미적분 예제

$y^{- 1} d y + y e^{\cos (x)} \sin (x) d x = 0$

단계 1

방정식의 양변에서 $y e^{\cos (x)} \sin (x) d x$ 를 뺍니다.

$y^{- 1} d y = - y e^{\cos (x)} \sin (x) d x$

단계 2

양변에 $\frac{1}{y}$ 을 곱합니다.

$\frac{1}{y} y^{- 1} d y = \frac{1}{y} (- y e^{\cos (x)} \sin (x)) d x$

단계 3

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.1

음의 지수 법칙 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 을 활용하여 식을 다시 씁니다.

$\frac{1}{y} \cdot \frac{1}{y} d y = \frac{1}{y} (- y e^{\cos (x)} \sin (x)) d x$

단계 3.2

$\frac{1}{y} \cdot \frac{1}{y}$ 을 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.2.1

$\frac{1}{y}$ 에 $\frac{1}{y}$ 을 곱합니다.

$\frac{1}{y \cdot y} d y = \frac{1}{y} (- y e^{\cos (x)} \sin (x)) d x$

단계 3.2.2

$y$ 를 $1$ 승 합니다.

$\frac{1}{y^{1} y} d y = \frac{1}{y} (- y e^{\cos (x)} \sin (x)) d x$

단계 3.2.3

$y$ 를 $1$ 승 합니다.

$\frac{1}{y^{1} y^{1}} d y = \frac{1}{y} (- y e^{\cos (x)} \sin (x)) d x$

단계 3.2.4

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$\frac{1}{y^{1 + 1}} d y = \frac{1}{y} (- y e^{\cos (x)} \sin (x)) d x$

단계 3.2.5

$1$ 를 $1$ 에 더합니다.

$\frac{1}{y^{2}} d y = \frac{1}{y} (- y e^{\cos (x)} \sin (x)) d x$

단계 3.3

곱셈의 교환법칙을 사용하여 다시 씁니다.

$\frac{1}{y^{2}} d y = - \frac{1}{y} (y e^{\cos (x)} \sin (x)) d x$

단계 3.4

$y$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.4.1

$- \frac{1}{y}$ 의 마이너스 부호를 분자로 이동합니다.

$\frac{1}{y^{2}} d y = \frac{- 1}{y} (y e^{\cos (x)} \sin (x)) d x$

단계 3.4.2

$y e^{\cos (x)} \sin (x)$ 에서 $y$ 를 인수분해합니다.

$\frac{1}{y^{2}} d y = \frac{- 1}{y} (y (e^{\cos (x)} \sin (x))) d x$

단계 3.4.3

공약수로 약분합니다.

$\frac{1}{y^{2}} d y = \frac{- 1}{y} (y (e^{\cos (x)} \sin (x))) d x$

단계 3.4.4

수식을 다시 씁니다.

$\frac{1}{y^{2}} d y = - (e^{\cos (x)} \sin (x)) d x$

$\frac{1}{y^{2}} d y = - e^{\cos (x)} \sin (x) d x$

단계 4

양변을 적분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.1

각 변의 적분을 구합니다.

$\int \frac{1}{y^{2}} d y = \int - e^{\cos (x)} \sin (x) d x$

단계 4.2

좌변을 적분합니다.

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단계 4.2.1

지수의 기본 법칙을 적용합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.2.1.1

$y^{2}$ 에 $- 1$ 승을 취하여 분모 밖으로 옮깁니다.

$\int {(y^{2})}^{- 1} d y = \int - e^{\cos (x)} \sin (x) d x$

단계 4.2.1.2

${(y^{2})}^{- 1}$ 의 지수를 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.2.1.2.1

멱의 법칙을 적용하여 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 과 같이 지수를 곱합니다.

$\int y^{2 \cdot - 1} d y = \int - e^{\cos (x)} \sin (x) d x$

단계 4.2.1.2.2

$2$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$\int y^{- 2} d y = \int - e^{\cos (x)} \sin (x) d x$

단계 4.2.2

멱의 법칙에 의해 $y^{- 2}$ 를 $y$ 에 대해 적분하면 $- y^{- 1}$ 가 됩니다.

$- y^{- 1} + C_{1} = \int - e^{\cos (x)} \sin (x) d x$

단계 4.2.3

$- y^{- 1} + C_{1}$ 을 $- \frac{1}{y} + C_{1}$ 로 바꿔 씁니다.

$- \frac{1}{y} + C_{1} = \int - e^{\cos (x)} \sin (x) d x$

단계 4.3

우변을 적분합니다.

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단계 4.3.1

$- 1$ 은 $x$ 에 대해 상수이므로, $- 1$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$- \frac{1}{y} + C_{1} = - \int e^{\cos (x)} \sin (x) d x$

단계 4.3.2

먼저 $u = \cos (x)$ 로 정의합니다. 그러면 $d u = - \sin (x) d x$ 이므로 $- \frac{1}{\sin (x)} d u = d x$ 가 됩니다. 이 식을 $u$ 와 $d$ $u$ 를 이용하여 다시 씁니다.

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단계 4.3.2.1

$u = \cos (x)$ 로 둡니다. $\frac{d u}{d x}$ 를 구합니다.

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단계 4.3.2.1.1

$\cos (x)$ 를 미분합니다.

$\frac{d}{d x} [\cos (x)]$

단계 4.3.2.1.2

$\cos (x)$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $- \sin (x)$ 입니다.

$- \sin (x)$

단계 4.3.2.2

$u$ 와 $d u$ 를 사용해 문제를 바꿔 씁니다.

$- \frac{1}{y} + C_{1} = - \int - e^{u} d u$

단계 4.3.3

$- 1$ 은 $u$ 에 대해 상수이므로, $- 1$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$- \frac{1}{y} + C_{1} = - - \int e^{u} d u$

단계 4.3.4

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.3.4.1

$- 1$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$- \frac{1}{y} + C_{1} = 1 \int e^{u} d u$

단계 4.3.4.2

$\int e^{u} d u$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$- \frac{1}{y} + C_{1} = \int e^{u} d u$

단계 4.3.5

$e^{u}$ 를 $u$ 에 대해 적분하면 $e^{u}$ 입니다.

$- \frac{1}{y} + C_{1} = e^{u} + C_{2}$

단계 4.3.6

$u$ 를 모두 $\cos (x)$ 로 바꿉니다.

$- \frac{1}{y} + C_{1} = e^{\cos (x)} + C_{2}$

단계 4.4

우변에 적분 상수를 $K$ 로 묶습니다.

$- \frac{1}{y} = e^{\cos (x)} + K$

단계 5

$y$ 에 대해 풉니다.

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단계 5.1

방정식 항의 최소공분모를 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.1.1

여러 값의 최소공분모를 구하는 것은 해당 값들의 분모의 최소공배수를 구하는 것과 같습니다.

$y, 1, 1$

단계 5.1.2

1과 식의 최소공배수는 그 식 자체입니다.

$y$

단계 5.2

$- \frac{1}{y} = e^{\cos (x)} + K$ 의 각 항에 $y$ 을 곱하고 분수를 소거합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.2.1

$- \frac{1}{y} = e^{\cos (x)} + K$ 의 각 항에 $y$ 을 곱합니다.

$- \frac{1}{y} y = e^{\cos (x)} y + K y$

단계 5.2.2

좌변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.2.2.1

$y$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.2.2.1.1

$- \frac{1}{y}$ 의 마이너스 부호를 분자로 이동합니다.

$\frac{- 1}{y} y = e^{\cos (x)} y + K y$

단계 5.2.2.1.2

공약수로 약분합니다.

$\frac{- 1}{y} y = e^{\cos (x)} y + K y$

단계 5.2.2.1.3

수식을 다시 씁니다.

$- 1 = e^{\cos (x)} y + K y$

단계 5.2.3

우변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.2.3.1

$e^{\cos (x)} y + K y$ 에서 인수를 다시 정렬합니다.

$- 1 = y e^{\cos (x)} + K y$

단계 5.3

식을 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.3.1

$y e^{\cos (x)} + K y = - 1$ 로 방정식을 다시 씁니다.

$y e^{\cos (x)} + K y = - 1$

단계 5.3.2

$y e^{\cos (x)} + K y$ 에서 $y$ 를 인수분해합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.3.2.1

$K y$ 에서 $y$ 를 인수분해합니다.

$y e^{\cos (x)} + y K = - 1$

단계 5.3.2.2

$y e^{\cos (x)} + y K$ 에서 $y$ 를 인수분해합니다.

$y (e^{\cos (x)} + K) = - 1$

단계 5.3.3

$y (e^{\cos (x)} + K) = - 1$ 의 각 항을 $e^{\cos (x)} + K$ 로 나누고 식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.3.3.1

$y (e^{\cos (x)} + K) = - 1$ 의 각 항을 $e^{\cos (x)} + K$ 로 나눕니다.

$\frac{y (e^{\cos (x)} + K)}{e^{\cos (x)} + K} = \frac{- 1}{e^{\cos (x)} + K}$

단계 5.3.3.2

좌변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.3.3.2.1

$e^{\cos (x)} + K$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.3.3.2.1.1

공약수로 약분합니다.

$\frac{y (e^{\cos (x)} + K)}{e^{\cos (x)} + K} = \frac{- 1}{e^{\cos (x)} + K}$

단계 5.3.3.2.1.2

$y$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$y = \frac{- 1}{e^{\cos (x)} + K}$

단계 5.3.3.3

우변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.3.3.3.1

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$y = - \frac{1}{e^{\cos (x)} + K}$