미적분 예제

$\frac{d y}{d x} = \frac{5 x + 3}{y - 5}$ , $y (0) = 8$

단계 1

변수를 분리합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1

양변에 $y - 5$ 을 곱합니다.

$(y - 5) \frac{d y}{d x} = (y - 5) \frac{5 x + 3}{y - 5}$

단계 1.2

$y - 5$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.2.1

공약수로 약분합니다.

$(y - 5) \frac{d y}{d x} = (y - 5) \frac{5 x + 3}{y - 5}$

단계 1.2.2

수식을 다시 씁니다.

$(y - 5) \frac{d y}{d x} = 5 x + 3$

단계 1.3

식을 다시 씁니다.

$(y - 5) d y = (5 x + 3) d x$

단계 2

양변을 적분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1

각 변의 적분을 구합니다.

$\int y - 5 d y = \int 5 x + 3 d x$

단계 2.2

좌변을 적분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.2.1

하나의 적분을 여러 개의 적분으로 나눕니다.

$\int y d y + \int - 5 d y = \int 5 x + 3 d x$

단계 2.2.2

멱의 법칙에 의해 $y$ 를 $y$ 에 대해 적분하면 $\frac{1}{2} y^{2}$ 가 됩니다.

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} + \int - 5 d y = \int 5 x + 3 d x$

단계 2.2.3

상수 규칙을 적용합니다.

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} - 5 y + C_{2} = \int 5 x + 3 d x$

단계 2.2.4

간단히 합니다.

$\frac{1}{2} y^{2} - 5 y + C_{3} = \int 5 x + 3 d x$

단계 2.3

우변을 적분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.3.1

하나의 적분을 여러 개의 적분으로 나눕니다.

$\frac{1}{2} y^{2} - 5 y + C_{3} = \int 5 x d x + \int 3 d x$

단계 2.3.2

$5$ 은 $x$ 에 대해 상수이므로, $5$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$\frac{1}{2} y^{2} - 5 y + C_{3} = 5 \int x d x + \int 3 d x$

단계 2.3.3

멱의 법칙에 의해 $x$ 를 $x$ 에 대해 적분하면 $\frac{1}{2} x^{2}$ 가 됩니다.

$\frac{1}{2} y^{2} - 5 y + C_{3} = 5 (\frac{1}{2} x^{2} + C_{4}) + \int 3 d x$

단계 2.3.4

상수 규칙을 적용합니다.

$\frac{1}{2} y^{2} - 5 y + C_{3} = 5 (\frac{1}{2} x^{2} + C_{4}) + 3 x + C_{5}$

단계 2.3.5

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.3.5.1

$\frac{1}{2}$ 와 $x^{2}$ 을 묶습니다.

$\frac{1}{2} y^{2} - 5 y + C_{3} = 5 (\frac{x^{2}}{2} + C_{4}) + 3 x + C_{5}$

단계 2.3.5.2

간단히 합니다.

$\frac{1}{2} y^{2} - 5 y + C_{3} = \frac{5 x^{2}}{2} + 3 x + C_{6}$

단계 2.3.5.3

항을 다시 정렬합니다.

$\frac{1}{2} y^{2} - 5 y + C_{3} = \frac{5}{2} x^{2} + 3 x + C_{6}$

단계 2.4

우변에 적분 상수를 $K$ 로 묶습니다.

$\frac{1}{2} y^{2} - 5 y = \frac{5}{2} x^{2} + 3 x + K$

단계 3

$y$ 에 대해 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.1

$\frac{1}{2}$ 와 $y^{2}$ 을 묶습니다.

$\frac{y^{2}}{2} - 5 y = \frac{5}{2} x^{2} + 3 x + K$

단계 3.2

$\frac{5}{2}$ 와 $x^{2}$ 을 묶습니다.

$\frac{y^{2}}{2} - 5 y = \frac{5 x^{2}}{2} + 3 x + K$

단계 3.3

모든 수식을 방정식의 좌변으로 옮깁니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.3.1

방정식의 양변에서 $\frac{5 x^{2}}{2}$ 를 뺍니다.

$\frac{y^{2}}{2} - 5 y - \frac{5 x^{2}}{2} = 3 x + K$

단계 3.3.2

방정식의 양변에서 $3 x$ 를 뺍니다.

$\frac{y^{2}}{2} - 5 y - \frac{5 x^{2}}{2} - 3 x = K$

단계 3.3.3

방정식의 양변에서 $K$ 를 뺍니다.

$\frac{y^{2}}{2} - 5 y - \frac{5 x^{2}}{2} - 3 x - K = 0$

단계 3.4

식 전체에 최소공분모 $2$ 을 곱한 다음 식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.4.1

분배 법칙을 적용합니다.

$2 (\frac{y^{2}}{2}) + 2 (- 5 y) + 2 (- \frac{5 x^{2}}{2}) + 2 (- 3 x) + 2 (- K) = 0$

단계 3.4.2

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.4.2.1

$2$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.4.2.1.1

공약수로 약분합니다.

$2 (\frac{y^{2}}{2}) + 2 (- 5 y) + 2 (- \frac{5 x^{2}}{2}) + 2 (- 3 x) + 2 (- K) = 0$

단계 3.4.2.1.2

수식을 다시 씁니다.

$y^{2} + 2 (- 5 y) + 2 (- \frac{5 x^{2}}{2}) + 2 (- 3 x) + 2 (- K) = 0$

단계 3.4.2.2

$- 5$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$y^{2} - 10 y + 2 (- \frac{5 x^{2}}{2}) + 2 (- 3 x) + 2 (- K) = 0$

단계 3.4.2.3

$2$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.4.2.3.1

$- \frac{5 x^{2}}{2}$ 의 마이너스 부호를 분자로 이동합니다.

$y^{2} - 10 y + 2 (\frac{- 5 x^{2}}{2}) + 2 (- 3 x) + 2 (- K) = 0$

단계 3.4.2.3.2

공약수로 약분합니다.

$y^{2} - 10 y + 2 (\frac{- 5 x^{2}}{2}) + 2 (- 3 x) + 2 (- K) = 0$

단계 3.4.2.3.3

수식을 다시 씁니다.

$y^{2} - 10 y - 5 x^{2} + 2 (- 3 x) + 2 (- K) = 0$

단계 3.4.2.4

$- 3$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$y^{2} - 10 y - 5 x^{2} - 6 x + 2 (- K) = 0$

단계 3.4.2.5

$- 1$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$y^{2} - 10 y - 5 x^{2} - 6 x - 2 K = 0$

단계 3.4.3

$- 10 y$ 를 옮깁니다.

$y^{2} - 5 x^{2} - 6 x - 2 K - 10 y = 0$

단계 3.4.4

$- 6 x$ 를 옮깁니다.

$y^{2} - 5 x^{2} - 2 K - 6 x - 10 y = 0$

단계 3.4.5

$y^{2}$ 와 $- 5 x^{2}$ 을 다시 정렬합니다.

$- 5 x^{2} + y^{2} - 2 K - 6 x - 10 y = 0$

단계 3.5

근의 공식을 이용해 방정식의 해를 구합니다.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

단계 3.6

이차함수의 근의 공식에 $a = 1$ , $b = - 10$ , $c = - 5 x^{2} - 2 K - 6 x$ 을 대입하여 $y$ 를 구합니다.

$\frac{10 \pm \sqrt{{(- 10)}^{2} - 4 \cdot (1 \cdot (- 5 x^{2} - 2 K - 6 x))}}{2 \cdot 1}$

단계 3.7

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.7.1

분자를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.7.1.1

$- 10$ 를 $2$ 승 합니다.

$y = \frac{10 \pm \sqrt{100 - 4 \cdot 1 \cdot (- 5 x^{2} - 2 K - 6 x)}}{2 \cdot 1}$

단계 3.7.1.2

$- 4$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$y = \frac{10 \pm \sqrt{100 - 4 \cdot (- 5 x^{2} - 2 K - 6 x)}}{2 \cdot 1}$

단계 3.7.1.3

분배 법칙을 적용합니다.

$y = \frac{10 \pm \sqrt{100 - 4 (- 5 x^{2}) - 4 (- 2 K) - 4 (- 6 x)}}{2 \cdot 1}$

단계 3.7.1.4

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.7.1.4.1

$- 5$ 에 $- 4$ 을 곱합니다.

$y = \frac{10 \pm \sqrt{100 + 20 x^{2} - 4 (- 2 K) - 4 (- 6 x)}}{2 \cdot 1}$

단계 3.7.1.4.2

$- 2$ 에 $- 4$ 을 곱합니다.

$y = \frac{10 \pm \sqrt{100 + 20 x^{2} + 8 K - 4 (- 6 x)}}{2 \cdot 1}$

단계 3.7.1.4.3

$- 6$ 에 $- 4$ 을 곱합니다.

$y = \frac{10 \pm \sqrt{100 + 20 x^{2} + 8 K + 24 x}}{2 \cdot 1}$

단계 3.7.1.5

$100 + 20 x^{2} + 8 K + 24 x$ 에서 $4$ 를 인수분해합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.7.1.5.1

$100$ 에서 $4$ 를 인수분해합니다.

$y = \frac{10 \pm \sqrt{4 (25) + 20 x^{2} + 8 K + 24 x}}{2 \cdot 1}$

단계 3.7.1.5.2

$20 x^{2}$ 에서 $4$ 를 인수분해합니다.

$y = \frac{10 \pm \sqrt{4 (25) + 4 (5 x^{2}) + 8 K + 24 x}}{2 \cdot 1}$

단계 3.7.1.5.3

$8 K$ 에서 $4$ 를 인수분해합니다.

$y = \frac{10 \pm \sqrt{4 (25) + 4 (5 x^{2}) + 4 (2 K) + 24 x}}{2 \cdot 1}$

단계 3.7.1.5.4

$24 x$ 에서 $4$ 를 인수분해합니다.

$y = \frac{10 \pm \sqrt{4 (25) + 4 (5 x^{2}) + 4 (2 K) + 4 (6 x)}}{2 \cdot 1}$

단계 3.7.1.5.5

$4 (25) + 4 (5 x^{2})$ 에서 $4$ 를 인수분해합니다.

$y = \frac{10 \pm \sqrt{4 (25 + 5 x^{2}) + 4 (2 K) + 4 (6 x)}}{2 \cdot 1}$

단계 3.7.1.5.6

$4 (25 + 5 x^{2}) + 4 (2 K)$ 에서 $4$ 를 인수분해합니다.

$y = \frac{10 \pm \sqrt{4 (25 + 5 x^{2} + 2 K) + 4 (6 x)}}{2 \cdot 1}$

단계 3.7.1.5.7

$4 (25 + 5 x^{2} + 2 K) + 4 (6 x)$ 에서 $4$ 를 인수분해합니다.

$y = \frac{10 \pm \sqrt{4 (25 + 5 x^{2} + 2 K + 6 x)}}{2 \cdot 1}$

단계 3.7.1.6

$4 (25 + 5 x^{2} + 2 K + 6 x)$ 을 $2^{2} (5^{2} + 5 x^{2} + 2 K + 6 x)$ 로 바꿔 씁니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.7.1.6.1

$4$ 을 $2^{2}$ 로 바꿔 씁니다.

$y = \frac{10 \pm \sqrt{2^{2} (25 + 5 x^{2} + 2 K + 6 x)}}{2 \cdot 1}$

단계 3.7.1.6.2

$25$ 을 $5^{2}$ 로 바꿔 씁니다.

$y = \frac{10 \pm \sqrt{2^{2} (5^{2} + 5 x^{2} + 2 K + 6 x)}}{2 \cdot 1}$

단계 3.7.1.7

근호 안의 항을 밖으로 빼냅니다.

$y = \frac{10 \pm 2 \sqrt{5^{2} + 5 x^{2} + 2 K + 6 x}}{2 \cdot 1}$

단계 3.7.1.8

$5$ 를 $2$ 승 합니다.

$y = \frac{10 \pm 2 \sqrt{25 + 5 x^{2} + 2 K + 6 x}}{2 \cdot 1}$

단계 3.7.2

$2$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$y = \frac{10 \pm 2 \sqrt{25 + 5 x^{2} + 2 K + 6 x}}{2}$

단계 3.7.3

$\frac{10 \pm 2 \sqrt{25 + 5 x^{2} + 2 K + 6 x}}{2}$ 을 간단히 합니다.

$y = 5 \pm \sqrt{25 + 5 x^{2} + 2 K + 6 x}$

단계 3.8

두 해를 모두 조합하면 최종 답이 됩니다.

$y = 5 + \sqrt{25 + 5 x^{2} + 2 K + 6 x}$

$y = 5 - \sqrt{25 + 5 x^{2} + 2 K + 6 x}$

$y = 5 + \sqrt{25 + 5 x^{2} + 2 K + 6 x}$

$y = 5 - \sqrt{25 + 5 x^{2} + 2 K + 6 x}$

단계 4

적분 상수를 간단히 합니다.

$y = 5 + \sqrt{25 + 5 x^{2} + K + 6 x}$

$y = 5 - \sqrt{25 + 5 x^{2} + K + 6 x}$

단계 5

$y$ 가 초기 조건 $(0, 8)$ 에서 양수이므로 $y = 5 + \sqrt{25 + 5 x^{2} + K + 6 x}$ 만 고려하여 $K$ 를 구합니다. $x$ 에 $0$ 를 대입하고 $y$ 에 $8$ 를 대입합니다.

$8 = 5 + \sqrt{25 + 5 \cdot 0^{2} + K + 6 \cdot 0}$

단계 6

$K$ 에 대해 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.1

$5 + \sqrt{25 + 5 \cdot 0^{2} + K + 6 \cdot 0} = 8$ 로 방정식을 다시 씁니다.

$5 + \sqrt{25 + 5 \cdot 0^{2} + K + 6 \cdot 0} = 8$

단계 6.2

$\sqrt{25 + 5 \cdot 0^{2} + K + 6 \cdot 0}$ 를 포함하지 않은 모든 항을 방정식의 우변으로 옮깁니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.2.1

방정식의 양변에서 $5$ 를 뺍니다.

$\sqrt{25 + 5 \cdot 0^{2} + K + 6 \cdot 0} = 8 - 5$

단계 6.2.2

$8$ 에서 $5$ 을 뺍니다.

$\sqrt{25 + 5 \cdot 0^{2} + K + 6 \cdot 0} = 3$

단계 6.3

방정식의 좌변의 근호를 없애기 위해 방정식 양변을 제곱합니다.

${\sqrt{25 + 5 \cdot 0^{2} + K + 6 \cdot 0}}^{2} = 3^{2}$

단계 6.4

방정식의 각 변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.4.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ 을(를) 사용하여 $\sqrt{25 + 5 \cdot 0^{2} + K + 6 \cdot 0}$ 을(를) ${(25 + 5 \cdot 0^{2} + K + 6 \cdot 0)}^{\frac{1}{2}}$ (으)로 다시 씁니다.

${({(25 + 5 \cdot 0^{2} + K + 6 \cdot 0)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = 3^{2}$

단계 6.4.2

좌변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.4.2.1

${({(25 + 5 \cdot 0^{2} + K + 6 \cdot 0)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ 을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.4.2.1.1

${({(25 + 5 \cdot 0^{2} + K + 6 \cdot 0)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ 의 지수를 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.4.2.1.1.1

멱의 법칙을 적용하여 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 과 같이 지수를 곱합니다.

${(25 + 5 \cdot 0^{2} + K + 6 \cdot 0)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = 3^{2}$

단계 6.4.2.1.1.2

$2$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.4.2.1.1.2.1

공약수로 약분합니다.

${(25 + 5 \cdot 0^{2} + K + 6 \cdot 0)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = 3^{2}$

단계 6.4.2.1.1.2.2

수식을 다시 씁니다.

${(25 + 5 \cdot 0^{2} + K + 6 \cdot 0)}^{1} = 3^{2}$

단계 6.4.2.1.2

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.4.2.1.2.1

$0$ 을 여러 번 거듭제곱해도 $0$ 이 나옵니다.

${(25 + 5 \cdot 0 + K + 6 \cdot 0)}^{1} = 3^{2}$

단계 6.4.2.1.2.2

$5$ 에 $0$ 을 곱합니다.

${(25 + 0 + K + 6 \cdot 0)}^{1} = 3^{2}$

단계 6.4.2.1.2.3

$6$ 에 $0$ 을 곱합니다.

${(25 + 0 + K + 0)}^{1} = 3^{2}$

단계 6.4.2.1.3

항을 더해 식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.4.2.1.3.1

$25 + 0 + K + 0$ 의 반대 항을 묶습니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.4.2.1.3.1.1

$25$ 를 $0$ 에 더합니다.

${(25 + K + 0)}^{1} = 3^{2}$

단계 6.4.2.1.3.1.2

$25 + K$ 를 $0$ 에 더합니다.

${(25 + K)}^{1} = 3^{2}$

단계 6.4.2.1.3.2

간단히 합니다.

$25 + K = 3^{2}$

단계 6.4.3

우변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.4.3.1

$3$ 를 $2$ 승 합니다.

$25 + K = 9$

단계 6.5

$K$ 를 포함하지 않은 모든 항을 방정식의 우변으로 옮깁니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.5.1

방정식의 양변에서 $25$ 를 뺍니다.

$K = 9 - 25$

단계 6.5.2

$9$ 에서 $25$ 을 뺍니다.

$K = - 16$

단계 7

$y = 5 + \sqrt{25 + 5 x^{2} + K + 6 x}$ 의 $K$ 에 $- 16$ 를 대입하여 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 7.1

$K$ 에 $- 16$ 를 대입합니다.

$y = 5 + \sqrt{25 + 5 x^{2} - 16 + 6 x}$

단계 7.2

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 7.2.1

$25$ 에서 $16$ 을 뺍니다.

$y = 5 + \sqrt{5 x^{2} + 9 + 6 x}$

단계 7.2.2

항을 다시 정렬합니다.

$y = 5 + \sqrt{5 x^{2} + 6 x + 9}$