미적분 예제

$\frac{d y}{d x} + \frac{y}{x} = 3 x$

단계 1

$\frac{d y}{d x} + M (x) y = Q (x)$ 로 미분 방정식을 다시 씁니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1

$\frac{y}{x}$ 에서 $y$ 를 인수분해합니다.

$\frac{d y}{d x} + y \frac{1}{x} = 3 x$

단계 1.2

$y$ 와 $\frac{1}{x}$ 을 다시 정렬합니다.

$\frac{d y}{d x} + \frac{1}{x} y = 3 x$

단계 2

적분 인수는 $e^{\int P (x) d x}$ 공식으로 정의됩니다. 여기서는 $P (x) = \frac{1}{x}$ 입니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1

적분을 구합니다.

$e^{\int \frac{1}{x} d x}$

단계 2.2

$\frac{1}{x}$ 를 $x$ 에 대해 적분하면 $\ln (| x |)$ 입니다.

$e^{\ln (| x |) + C}$

단계 2.3

적분 상수를 소거합니다.

$e^{\ln (x)}$

단계 2.4

지수와 로그는 역함수 관계입니다.

$x$

단계 3

각 항에 적분 인수 $x$ 을 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.1

각 항에 $x$ 을 곱합니다.

$x \frac{d y}{d x} + x (\frac{1}{x} y) = x (3 x)$

단계 3.2

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.2.1

$\frac{1}{x}$ 와 $y$ 을 묶습니다.

$x \frac{d y}{d x} + x \frac{y}{x} = x (3 x)$

단계 3.2.2

$x$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.2.2.1

공약수로 약분합니다.

$x \frac{d y}{d x} + x \frac{y}{x} = x (3 x)$

단계 3.2.2.2

수식을 다시 씁니다.

$x \frac{d y}{d x} + y = x (3 x)$

단계 3.3

곱셈의 교환법칙을 사용하여 다시 씁니다.

$x \frac{d y}{d x} + y = 3 x \cdot x$

단계 3.4

지수를 더하여 $x$ 에 $x$ 을 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.4.1

$x$ 를 옮깁니다.

$x \frac{d y}{d x} + y = 3 (x \cdot x)$

단계 3.4.2

$x$ 에 $x$ 을 곱합니다.

$x \frac{d y}{d x} + y = 3 x^{2}$

단계 4

곱을 미분한 결과로 좌변을 다시 씁니다.

$\frac{d}{d x} [x y] = 3 x^{2}$

단계 5

각 변의 적분을 구합니다.

$\int \frac{d}{d x} [x y] d x = \int 3 x^{2} d x$

단계 6

좌변을 적분합니다.

$x y = \int 3 x^{2} d x$

단계 7

우변을 적분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 7.1

$3$ 은 $x$ 에 대해 상수이므로, $3$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$x y = 3 \int x^{2} d x$

단계 7.2

멱의 법칙에 의해 $x^{2}$ 를 $x$ 에 대해 적분하면 $\frac{1}{3} x^{3}$ 가 됩니다.

$x y = 3 (\frac{1}{3} x^{3} + C)$

단계 7.3

답을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 7.3.1

$3 (\frac{1}{3} x^{3} + C)$ 을 $3 (\frac{1}{3}) x^{3} + C$ 로 바꿔 씁니다.

$x y = 3 (\frac{1}{3}) x^{3} + C$

단계 7.3.2

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 7.3.2.1

$3$ 와 $\frac{1}{3}$ 을 묶습니다.

$x y = \frac{3}{3} x^{3} + C$

단계 7.3.2.2

$3$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 7.3.2.2.1

공약수로 약분합니다.

$x y = \frac{3}{3} x^{3} + C$

단계 7.3.2.2.2

수식을 다시 씁니다.

$x y = 1 x^{3} + C$

단계 7.3.2.3

$x^{3}$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$x y = x^{3} + C$

단계 8

$x y = x^{3} + C$ 의 각 항을 $x$ 로 나누고 식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 8.1

$x y = x^{3} + C$ 의 각 항을 $x$ 로 나눕니다.

$\frac{x y}{x} = \frac{x^{3}}{x} + \frac{C}{x}$

단계 8.2

좌변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 8.2.1

$x$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 8.2.1.1

공약수로 약분합니다.

$\frac{x y}{x} = \frac{x^{3}}{x} + \frac{C}{x}$

단계 8.2.1.2

$y$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$y = \frac{x^{3}}{x} + \frac{C}{x}$

단계 8.3

우변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 8.3.1

$x^{3}$ 및 $x$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 8.3.1.1

$x^{3}$ 에서 $x$ 를 인수분해합니다.

$y = \frac{x \cdot x^{2}}{x} + \frac{C}{x}$

단계 8.3.1.2

공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 8.3.1.2.1

$x$ 를 $1$ 승 합니다.

$y = \frac{x \cdot x^{2}}{x^{1}} + \frac{C}{x}$

단계 8.3.1.2.2

$x^{1}$ 에서 $x$ 를 인수분해합니다.

$y = \frac{x \cdot x^{2}}{x \cdot 1} + \frac{C}{x}$

단계 8.3.1.2.3

공약수로 약분합니다.

$y = \frac{x \cdot x^{2}}{x \cdot 1} + \frac{C}{x}$

단계 8.3.1.2.4

수식을 다시 씁니다.

$y = \frac{x^{2}}{1} + \frac{C}{x}$

단계 8.3.1.2.5

$x^{2}$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$y = x^{2} + \frac{C}{x}$