미적분 예제

$\frac{2 d y}{d x} + y = 3$

단계 1

변수를 분리합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1

$\frac{d y}{d x}$ 을 인수분해합니다.

$2 \frac{d y}{d x} + y = 3$

단계 1.2

$\frac{d y}{d x}$ 에 대해 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.2.1

방정식의 양변에서 $y$ 를 뺍니다.

$2 \frac{d y}{d x} = 3 - y$

단계 1.2.2

$2 \frac{d y}{d x} = 3 - y$ 의 각 항을 $2$ 로 나누고 식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.2.2.1

$2 \frac{d y}{d x} = 3 - y$ 의 각 항을 $2$ 로 나눕니다.

$\frac{2 \frac{d y}{d x}}{2} = \frac{3}{2} + \frac{- y}{2}$

단계 1.2.2.2

좌변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.2.2.2.1

$2$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.2.2.2.1.1

공약수로 약분합니다.

$\frac{2 \frac{d y}{d x}}{2} = \frac{3}{2} + \frac{- y}{2}$

단계 1.2.2.2.1.2

$\frac{d y}{d x}$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$\frac{d y}{d x} = \frac{3}{2} + \frac{- y}{2}$

단계 1.2.2.3

우변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.2.2.3.1

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$\frac{d y}{d x} = \frac{3}{2} - \frac{y}{2}$

단계 1.3

양변에 $\frac{1}{\frac{3}{2} - \frac{y}{2}}$ 을 곱합니다.

$\frac{1}{\frac{3}{2} - \frac{y}{2}} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{\frac{3}{2} - \frac{y}{2}} (\frac{3}{2} - \frac{y}{2})$

단계 1.4

$\frac{3}{2} - \frac{y}{2}$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.4.1

공약수로 약분합니다.

$\frac{1}{\frac{3}{2} - \frac{y}{2}} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{\frac{3}{2} - \frac{y}{2}} (\frac{3}{2} - \frac{y}{2})$

단계 1.4.2

수식을 다시 씁니다.

$\frac{1}{\frac{3}{2} - \frac{y}{2}} \frac{d y}{d x} = 1$

단계 1.5

식을 다시 씁니다.

$\frac{1}{\frac{3}{2} - \frac{y}{2}} d y = 1 d x$

단계 2

양변을 적분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1

각 변의 적분을 구합니다.

$\int \frac{1}{\frac{3}{2} - \frac{y}{2}} d y = \int d x$

단계 2.2

좌변을 적분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.2.1

먼저 $u = \frac{3}{2} - \frac{y}{2}$ 로 정의합니다. 그러면 $d u = - \frac{1}{2} d y$ 이므로 $- 2 d u = d y$ 가 됩니다. 이 식을 $u$ 와 $d$ $u$ 를 이용하여 다시 씁니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.2.1.1

$u = \frac{3}{2} - \frac{y}{2}$ 로 둡니다. $\frac{d u}{d y}$ 를 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.2.1.1.1

$\frac{3}{2} - \frac{y}{2}$ 를 미분합니다.

$\frac{d}{d y} [\frac{3}{2} - \frac{y}{2}]$

단계 2.2.1.1.2

미분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.2.1.1.2.1

합의 법칙에 의해 $\frac{3}{2} - \frac{y}{2}$ 를 $y$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d y} [\frac{3}{2}] + \frac{d}{d y} [- \frac{y}{2}]$ 가 됩니다.

$\frac{d}{d y} [\frac{3}{2}] + \frac{d}{d y} [- \frac{y}{2}]$

단계 2.2.1.1.2.2

$\frac{3}{2}$ 이 $y$ 에 대해 일정하므로, $\frac{3}{2}$ 를 $y$ 에 대해 미분하면 $\frac{3}{2}$ 입니다.

$0 + \frac{d}{d y} [- \frac{y}{2}]$

단계 2.2.1.1.3

$\frac{d}{d y} [- \frac{y}{2}]$ 의 값을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.2.1.1.3.1

$- \frac{1}{2}$ 은 $y$ 에 대해 일정하므로 $y$ 에 대한 $- \frac{y}{2}$ 의 미분은 $- \frac{1}{2} \frac{d}{d y} [y]$ 입니다.

$0 - \frac{1}{2} \frac{d}{d y} [y]$

단계 2.2.1.1.3.2

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ 는 $n y^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$0 - \frac{1}{2} \cdot 1$

단계 2.2.1.1.3.3

$- 1$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$0 - \frac{1}{2}$

단계 2.2.1.1.4

$0$ 에서 $\frac{1}{2}$ 을 뺍니다.

$- \frac{1}{2}$

단계 2.2.1.2

$u$ 와 $d u$ 를 사용해 문제를 바꿔 씁니다.

$\int \frac{- 1}{u} \cdot \frac{- 1}{- \frac{1}{2}} d u = \int d x$

단계 2.2.2

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.2.2.1

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$\int - \frac{1}{u} \cdot \frac{- 1}{- \frac{1}{2}} d u = \int d x$

단계 2.2.2.2

두 음수를 나누면 양수가 나옵니다.

$\int - \frac{1}{u} \cdot \frac{1}{\frac{1}{2}} d u = \int d x$

단계 2.2.2.3

$\frac{1}{2}$ 로 나누기 위해 분수의 역수를 곱합니다.

$\int - \frac{1}{u} (1 \cdot 2) d u = \int d x$

단계 2.2.2.4

$2$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$\int - \frac{1}{u} \cdot 2 d u = \int d x$

단계 2.2.2.5

$2$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$\int - 2 \frac{1}{u} d u = \int d x$

단계 2.2.2.6

$- 2$ 와 $\frac{1}{u}$ 을 묶습니다.

$\int \frac{- 2}{u} d u = \int d x$

단계 2.2.2.7

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$\int - \frac{2}{u} d u = \int d x$

단계 2.2.3

$- 1$ 은 $u$ 에 대해 상수이므로, $- 1$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$- \int \frac{2}{u} d u = \int d x$

단계 2.2.4

$2$ 은 $u$ 에 대해 상수이므로, $2$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$- (2 \int \frac{1}{u} d u) = \int d x$

단계 2.2.5

$2$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$- 2 \int \frac{1}{u} d u = \int d x$

단계 2.2.6

$\frac{1}{u}$ 를 $u$ 에 대해 적분하면 $\ln (| u |)$ 입니다.

$- 2 (\ln (| u |) + C_{1}) = \int d x$

단계 2.2.7

간단히 합니다.

$- 2 \ln (| u |) + C_{1} = \int d x$

단계 2.2.8

$u$ 를 모두 $\frac{3}{2} - \frac{y}{2}$ 로 바꿉니다.

$- 2 \ln (| \frac{3}{2} - \frac{y}{2} |) + C_{1} = \int d x$

단계 2.2.9

항을 다시 정렬합니다.

$- 2 \ln (| \frac{3}{2} - \frac{1}{2} y |) + C_{1} = \int d x$

단계 2.3

상수 규칙을 적용합니다.

$- 2 \ln (| \frac{3}{2} - \frac{1}{2} y |) + C_{1} = x + C_{2}$

단계 2.4

우변에 적분 상수를 $C$ 로 묶습니다.

$- 2 \ln (| \frac{3}{2} - \frac{1}{2} y |) = x + C$

단계 3

$y$ 에 대해 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.1

$- 2 \ln (| \frac{3}{2} - \frac{1}{2} y |) = x + C$ 의 각 항을 $- 2$ 로 나누고 식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.1.1

$- 2 \ln (| \frac{3}{2} - \frac{1}{2} y |) = x + C$ 의 각 항을 $- 2$ 로 나눕니다.

$\frac{- 2 \ln (| \frac{3}{2} - \frac{1}{2} y |)}{- 2} = \frac{x}{- 2} + \frac{C}{- 2}$

단계 3.1.2

좌변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.1.2.1

$- 2$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.1.2.1.1

공약수로 약분합니다.

$\frac{- 2 \ln (| \frac{3}{2} - \frac{1}{2} y |)}{- 2} = \frac{x}{- 2} + \frac{C}{- 2}$

단계 3.1.2.1.2

$\ln (| \frac{3}{2} - \frac{1}{2} y |)$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$\ln (| \frac{3}{2} - \frac{1}{2} y |) = \frac{x}{- 2} + \frac{C}{- 2}$

단계 3.1.2.2

$y$ 와 $\frac{1}{2}$ 을 묶습니다.

$\ln (| \frac{3}{2} - \frac{y}{2} |) = \frac{x}{- 2} + \frac{C}{- 2}$

단계 3.1.3

우변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.1.3.1

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.1.3.1.1

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$\ln (| \frac{3}{2} - \frac{y}{2} |) = - \frac{x}{2} + \frac{C}{- 2}$

단계 3.1.3.1.2

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$\ln (| \frac{3}{2} - \frac{y}{2} |) = - \frac{x}{2} - \frac{C}{2}$

단계 3.2

$y$ 을 구하기 위해 로그의 성질을 이용하여 방정식을 다시 씁니다.

$e^{\ln (| \frac{3}{2} - \frac{y}{2} |)} = e^{- \frac{x}{2} - \frac{C}{2}}$

단계 3.3

로그의 정의를 이용하여 $\ln (| \frac{3}{2} - \frac{y}{2} |) = - \frac{x}{2} - \frac{C}{2}$ 를 지수 형태로 다시 씁니다. 만약 $x$ 와 $b$ 가 양의 실수와 $b \neq 1$ 이면, $\log_{b} (x) = y$ 는 $b^{y} = x$ 와 같습니다.

$e^{- \frac{x}{2} - \frac{C}{2}} = | \frac{3}{2} - \frac{y}{2} |$

단계 3.4

$y$ 에 대해 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.4.1

$| \frac{3}{2} - \frac{y}{2} | = e^{- \frac{x}{2} - \frac{C}{2}}$ 로 방정식을 다시 씁니다.

$| \frac{3}{2} - \frac{y}{2} | = e^{- \frac{x}{2} - \frac{C}{2}}$

단계 3.4.2

절대값의 항을 제거합니다. $| x | = \pm x$ 이므로 방정식 우변에 $\pm$ 이 생깁니다.

$\frac{3}{2} - \frac{y}{2} = \pm e^{- \frac{x}{2} - \frac{C}{2}}$

단계 3.4.3

방정식의 양변에서 $\frac{3}{2}$ 를 뺍니다.

$- \frac{y}{2} = \pm e^{- \frac{x}{2} - \frac{C}{2}} - \frac{3}{2}$

단계 3.4.4

방정식의 양변에 $- 2$ 을 곱합니다.

$- 2 (- \frac{y}{2}) = - 2 (\pm e^{- \frac{x}{2} - \frac{C}{2}} - \frac{3}{2})$

단계 3.4.5

방정식의 양변을 간단히 정리합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.4.5.1

좌변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.4.5.1.1

$- 2 (- \frac{y}{2})$ 을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.4.5.1.1.1

$2$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.4.5.1.1.1.1

$- \frac{y}{2}$ 의 마이너스 부호를 분자로 이동합니다.

$- 2 \frac{- y}{2} = - 2 (\pm e^{- \frac{x}{2} - \frac{C}{2}} - \frac{3}{2})$

단계 3.4.5.1.1.1.2

$- 2$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$2 (- 1) \frac{- y}{2} = - 2 (\pm e^{- \frac{x}{2} - \frac{C}{2}} - \frac{3}{2})$

단계 3.4.5.1.1.1.3

공약수로 약분합니다.

$2 \cdot - 1 \frac{- y}{2} = - 2 (\pm e^{- \frac{x}{2} - \frac{C}{2}} - \frac{3}{2})$

단계 3.4.5.1.1.1.4

수식을 다시 씁니다.

$- - y = - 2 (\pm e^{- \frac{x}{2} - \frac{C}{2}} - \frac{3}{2})$

단계 3.4.5.1.1.2

곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.4.5.1.1.2.1

$- 1$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$1 y = - 2 (\pm e^{- \frac{x}{2} - \frac{C}{2}} - \frac{3}{2})$

단계 3.4.5.1.1.2.2

$y$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$y = - 2 (\pm e^{- \frac{x}{2} - \frac{C}{2}} - \frac{3}{2})$

단계 3.4.5.2

우변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.4.5.2.1

$- 2 (\pm e^{- \frac{x}{2} - \frac{C}{2}} - \frac{3}{2})$ 을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.4.5.2.1.1

공통 분모를 가지는 분수로 $\pm e^{- \frac{x}{2} - \frac{C}{2}}$ 을 표현하기 위해 $\frac{2}{2}$ 을 곱합니다.

$y = - 2 ((\pm e^{- \frac{x}{2} - \frac{C}{2}}) \cdot \frac{2}{2} - \frac{3}{2})$

단계 3.4.5.2.1.2

항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.4.5.2.1.2.1

$\pm e^{- \frac{x}{2} - \frac{C}{2}}$ 와 $\frac{2}{2}$ 을 묶습니다.

$y = - 2 (\frac{(\pm e^{- \frac{x}{2} - \frac{C}{2}}) \cdot 2}{2} - \frac{3}{2})$

단계 3.4.5.2.1.2.2

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$y = - 2 \frac{(\pm e^{- \frac{x}{2} - \frac{C}{2}}) \cdot 2 - 3}{2}$

단계 3.4.5.2.1.2.3

$2$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.4.5.2.1.2.3.1

$- 2$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$y = 2 (- 1) \frac{(\pm e^{- \frac{x}{2} - \frac{C}{2}}) \cdot 2 - 3}{2}$

단계 3.4.5.2.1.2.3.2

공약수로 약분합니다.

$y = 2 \cdot - 1 \frac{(\pm e^{- \frac{x}{2} - \frac{C}{2}}) \cdot 2 - 3}{2}$

단계 3.4.5.2.1.2.3.3

수식을 다시 씁니다.

$y = - ((\pm e^{- \frac{x}{2} - \frac{C}{2}}) \cdot 2 - 3)$

단계 3.4.5.2.1.3

$\pm e^{- \frac{x}{2} - \frac{C}{2}}$ 의 왼쪽으로 $2$ 이동하기

$y = - (2 (\pm e^{- \frac{x}{2} - \frac{C}{2}}) - 3)$

단계 3.4.5.2.1.4

모두 곱해 식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.4.5.2.1.4.1

분배 법칙을 적용합니다.

$y = - (2 (\pm e^{- \frac{x}{2} - \frac{C}{2}})) - - 3$

단계 3.4.5.2.1.4.2

곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.4.5.2.1.4.2.1

$2$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$y = - 2 (\pm e^{- \frac{x}{2} - \frac{C}{2}}) - - 3$

단계 3.4.5.2.1.4.2.2

$- 1$ 에 $- 3$ 을 곱합니다.

$y = - 2 (\pm e^{- \frac{x}{2} - \frac{C}{2}}) + 3$

단계 3.4.6

$- \frac{x}{2}$ 와 $- \frac{C}{2}$ 을 다시 정렬합니다.

$y = - 2 (\pm e^{- \frac{C}{2} - \frac{x}{2}}) + 3$

단계 4

상수 항을 하나로 묶습니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.1

적분 상수를 간단히 합니다.

$y = - 2 (\pm e^{C - \frac{x}{2}}) + 3$

단계 4.2

항을 다시 정렬합니다.

$y = - 2 (\pm e^{- \frac{x}{2} + C}) + 3$

단계 4.3

$e^{- \frac{x}{2} + C}$ 을 $e^{- \frac{x}{2}} e^{C}$ 로 바꿔 씁니다.

$y = - 2 (\pm e^{- \frac{x}{2}} e^{C}) + 3$

단계 4.4

$e^{- \frac{x}{2}}$ 와 $e^{C}$ 을 다시 정렬합니다.

$y = - 2 (\pm e^{C} e^{- \frac{x}{2}}) + 3$

단계 4.5

양 또는 음의 상수를 결합합니다.

$y = - 2 (C e^{- \frac{x}{2}}) + 3$