미적분 예제

$(y^{2} + 4 y - 1) \frac{d y}{d x} = x^{2} - 2 x + 3$

단계 1

식을 다시 씁니다.

$(y^{2} + 4 y - 1) d y = (x^{2} - 2 x + 3) d x$

단계 2

양변을 적분합니다.

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단계 2.1

각 변의 적분을 구합니다.

$\int y^{2} + 4 y - 1 d y = \int x^{2} - 2 x + 3 d x$

단계 2.2

좌변을 적분합니다.

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단계 2.2.1

하나의 적분을 여러 개의 적분으로 나눕니다.

$\int y^{2} d y + \int 4 y d y + \int - 1 d y = \int x^{2} - 2 x + 3 d x$

단계 2.2.2

멱의 법칙에 의해 $y^{2}$ 를 $y$ 에 대해 적분하면 $\frac{1}{3} y^{3}$ 가 됩니다.

$\frac{1}{3} y^{3} + C_{1} + \int 4 y d y + \int - 1 d y = \int x^{2} - 2 x + 3 d x$

단계 2.2.3

$4$ 은 $y$ 에 대해 상수이므로, $4$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$\frac{1}{3} y^{3} + C_{1} + 4 \int y d y + \int - 1 d y = \int x^{2} - 2 x + 3 d x$

단계 2.2.4

멱의 법칙에 의해 $y$ 를 $y$ 에 대해 적분하면 $\frac{1}{2} y^{2}$ 가 됩니다.

$\frac{1}{3} y^{3} + C_{1} + 4 (\frac{1}{2} y^{2} + C_{2}) + \int - 1 d y = \int x^{2} - 2 x + 3 d x$

단계 2.2.5

상수 규칙을 적용합니다.

$\frac{1}{3} y^{3} + C_{1} + 4 (\frac{1}{2} y^{2} + C_{2}) - y + C_{3} = \int x^{2} - 2 x + 3 d x$

단계 2.2.6

간단히 합니다.

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단계 2.2.6.1

$\frac{1}{2}$ 와 $y^{2}$ 을 묶습니다.

$\frac{1}{3} y^{3} + C_{1} + 4 (\frac{y^{2}}{2} + C_{2}) - y + C_{3} = \int x^{2} - 2 x + 3 d x$

단계 2.2.6.2

간단히 합니다.

$\frac{y^{3}}{3} + 2 y^{2} - y + C_{4} = \int x^{2} - 2 x + 3 d x$

단계 2.2.6.3

항을 다시 정렬합니다.

$\frac{1}{3} y^{3} + 2 y^{2} - y + C_{4} = \int x^{2} - 2 x + 3 d x$

단계 2.2.7

항을 다시 정렬합니다.

$2 y^{2} + \frac{1}{3} y^{3} - y + C_{4} = \int x^{2} - 2 x + 3 d x$

단계 2.3

우변을 적분합니다.

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단계 2.3.1

하나의 적분을 여러 개의 적분으로 나눕니다.

$2 y^{2} + \frac{1}{3} y^{3} - y + C_{4} = \int x^{2} d x + \int - 2 x d x + \int 3 d x$

단계 2.3.2

멱의 법칙에 의해 $x^{2}$ 를 $x$ 에 대해 적분하면 $\frac{1}{3} x^{3}$ 가 됩니다.

$2 y^{2} + \frac{1}{3} y^{3} - y + C_{4} = \frac{1}{3} x^{3} + C_{5} + \int - 2 x d x + \int 3 d x$

단계 2.3.3

$- 2$ 은 $x$ 에 대해 상수이므로, $- 2$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$2 y^{2} + \frac{1}{3} y^{3} - y + C_{4} = \frac{1}{3} x^{3} + C_{5} - 2 \int x d x + \int 3 d x$

단계 2.3.4

멱의 법칙에 의해 $x$ 를 $x$ 에 대해 적분하면 $\frac{1}{2} x^{2}$ 가 됩니다.

$2 y^{2} + \frac{1}{3} y^{3} - y + C_{4} = \frac{1}{3} x^{3} + C_{5} - 2 (\frac{1}{2} x^{2} + C_{6}) + \int 3 d x$

단계 2.3.5

상수 규칙을 적용합니다.

$2 y^{2} + \frac{1}{3} y^{3} - y + C_{4} = \frac{1}{3} x^{3} + C_{5} - 2 (\frac{1}{2} x^{2} + C_{6}) + 3 x + C_{7}$

단계 2.3.6

간단히 합니다.

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단계 2.3.6.1

$\frac{1}{2}$ 와 $x^{2}$ 을 묶습니다.

$2 y^{2} + \frac{1}{3} y^{3} - y + C_{4} = \frac{1}{3} x^{3} + C_{5} - 2 (\frac{x^{2}}{2} + C_{6}) + 3 x + C_{7}$

단계 2.3.6.2

간단히 합니다.

$2 y^{2} + \frac{1}{3} y^{3} - y + C_{4} = \frac{x^{3}}{3} - x^{2} + 3 x + C_{8}$

단계 2.3.6.3

항을 다시 정렬합니다.

$2 y^{2} + \frac{1}{3} y^{3} - y + C_{4} = \frac{1}{3} x^{3} - x^{2} + 3 x + C_{8}$

단계 2.3.7

항을 다시 정렬합니다.

$2 y^{2} + \frac{1}{3} y^{3} - y + C_{4} = - x^{2} + \frac{1}{3} x^{3} + 3 x + C_{8}$

단계 2.4

우변에 적분 상수를 $K$ 로 묶습니다.

$2 y^{2} + \frac{1}{3} y^{3} - y = - x^{2} + \frac{1}{3} x^{3} + 3 x + K$