e^{- x} - e^{- x}) + C_{2}$

단계 2.4

우변에 적분 상수를 $K$ 로 묶습니다.

$2 y = 4 (- x e^{- x} - e^{- x}) + K$

단계 3

$2 y = 4 (- x e^{- x} - e^{- x}) + K$ 의 각 항을 $2$ 로 나누고 식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.1

$2 y = 4 (- x e^{- x} - e^{- x}) + K$ 의 각 항을 $2$ 로 나눕니다.

$\frac{2 y}{2} = \frac{4 (- x e^{- x} - e^{- x})}{2} + \frac{K}{2}$

단계 3.2

좌변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.2.1

$2$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.2.1.1

공약수로 약분합니다.

$\frac{2 y}{2} = \frac{4 (- x e^{- x} - e^{- x})}{2} + \frac{K}{2}$

단계 3.2.1.2

$y$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$y = \frac{4 (- x e^{- x} - e^{- x})}{2} + \frac{K}{2}$

단계 3.3

우변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.3.1

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$y = \frac{4 (- x e^{- x} - e^{- x}) + K}{2}$

단계 3.3.2

분자를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.3.2.1

분배 법칙을 적용합니다.

$y = \frac{4 (- x e^{- x}) + 4 (- e^{- x}) + K}{2}$

단계 3.3.2.2

$- 1$ 에 $4$ 을 곱합니다.

$y = \frac{- 4 (x e^{- x}) + 4 (- e^{- x}) + K}{2}$

단계 3.3.2.3

$- 1$ 에 $4$ 을 곱합니다.

$y = \frac{- 4 x e^{- x} - 4 e^{- x} + K}{2}$

단계 3.3.3

인수분해하여 식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.3.3.1

$- 4 x e^{- x}$ 에서 $- 1$ 를 인수분해합니다.

$y = \frac{- (4 x e^{- x}) - 4 e^{- x} + K}{2}$

단계 3.3.3.2

$- 4 e^{- x}$ 에서 $- 1$ 를 인수분해합니다.

$y = \frac{- (4 x e^{- x}) - (4 e^{- x}) + K}{2}$

단계 3.3.3.3

$- (4 x e^{- x}) - (4 e^{- x})$ 에서 $- 1$ 를 인수분해합니다.

$y = \frac{- (4 x e^{- x} + 4 e^{- x}) + K}{2}$

단계 3.3.3.4

$K$ 에서 $- 1$ 를 인수분해합니다.

$y = \frac{- (4 x e^{- x} + 4 e^{- x}) - 1 (- K)}{2}$

단계 3.3.3.5

$- (4 x e^{- x} + 4 e^{- x}) - 1 (- K)$ 에서 $- 1$ 를 인수분해합니다.

$y = \frac{- (4 x e^{- x} + 4 e^{- x} - K)}{2}$

단계 3.3.3.6

식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.3.3.6.1

$- (4 x e^{- x} + 4 e^{- x} - K)$ 을 $- 1 (4 x e^{- x} + 4 e^{- x} - K)$ 로 바꿔 씁니다.

$y = \frac{- 1 (4 x e^{- x} + 4 e^{- x} - K)}{2}$

단계 3.3.3.6.2

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$y = - \frac{4 x e^{- x} + 4 e^{- x} - K}{2}$

단계 4

적분 상수를 간단히 합니다.

$y = - \frac{4 x e^{- x} + 4 e^{- x} + K}{2}$

단계 5

초기 조건을 활용하여 $y = - \frac{4 x e^{- x} + 4 e^{- x} + K}{2}$ 에서 $x$ 에 $0$ 을, $y$ 에 $5$ 를 대입하여 $K$ 값을 구합니다.

$5 = - \frac{4 \cdot 0 e^{- 0} + 4 e^{0} + K}{2}$

단계 6

$K$ 에 대해 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.1

$- \frac{4 \cdot (0 e^{- 0}) + 4 e^{0} + K}{2} = 5$ 로 방정식을 다시 씁니다.

$- \frac{4 \cdot (0 e^{- 0}) + 4 e^{0} + K}{2} = 5$

단계 6.2

방정식의 양변에 $- 2$ 을 곱합니다.

$- 2 (- \frac{4 \cdot (0 e^{- 0}) + 4 e^{0} + K}{2}) = - 2 \cdot 5$

단계 6.3

방정식의 양변을 간단히 정리합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.3.1

좌변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.3.1.1

$- 2 (- \frac{4 \cdot (0 e^{- 0}) + 4 e^{0} + K}{2})$ 을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.3.1.1.1

공약수를 소거하여 수식을 간단히 정리합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.3.1.1.1.1

$2$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.3.1.1.1.1.1

$- \frac{4 \cdot (0 e^{- 0}) + 4 e^{0} + K}{2}$ 의 마이너스 부호를 분자로 이동합니다.

$- 2 \frac{- (4 \cdot (0 e^{- 0}) + 4 e^{0} + K)}{2} = - 2 \cdot 5$

단계 6.3.1.1.1.1.2

$- 2$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$2 (- 1) \frac{- (4 \cdot (0 e^{- 0}) + 4 e^{0} + K)}{2} = - 2 \cdot 5$

단계 6.3.1.1.1.1.3

공약수로 약분합니다.

$2 \cdot - 1 \frac{- (4 \cdot (0 e^{- 0}) + 4 e^{0} + K)}{2} = - 2 \cdot 5$

단계 6.3.1.1.1.1.4

수식을 다시 씁니다.

$- - (4 \cdot (0 e^{- 0}) + 4 e^{0} + K) = - 2 \cdot 5$

단계 6.3.1.1.1.2

식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.3.1.1.1.2.1

$- 1$ 에 $0$ 을 곱합니다.

$- - (4 \cdot (0 e^{0}) + 4 e^{0} + K) = - 2 \cdot 5$

단계 6.3.1.1.1.2.2

0을 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.3.1.1.1.2.2.1

$0$ 에 $e^{0}$ 을 곱합니다.

$- - (4 \cdot 0 + 4 e^{0} + K) = - 2 \cdot 5$

단계 6.3.1.1.1.2.2.2

$4$ 에 $0$ 을 곱합니다.

$- - (0 + 4 e^{0} + K) = - 2 \cdot 5$

단계 6.3.1.1.1.2.3

$- 1$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$1 (0 + 4 e^{0} + K) = - 2 \cdot 5$

단계 6.3.1.1.1.2.4

$0 + 4 e^{0} + K$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$0 + 4 e^{0} + K = - 2 \cdot 5$

단계 6.3.1.1.1.2.5

$0$ 를 $4 e^{0}$ 에 더합니다.

$4 e^{0} + K = - 2 \cdot 5$

단계 6.3.1.1.2

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.3.1.1.2.1

모든 수의 $0$ 승은 $1$ 입니다.

$4 \cdot 1 + K = - 2 \cdot 5$

단계 6.3.1.1.2.2

$4$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$4 + K = - 2 \cdot 5$

단계 6.3.2

우변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.3.2.1

$- 2$ 에 $5$ 을 곱합니다.

$4 + K = - 10$

단계 6.4

$K$ 를 포함하지 않은 모든 항을 방정식의 우변으로 옮깁니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.4.1

방정식의 양변에서 $4$ 를 뺍니다.

$K = - 10 - 4$

단계 6.4.2

$- 10$ 에서 $4$ 을 뺍니다.

$K = - 14$

단계 7

$y = - \frac{4 x e^{- x} + 4 e^{- x} + K}{2}$ 의 $K$ 에 $- 14$ 를 대입하여 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 7.1

$K$ 에 $- 14$ 를 대입합니다.

$y = - \frac{4 x e^{- x} + 4 e^{- x} - 14}{2}$

단계 7.2

$4 x e^{- x} + 4 e^{- x} - 14$ 및 $2$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 7.2.1

$4 x e^{- x}$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$y = - \frac{2 (2 x e^{- x}) + 4 e^{- x} - 14}{2}$

단계 7.2.2

$4 e^{- x}$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$y = - \frac{2 (2 x e^{- x}) + 2 (2 e^{- x}) - 14}{2}$

단계 7.2.3

$2 (2 x e^{- x}) + 2 (2 e^{- x})$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$y = - \frac{2 (2 x e^{- x} + 2 e^{- x}) - 14}{2}$

단계 7.2.4

$- 14$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$y = - \frac{2 (2 x e^{- x} + 2 e^{- x}) + 2 \cdot - 7}{2}$

단계 7.2.5

$2 (2 x e^{- x} + 2 e^{- x}) + 2 (- 7)$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$y = - \frac{2 (2 x e^{- x} + 2 e^{- x} - 7)}{2}$

단계 7.2.6

공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 7.2.6.1

$2$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$y = - \frac{2 (2 x e^{- x} + 2 e^{- x} - 7)}{2 (1)}$

단계 7.2.6.2

공약수로 약분합니다.

$y = - \frac{2 (2 x e^{- x} + 2 e^{- x} - 7)}{2 \cdot 1}$

단계 7.2.6.3

수식을 다시 씁니다.

$y = - \frac{2 x e^{- x} + 2 e^{- x} - 7}{1}$

단계 7.2.6.4

$2 x e^{- x} + 2 e^{- x} - 7$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$y = - (2 x e^{- x} + 2 e^{- x} - 7)$

단계 7.3

분배 법칙을 적용합니다.

$y = - (2 x e^{- x}) - (2 e^{- x}) - - 7$

단계 7.4

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 7.4.1

$2$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$y = - 2 (x e^{- x}) - (2 e^{- x}) - - 7$

단계 7.4.2

$2$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$y = - 2 (x e^{- x}) - 2 e^{- x} - - 7$

단계 7.4.3

$- 1$ 에 $- 7$ 을 곱합니다.

$y = - 2 (x e^{- x}) - 2 e^{- x} + 7$

$y = - 2 x e^{- x} - 2 e^{- x} + 7$