미적분 예제

$(\frac{1}{y}) d x - (3 y - \frac{x}{y^{2}}) d y = 0$

단계 1

$M (x, y) = \frac{1}{y}$ 인 $\frac{\partial M}{\partial y}$ 을 구합니다.

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단계 1.1

$y$ 에 대해 $M$ 을 미분합니다.

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [\frac{1}{y}]$

단계 1.2

$\frac{1}{y}$ 을 $y^{- 1}$ 로 바꿔 씁니다.

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [y^{- 1}]$

단계 1.3

$n = - 1$ 일 때 $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ 는 $n y^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{\partial M}{\partial y} = - y^{- 2}$

단계 1.4

음의 지수 법칙 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 을 활용하여 식을 다시 씁니다.

$\frac{\partial M}{\partial y} = - \frac{1}{y^{2}}$

단계 2

$N (x, y) = - (3 y - \frac{x}{y^{2}})$ 인 $\frac{\partial N}{\partial x}$ 을 구합니다.

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단계 2.1

$x$ 에 대해 $N$ 을 미분합니다.

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [- (3 y - \frac{x}{y^{2}})]$

단계 2.2

$- 1$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $- (3 y - \frac{x}{y^{2}})$ 의 미분은 $- \frac{d}{d x} [3 y - \frac{x}{y^{2}}]$ 입니다.

$\frac{\partial N}{\partial x} = - \frac{d}{d x} [3 y - \frac{x}{y^{2}}]$

단계 2.3

합의 법칙에 의해 $3 y - \frac{x}{y^{2}}$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [3 y] + \frac{d}{d x} [- \frac{x}{y^{2}}]$ 가 됩니다.

$\frac{\partial N}{\partial x} = - (\frac{d}{d x} [3 y] + \frac{d}{d x} [- \frac{x}{y^{2}}])$

단계 2.4

$3 y$ 이 $x$ 에 대해 일정하므로, $3 y$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $3 y$ 입니다.

$\frac{\partial N}{\partial x} = - (0 + \frac{d}{d x} [- \frac{x}{y^{2}}])$

단계 2.5

$0$ 를 $\frac{d}{d x} [- \frac{x}{y^{2}}]$ 에 더합니다.

$\frac{\partial N}{\partial x} = - \frac{d}{d x} [- \frac{x}{y^{2}}]$

단계 2.6

$- \frac{1}{y^{2}}$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $- \frac{x}{y^{2}}$ 의 미분은 $- \frac{1}{y^{2}} \frac{d}{d x} [x]$ 입니다.

$\frac{\partial N}{\partial x} = - (- \frac{1}{y^{2}} \frac{d}{d x} [x])$

단계 2.7

곱합니다.

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단계 2.7.1

$- 1$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$\frac{\partial N}{\partial x} = 1 (\frac{1}{y^{2}} \frac{d}{d x} [x])$

단계 2.7.2

$\frac{1}{y^{2}}$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{1}{y^{2}} \frac{d}{d x} [x]$

단계 2.8

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{1}{y^{2}} \cdot 1$

단계 2.9

$\frac{1}{y^{2}}$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{1}{y^{2}}$

단계 3

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$ 를 확인합니다.

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단계 3.1

$\frac{\partial M}{\partial y}$ 에 $- \frac{1}{y^{2}}$ 을, $\frac{\partial N}{\partial x}$ 에 $\frac{1}{y^{2}}$ 을 대입합니다.

$- \frac{1}{y^{2}} = \frac{1}{y^{2}}$

단계 3.2

좌측 변이 우측 변과 같지 않으므로 이 방정식은 항등식이 아닙니다.

$- \frac{1}{y^{2}} = \frac{1}{y^{2}}$ 는 항등식이 아닙니다.

단계 4

적분 인수 $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial N}{\partial x} - \frac{\partial M}{\partial y}}{M} d y}$ 을 구합니다.

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단계 4.1

$\frac{\partial N}{\partial x}$ 에 $\frac{1}{y^{2}}$ 를 대입합니다.

$\frac{\frac{1}{y^{2}} - \frac{\partial M}{\partial y}}{M}$

단계 4.2

$\frac{\partial M}{\partial y}$ 에 $- \frac{1}{y^{2}}$ 를 대입합니다.

$\frac{\frac{1}{y^{2}} - - \frac{1}{y^{2}}}{M}$

단계 4.3

$M$ 에 $\frac{1}{y}$ 를 대입합니다.

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단계 4.3.1

$M$ 에 $\frac{1}{y}$ 를 대입합니다.

$\frac{\frac{1}{y^{2}} - - \frac{1}{y^{2}}}{\frac{1}{y}}$

단계 4.3.2

분자에 분모의 역수를 곱합니다.

$(\frac{1}{y^{2}} - - \frac{1}{y^{2}}) y$

단계 4.3.3

$- - \frac{1}{y^{2}}$ 을 곱합니다.

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단계 4.3.3.1

$- 1$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$(\frac{1}{y^{2}} + 1 \frac{1}{y^{2}}) y$

단계 4.3.3.2

$\frac{1}{y^{2}}$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$(\frac{1}{y^{2}} + \frac{1}{y^{2}}) y$

단계 4.3.4

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$\frac{1 + 1}{y^{2}} y$

단계 4.3.5

$1$ 를 $1$ 에 더합니다.

$\frac{2}{y^{2}} y$

단계 4.3.6

$M$ 에 $\frac{1}{y}$ 를 대입합니다.

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단계 4.3.6.1

$y^{2}$ 에서 $y$ 를 인수분해합니다.

$\frac{2}{y \cdot y} y$

단계 4.3.6.2

공약수로 약분합니다.

$\frac{2}{y \cdot y} y$

단계 4.3.6.3

수식을 다시 씁니다.

$\frac{2}{y}$

단계 4.4

적분 인수 $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial N}{\partial x} - \frac{\partial M}{\partial y}}{M} d y}$ 을 구합니다.

$μ (x, y) = e^{\int \frac{2}{y} d y}$

단계 5

적분 $e^{\int \frac{2}{y} d y}$ 을 구합니다.

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단계 5.1

$2$ 은 $y$ 에 대해 상수이므로, $2$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$μ (x, y) = e^{2 \int \frac{1}{y} d y}$

단계 5.2

$\frac{1}{y}$ 를 $y$ 에 대해 적분하면 $\ln (| y |)$ 입니다.

$μ (x, y) = e^{2 (\ln (| y |) + C)}$

단계 5.3

간단히 합니다.

$μ (x, y) = e^{2 \ln (| y |)} + C$

단계 5.4

각 항을 간단히 합니다.

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단계 5.4.1

$2$ 를 로그 안으로 옮겨 $2 \ln (| y |)$ 을 간단히 합니다.

$μ (x, y) = e^{\ln ({| y |}^{2})} + C$

단계 5.4.2

지수와 로그는 역함수 관계입니다.

$μ (x, y) = {| y |}^{2} + C$

단계 5.4.3

짝수 거듭제곱을 갖는 멱법은 항상 양수이기 때문에 ${| y |}^{2}$ 에서 절댓값을 제거합니다.

$μ (x, y) = y^{2} + C$

단계 6

$\frac{1}{y} d x - (3 y - \frac{x}{y^{2}}) d y = 0$ 의 양변에 적분 인수 $y^{2}$ 를 곱합니다.

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단계 6.1

$\frac{1}{y}$ 에 $y^{2}$ 을 곱합니다.

$\frac{1}{y} y^{2} d x - (3 y - \frac{x}{y^{2}}) d y = 0$

단계 6.2

$y$ 의 공약수로 약분합니다.

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단계 6.2.1

$y^{2}$ 에서 $y$ 를 인수분해합니다.

$\frac{1}{y} (y \cdot y) d x - (3 y - \frac{x}{y^{2}}) d y = 0$

단계 6.2.2

공약수로 약분합니다.

$\frac{1}{y} (y \cdot y) d x - (3 y - \frac{x}{y^{2}}) d y = 0$

단계 6.2.3

수식을 다시 씁니다.

$y d x - (3 y - \frac{x}{y^{2}}) d y = 0$

단계 6.3

$- (3 y - \frac{x}{y^{2}})$ 에 $y^{2}$ 을 곱합니다.

$y d x - (3 y - \frac{x}{y^{2}}) y^{2} d y = 0$

단계 6.4

분배 법칙을 적용합니다.

$y d x + (- (3 y) - - \frac{x}{y^{2}}) y^{2} d y = 0$

단계 6.5

$3$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$y d x + (- 3 y - - \frac{x}{y^{2}}) y^{2} d y = 0$

단계 6.6

$- - \frac{x}{y^{2}}$ 을 곱합니다.

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단계 6.6.1

$- 1$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$y d x + (- 3 y + 1 \frac{x}{y^{2}}) y^{2} d y = 0$

단계 6.6.2

$\frac{x}{y^{2}}$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$y d x + (- 3 y + \frac{x}{y^{2}}) y^{2} d y = 0$

단계 6.7

분배 법칙을 적용합니다.

$y d x + (- 3 y \cdot y^{2} + \frac{x}{y^{2}} y^{2}) d y = 0$

단계 6.8

지수를 더하여 $y$ 에 $y^{2}$ 을 곱합니다.

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단계 6.8.1

$y^{2}$ 를 옮깁니다.

$y d x + (- 3 (y^{2} y) + \frac{x}{y^{2}} y^{2}) d y = 0$

단계 6.8.2

$y^{2}$ 에 $y$ 을 곱합니다.

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단계 6.8.2.1

$y$ 를 $1$ 승 합니다.

$y d x + (- 3 (y^{2} y^{1}) + \frac{x}{y^{2}} y^{2}) d y = 0$

단계 6.8.2.2

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$y d x + (- 3 y^{2 + 1} + \frac{x}{y^{2}} y^{2}) d y = 0$

단계 6.8.3

$2$ 를 $1$ 에 더합니다.

$y d x + (- 3 y^{3} + \frac{x}{y^{2}} y^{2}) d y = 0$

단계 6.9

$y^{2}$ 의 공약수로 약분합니다.

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단계 6.9.1

공약수로 약분합니다.

$y d x + (- 3 y^{3} + \frac{x}{y^{2}} y^{2}) d y = 0$

단계 6.9.2

수식을 다시 씁니다.

$y d x + (- 3 y^{3} + x) d y = 0$

단계 7

집합 $f (x, y)$ 을 $M (x, y)$ 의 적분과 같게 둡니다.

$f (x, y) = \int y d x$

단계 8

$M (x, y) = y$ 을 적분하여 $f (x, y)$ 을 구합니다.

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단계 8.1

상수 규칙을 적용합니다.

$f (x, y) = y x + C$

단계 9

$g (y)$ 의 적분에 적분 상수가 있으므로 $C$ 에 $g (y)$ 을 대입할 수 있습니다.

$f (x, y) = y x + g (y)$

단계 10

$\frac{\partial f}{\partial y} = N (x, y)$ 으로 둡니다.

$\frac{\partial f}{\partial y} = - 3 y^{3} + x$

단계 11

$\frac{\partial f}{\partial y}$ 를 구합니다.

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단계 11.1

$y$ 에 대해 $f$ 을 미분합니다.

$\frac{d}{d y} [y x + g (y)] = - 3 y^{3} + x$

단계 11.2

합의 법칙에 의해 $y x + g (y)$ 를 $y$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d y} [y x] + \frac{d}{d y} [g (y)]$ 가 됩니다.

$\frac{d}{d y} [y x] + \frac{d}{d y} [g (y)] = - 3 y^{3} + x$

단계 11.3

$\frac{d}{d y} [y x]$ 의 값을 구합니다.

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단계 11.3.1

$x$ 은 $y$ 에 대해 일정하므로 $y$ 에 대한 $y x$ 의 미분은 $x \frac{d}{d y} [y]$ 입니다.

$x \frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [g (y)] = - 3 y^{3} + x$

단계 11.3.2

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ 는 $n y^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$x \cdot 1 + \frac{d}{d y} [g (y)] = - 3 y^{3} + x$

단계 11.3.3

$x$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$x + \frac{d}{d y} [g (y)] = - 3 y^{3} + x$

단계 11.4

$g (y)$ 의 도함수가 $\frac{d g}{d y}$ 인 함수 규칙을 사용하여 미분합니다.

$x + \frac{d g}{d y} = - 3 y^{3} + x$

단계 11.5

항을 다시 정렬합니다.

$\frac{d g}{d y} + x = - 3 y^{3} + x$

단계 12

$\frac{d g}{d y}$ 에 대해 풉니다.

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단계 12.1

$\frac{d g}{d y}$ 를 포함하지 않은 모든 항을 방정식의 우변으로 옮깁니다.

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단계 12.1.1

방정식의 양변에서 $x$ 를 뺍니다.

$\frac{d g}{d y} = - 3 y^{3} + x - x$

단계 12.1.2

$- 3 y^{3} + x - x$ 의 반대 항을 묶습니다.

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단계 12.1.2.1

$x$ 에서 $x$ 을 뺍니다.

$\frac{d g}{d y} = - 3 y^{3} + 0$

단계 12.1.2.2

$- 3 y^{3}$ 를 $0$ 에 더합니다.

$\frac{d g}{d y} = - 3 y^{3}$

단계 13

$- 3 y^{3}$ 의 역도함수를 구하여 $g (y)$ 을 구합니다.

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단계 13.1

$\frac{d g}{d y} = - 3 y^{3}$ 의 양쪽을 모두 적분합니다.

$\int \frac{d g}{d y} d y = \int - 3 y^{3} d y$

단계 13.2

$\int \frac{d g}{d y} d y$ 의 값을 구합니다.

$g (y) = \int - 3 y^{3} d y$

단계 13.3

$- 3$ 은 $y$ 에 대해 상수이므로, $- 3$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$g (y) = - 3 \int y^{3} d y$

단계 13.4

멱의 법칙에 의해 $y^{3}$ 를 $y$ 에 대해 적분하면 $\frac{1}{4} y^{4}$ 가 됩니다.

$g (y) = - 3 (\frac{1}{4} y^{4} + C)$

단계 13.5

답을 간단히 합니다.

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단계 13.5.1

$- 3 (\frac{1}{4} y^{4} + C)$ 을 $- 3 (\frac{1}{4}) y^{4} + C$ 로 바꿔 씁니다.

$g (y) = - 3 (\frac{1}{4}) y^{4} + C$

단계 13.5.2

간단히 합니다.

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단계 13.5.2.1

$- 3$ 와 $\frac{1}{4}$ 을 묶습니다.

$g (y) = \frac{- 3}{4} y^{4} + C$

단계 13.5.2.2

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$g (y) = - \frac{3}{4} y^{4} + C$

단계 14

$f (x, y) = y x + g (y)$ 에서 $g (y)$ 을 대입합니다.

$f (x, y) = y x - \frac{3}{4} y^{4} + C$

단계 15

각 항을 간단히 합니다.

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단계 15.1

$y^{4}$ 와 $\frac{3}{4}$ 을 묶습니다.

$f (x, y) = y x - \frac{y^{4} \cdot 3}{4} + C$

단계 15.2

$y^{4}$ 의 왼쪽으로 $3$ 이동하기

$f (x, y) = y x - \frac{3 y^{4}}{4} + C$