미적분 예제

$y \frac{d y}{d x} = \frac{a}{{(1 + \frac{x}{b})}^{2}}$

단계 1

식을 다시 씁니다.

$y d y = \frac{a}{{(1 + \frac{x}{b})}^{2}} d x$

단계 2

양변을 적분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1

각 변의 적분을 구합니다.

$\int y d y = \int \frac{a}{{(1 + \frac{x}{b})}^{2}} d x$

단계 2.2

멱의 법칙에 의해 $y$ 를 $y$ 에 대해 적분하면 $\frac{1}{2} y^{2}$ 가 됩니다.

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \int \frac{a}{{(1 + \frac{x}{b})}^{2}} d x$

단계 2.3

우변을 적분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.3.1

$a$ 은 $x$ 에 대해 상수이므로, $a$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = a \int \frac{1}{{(1 + \frac{x}{b})}^{2}} d x$

단계 2.3.2

먼저 $u = 1 + \frac{x}{b}$ 로 정의합니다. 그러면 $d u = \frac{1}{b} d x$ 이므로 $b d u = d x$ 가 됩니다. 이 식을 $u$ 와 $d$ $u$ 를 이용하여 다시 씁니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.3.2.1

$u = 1 + \frac{x}{b}$ 로 둡니다. $\frac{d u}{d x}$ 를 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.3.2.1.1

$1 + \frac{x}{b}$ 를 미분합니다.

$\frac{d}{d x} [1 + \frac{x}{b}]$

단계 2.3.2.1.2

미분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.3.2.1.2.1

합의 법칙에 의해 $1 + \frac{x}{b}$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [\frac{x}{b}]$ 가 됩니다.

$\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [\frac{x}{b}]$

단계 2.3.2.1.2.2

$1$ 이 $x$ 에 대해 일정하므로, $1$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $1$ 입니다.

$0 + \frac{d}{d x} [\frac{x}{b}]$

단계 2.3.2.1.3

$\frac{d}{d x} [\frac{x}{b}]$ 의 값을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.3.2.1.3.1

$\frac{1}{b}$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $\frac{x}{b}$ 의 미분은 $\frac{1}{b} \frac{d}{d x} [x]$ 입니다.

$0 + \frac{1}{b} \frac{d}{d x} [x]$

단계 2.3.2.1.3.2

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$0 + \frac{1}{b} \cdot 1$

단계 2.3.2.1.3.3

$\frac{1}{b}$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$0 + \frac{1}{b}$

단계 2.3.2.1.4

$0$ 를 $\frac{1}{b}$ 에 더합니다.

$\frac{1}{b}$

단계 2.3.2.2

$u$ 와 $d u$ 를 사용해 문제를 바꿔 씁니다.

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = a \int \frac{1}{u^{2}} \cdot \frac{1}{\frac{1}{b}} d u$

단계 2.3.3

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.3.3.1

$\frac{1}{b}$ 로 나누기 위해 분수의 역수를 곱합니다.

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = a \int \frac{1}{u^{2}} (1 b) d u$

단계 2.3.3.2

$b$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = a \int \frac{1}{u^{2}} b d u$

단계 2.3.3.3

$\frac{1}{u^{2}}$ 와 $b$ 을 묶습니다.

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = a \int \frac{b}{u^{2}} d u$

단계 2.3.4

$b$ 은 $u$ 에 대해 상수이므로, $b$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = a (b \int \frac{1}{u^{2}} d u)$

단계 2.3.5

지수의 기본 법칙을 적용합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.3.5.1

$u^{2}$ 에 $- 1$ 승을 취하여 분모 밖으로 옮깁니다.

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = a b \int {(u^{2})}^{- 1} d u$

단계 2.3.5.2

${(u^{2})}^{- 1}$ 의 지수를 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.3.5.2.1

멱의 법칙을 적용하여 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 과 같이 지수를 곱합니다.

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = a b \int u^{2 \cdot - 1} d u$

단계 2.3.5.2.2

$2$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = a b \int u^{- 2} d u$

단계 2.3.6

멱의 법칙에 의해 $u^{- 2}$ 를 $u$ 에 대해 적분하면 $- u^{- 1}$ 가 됩니다.

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = a b (- u^{- 1} + C_{2})$

단계 2.3.7

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.3.7.1

$a b (- u^{- 1} + C_{2})$ 을 $a b (- \frac{1}{u}) + C_{2}$ 로 바꿔 씁니다.

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = a b (- \frac{1}{u}) + C_{2}$

단계 2.3.7.2

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.3.7.2.1

$a$ 와 $\frac{1}{u}$ 을 묶습니다.

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = b (- \frac{a}{u}) + C_{2}$

단계 2.3.7.2.2

$b$ 와 $\frac{a}{u}$ 을 묶습니다.

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = - \frac{b a}{u} + C_{2}$

단계 2.3.8

$u$ 를 모두 $1 + \frac{x}{b}$ 로 바꿉니다.

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = - \frac{b a}{1 + \frac{x}{b}} + C_{2}$

단계 2.4

우변에 적분 상수를 $K$ 로 묶습니다.

$\frac{1}{2} y^{2} = - \frac{b a}{1 + \frac{x}{b}} + K$

단계 3

$y$ 에 대해 풉니다.

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단계 3.1

방정식의 양변에 $2$ 을 곱합니다.

$2 (\frac{1}{2} y^{2}) = 2 (- \frac{b a}{1 + \frac{x}{b}} + K)$

단계 3.2

방정식의 양변을 간단히 정리합니다.

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단계 3.2.1

좌변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.2.1.1

$2 (\frac{1}{2} y^{2})$ 을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.2.1.1.1

$\frac{1}{2}$ 와 $y^{2}$ 을 묶습니다.

$2 \frac{y^{2}}{2} = 2 (- \frac{b a}{1 + \frac{x}{b}} + K)$

단계 3.2.1.1.2

$2$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.2.1.1.2.1

공약수로 약분합니다.

$2 \frac{y^{2}}{2} = 2 (- \frac{b a}{1 + \frac{x}{b}} + K)$

단계 3.2.1.1.2.2

수식을 다시 씁니다.

$y^{2} = 2 (- \frac{b a}{1 + \frac{x}{b}} + K)$

단계 3.2.2

우변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.2.2.1

$2 (- \frac{b a}{1 + \frac{x}{b}} + K)$ 을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.2.2.1.1

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.2.2.1.1.1

분모를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.2.2.1.1.1.1

$1$ 을(를) 공통분모가 있는 분수로 표현합니다.

$y^{2} = 2 (- \frac{b a}{\frac{b}{b} + \frac{x}{b}} + K)$

단계 3.2.2.1.1.1.2

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$y^{2} = 2 (- \frac{b a}{\frac{b + x}{b}} + K)$

단계 3.2.2.1.1.2

분자에 분모의 역수를 곱합니다.

$y^{2} = 2 (- (b a \frac{b}{b + x}) + K)$

단계 3.2.2.1.1.3

$b a \frac{b}{b + x}$ 을 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.2.2.1.1.3.1

$b$ 와 $\frac{b}{b + x}$ 을 묶습니다.

$y^{2} = 2 (- (a \frac{b \cdot b}{b + x}) + K)$

단계 3.2.2.1.1.3.2

$b$ 를 $1$ 승 합니다.

$y^{2} = 2 (- (a \frac{b^{1} b}{b + x}) + K)$

단계 3.2.2.1.1.3.3

$b$ 를 $1$ 승 합니다.

$y^{2} = 2 (- (a \frac{b^{1} b^{1}}{b + x}) + K)$

단계 3.2.2.1.1.3.4

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$y^{2} = 2 (- (a \frac{b^{1 + 1}}{b + x}) + K)$

단계 3.2.2.1.1.3.5

$1$ 를 $1$ 에 더합니다.

$y^{2} = 2 (- (a \frac{b^{2}}{b + x}) + K)$

단계 3.2.2.1.1.3.6

$a$ 와 $\frac{b^{2}}{b + x}$ 을 묶습니다.

$y^{2} = 2 (- \frac{a b^{2}}{b + x} + K)$

단계 3.2.2.1.2

공통 분모를 가지는 분수로 $K$ 을 표현하기 위해 $\frac{b + x}{b + x}$ 을 곱합니다.

$y^{2} = 2 (- \frac{a b^{2}}{b + x} + \frac{K (b + x)}{b + x})$

단계 3.2.2.1.3

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$y^{2} = 2 \frac{- a b^{2} + K (b + x)}{b + x}$

단계 3.2.2.1.4

분배 법칙을 적용합니다.

$y^{2} = 2 \frac{- a b^{2} + K b + K x}{b + x}$

단계 3.2.2.1.5

항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.2.2.1.5.1

$2$ 와 $\frac{- a b^{2} + K b + K x}{b + x}$ 을 묶습니다.

$y^{2} = \frac{2 (- a b^{2} + K b + K x)}{b + x}$

단계 3.2.2.1.5.2

$- a b^{2}$ 에서 $- 1$ 를 인수분해합니다.

$y^{2} = \frac{2 (- (a b^{2}) + K b + K x)}{b + x}$

단계 3.2.2.1.5.3

$K b$ 에서 $- 1$ 를 인수분해합니다.

$y^{2} = \frac{2 (- (a b^{2}) - (- K b) + K x)}{b + x}$

단계 3.2.2.1.5.4

$- (a b^{2}) - (- K b)$ 에서 $- 1$ 를 인수분해합니다.

$y^{2} = \frac{2 (- (a b^{2} - K b) + K x)}{b + x}$

단계 3.2.2.1.5.5

$K x$ 에서 $- 1$ 를 인수분해합니다.

$y^{2} = \frac{2 (- (a b^{2} - K b) - (- K x))}{b + x}$

단계 3.2.2.1.5.6

$- (a b^{2} - K b) - (- K x)$ 에서 $- 1$ 를 인수분해합니다.

$y^{2} = \frac{2 (- (a b^{2} - K b - K x))}{b + x}$

단계 3.2.2.1.5.7

식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.2.2.1.5.7.1

$- (a b^{2} - K b - K x)$ 을 $- 1 (a b^{2} - K b - K x)$ 로 바꿔 씁니다.

$y^{2} = \frac{2 (- 1 (a b^{2} - K b - K x))}{b + x}$

단계 3.2.2.1.5.7.2

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$y^{2} = - \frac{2 (a b^{2} - K b - K x)}{b + x}$

단계 3.3

좌변의 지수를 소거하기 위하여 방정식의 양변에 지정된 제곱근을 취합니다.

$y = \pm \sqrt{- \frac{2 (a b^{2} - K b - K x)}{b + x}}$

단계 3.4

해의 양수와 음수 부분 모두 최종 해가 됩니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.4.1

먼저, $\pm$ 의 양의 값을 이용하여 첫 번째 해를 구합니다.

$y = \sqrt{- \frac{2 (a b^{2} - K b - K x)}{b + x}}$

단계 3.4.2

그 다음 $\pm$ 의 마이너스 값을 사용하여 두 번째 해를 구합니다.

$y = - \sqrt{- \frac{2 (a b^{2} - K b - K x)}{b + x}}$

단계 3.4.3

해의 양수와 음수 부분 모두 최종 해가 됩니다.

$y = \sqrt{- \frac{2 (a b^{2} - K b - K x)}{b + x}}$

$y = - \sqrt{- \frac{2 (a b^{2} - K b - K x)}{b + x}}$

$y = \sqrt{- \frac{2 (a b^{2} - K b - K x)}{b + x}}$

$y = - \sqrt{- \frac{2 (a b^{2} - K b - K x)}{b + x}}$

$y = \sqrt{- \frac{2 (a b^{2} - K b - K x)}{b + x}}$

$y = - \sqrt{- \frac{2 (a b^{2} - K b - K x)}{b + x}}$

단계 4

적분 상수를 간단히 합니다.

$y = \sqrt{- \frac{2 (a b^{2} + K b + K x)}{b + x}}$

$y = - \sqrt{- \frac{2 (a b^{2} + K b + K x)}{b + x}}$