미적분 예제

$\frac{d y}{d x} = \frac{x y}{x + 3}$

단계 1

변수를 분리합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1

인수를 다시 묶습니다.

$\frac{d y}{d x} = \frac{x}{x + 3} y$

단계 1.2

양변에 $\frac{1}{y}$ 을 곱합니다.

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y} (\frac{x}{x + 3} y)$

단계 1.3

$y$ 의 공약수로 약분합니다.

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단계 1.3.1

$\frac{x}{x + 3} y$ 에서 $y$ 를 인수분해합니다.

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y} (y \frac{x}{x + 3})$

단계 1.3.2

공약수로 약분합니다.

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y} (y \frac{x}{x + 3})$

단계 1.3.3

수식을 다시 씁니다.

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{x}{x + 3}$

단계 1.4

식을 다시 씁니다.

$\frac{1}{y} d y = \frac{x}{x + 3} d x$

단계 2

양변을 적분합니다.

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단계 2.1

각 변의 적분을 구합니다.

$\int \frac{1}{y} d y = \int \frac{x}{x + 3} d x$

단계 2.2

$\frac{1}{y}$ 를 $y$ 에 대해 적분하면 $\ln (| y |)$ 입니다.

$\ln (| y |) + C_{1} = \int \frac{x}{x + 3} d x$

단계 2.3

우변을 적분합니다.

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단계 2.3.1

$x$ 을 $x + 3$ 로 나눕니다.

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단계 2.3.1.1

다항식을 나눗셈 형태로 적습니다. 각 지수에 대하여 항이 없는 경우 값이 $0$ 인 항을 삽입합니다.

$x$

$3$

$x$

$0$

단계 2.3.1.2

피제수 $x$ 의 고차항을 제수 $x$ 의 고차항으로 나눕니다.

					$1$
	$x$	+	$3$		$x$	+	$0$

단계 2.3.1.3

새로운 몫 값에 제수를 곱합니다.

				$1$
$x$	+	$3$		$x$	+	$0$
			+	$x$	+	$3$

단계 2.3.1.4

식을 피제수에서 빼야 하므로 $x + 3$ 의 모든 부호를 바꿉니다.

				$1$
$x$	+	$3$		$x$	+	$0$
			-	$x$	-	$3$

단계 2.3.1.5

부호를 바꾼 뒤, 곱한 다항식의 마지막 피제수를 더해 새로운 피제수를 구합니다.

				$1$
$x$	+	$3$		$x$	+	$0$
			-	$x$	-	$3$
					-	$3$

단계 2.3.1.6

최종 답은 몫에 제수 분의 나머지를 더한 값입니다.

$\ln (| y |) + C_{1} = \int 1 - \frac{3}{x + 3} d x$

단계 2.3.2

하나의 적분을 여러 개의 적분으로 나눕니다.

$\ln (| y |) + C_{1} = \int d x + \int - \frac{3}{x + 3} d x$

단계 2.3.3

상수 규칙을 적용합니다.

$\ln (| y |) + C_{1} = x + C_{2} + \int - \frac{3}{x + 3} d x$

단계 2.3.4

$- 1$ 은 $x$ 에 대해 상수이므로, $- 1$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$\ln (| y |) + C_{1} = x + C_{2} - \int \frac{3}{x + 3} d x$

단계 2.3.5

$3$ 은 $x$ 에 대해 상수이므로, $3$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$\ln (| y |) + C_{1} = x + C_{2} - (3 \int \frac{1}{x + 3} d x)$

단계 2.3.6

$3$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$\ln (| y |) + C_{1} = x + C_{2} - 3 \int \frac{1}{x + 3} d x$

단계 2.3.7

먼저 $u = x + 3$ 로 정의합니다. 그러면 $d u = d x$ 가 됩니다. 이 식을 $u$ 와 $d$ $u$ 를 이용하여 다시 씁니다.

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단계 2.3.7.1

$u = x + 3$ 로 둡니다. $\frac{d u}{d x}$ 를 구합니다.

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단계 2.3.7.1.1

$x + 3$ 를 미분합니다.

$\frac{d}{d x} [x + 3]$

단계 2.3.7.1.2

합의 법칙에 의해 $x + 3$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [3]$ 가 됩니다.

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [3]$

단계 2.3.7.1.3

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$1 + \frac{d}{d x} [3]$

단계 2.3.7.1.4

$3$ 이 $x$ 에 대해 일정하므로, $3$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $3$ 입니다.

$1 + 0$

단계 2.3.7.1.5

$1$ 를 $0$ 에 더합니다.

$1$

단계 2.3.7.2

$u$ 와 $d u$ 를 사용해 문제를 바꿔 씁니다.

$\ln (| y |) + C_{1} = x + C_{2} - 3 \int \frac{1}{u} d u$

단계 2.3.8

$\frac{1}{u}$ 를 $u$ 에 대해 적분하면 $\ln (| u |)$ 입니다.

$\ln (| y |) + C_{1} = x + C_{2} - 3 (\ln (| u |) + C_{3})$

단계 2.3.9

간단히 합니다.

$\ln (| y |) + C_{1} = x - 3 \ln (| u |) + C_{4}$

단계 2.3.10

$u$ 를 모두 $x + 3$ 로 바꿉니다.

$\ln (| y |) + C_{1} = x - 3 \ln (| x + 3 |) + C_{4}$

단계 2.4

우변에 적분 상수를 $C$ 로 묶습니다.

$\ln (| y |) = x - 3 \ln (| x + 3 |) + C$

단계 3

$y$ 에 대해 풉니다.

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단계 3.1

로그를 포함하고 있는 모든 항을 방정식의 좌변으로 옮깁니다.

$\ln (| y |) + 3 \ln (| x + 3 |) = x + C$

단계 3.2

좌변을 간단히 합니다.

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단계 3.2.1

$\ln (| y |) + 3 \ln (| x + 3 |)$ 을 간단히 합니다.

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단계 3.2.1.1

$3$ 를 로그 안으로 옮겨 $3 \ln (| x + 3 |)$ 을 간단히 합니다.

$\ln (| y |) + \ln ({| x + 3 |}^{3}) = x + C$

단계 3.2.1.2

로그의 곱의 성질 $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ 를 사용합니다.

$\ln (| y | {| x + 3 |}^{3}) = x + C$

단계 3.3

$y$ 을 구하기 위해 로그의 성질을 이용하여 방정식을 다시 씁니다.

$e^{\ln (| y | {| x + 3 |}^{3})} = e^{x + C}$

단계 3.4

로그의 정의를 이용하여 $\ln (| y | {| x + 3 |}^{3}) = x + C$ 를 지수 형태로 다시 씁니다. 만약 $x$ 와 $b$ 가 양의 실수와 $b \neq 1$ 이면, $\log_{b} (x) = y$ 는 $b^{y} = x$ 와 같습니다.

$e^{x + C} = | y | {| x + 3 |}^{3}$

단계 3.5

$y$ 에 대해 풉니다.

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단계 3.5.1

$| y | {| x + 3 |}^{3} = e^{x + C}$ 로 방정식을 다시 씁니다.

$| y | {| x + 3 |}^{3} = e^{x + C}$

단계 3.5.2

$| y | {| x + 3 |}^{3} = e^{x + C}$ 의 각 항을 ${| x + 3 |}^{3}$ 로 나누고 식을 간단히 합니다.

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단계 3.5.2.1

$| y | {| x + 3 |}^{3} = e^{x + C}$ 의 각 항을 ${| x + 3 |}^{3}$ 로 나눕니다.

$\frac{| y | {| x + 3 |}^{3}}{{| x + 3 |}^{3}} = \frac{e^{x + C}}{{| x + 3 |}^{3}}$

단계 3.5.2.2

좌변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.5.2.2.1

${| x + 3 |}^{3}$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.5.2.2.1.1

공약수로 약분합니다.

$\frac{| y | {| x + 3 |}^{3}}{{| x + 3 |}^{3}} = \frac{e^{x + C}}{{| x + 3 |}^{3}}$

단계 3.5.2.2.1.2

$| y |$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$| y | = \frac{e^{x + C}}{{| x + 3 |}^{3}}$

단계 3.5.3

절대값의 항을 제거합니다. $| x | = \pm x$ 이므로 방정식 우변에 $\pm$ 이 생깁니다.

$y = \pm \frac{e^{x + C}}{{| x + 3 |}^{3}}$

단계 4

상수 항을 하나로 묶습니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.1

$e^{x + C}$ 을 $e^{x} e^{C}$ 로 바꿔 씁니다.

$y = \pm \frac{e^{x} e^{C}}{{| x + 3 |}^{3}}$

단계 4.2

$e^{x}$ 와 $e^{C}$ 을 다시 정렬합니다.

$y = \pm \frac{e^{C} e^{x}}{{| x + 3 |}^{3}}$

단계 4.3

양 또는 음의 상수를 결합합니다.

$y = C \frac{C e^{x}}{{| x + 3 |}^{3}}$