미적분 예제

$x y^{4} d x + (y^{2} + 2) e^{x} d y = 0$

단계 1

방정식의 양변에서 $x y^{4} d x$ 를 뺍니다.

$(y^{2} + 2) e^{x} d y = - x y^{4} d x$

단계 2

양변에 $\frac{1}{e^{x} y^{4}}$ 을 곱합니다.

$\frac{1}{e^{x} y^{4}} ((y^{2} + 2) e^{x}) d y = \frac{1}{e^{x} y^{4}} (- x y^{4}) d x$

단계 3

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.1

$e^{x}$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.1.1

$e^{x} y^{4}$ 에서 $e^{x}$ 를 인수분해합니다.

$\frac{1}{e^{x} (y^{4})} ((y^{2} + 2) e^{x}) d y = \frac{1}{e^{x} y^{4}} (- x y^{4}) d x$

단계 3.1.2

$(y^{2} + 2) e^{x}$ 에서 $e^{x}$ 를 인수분해합니다.

$\frac{1}{e^{x} (y^{4})} (e^{x} (y^{2} + 2)) d y = \frac{1}{e^{x} y^{4}} (- x y^{4}) d x$

단계 3.1.3

공약수로 약분합니다.

$\frac{1}{e^{x} y^{4}} (e^{x} (y^{2} + 2)) d y = \frac{1}{e^{x} y^{4}} (- x y^{4}) d x$

단계 3.1.4

수식을 다시 씁니다.

$\frac{1}{y^{4}} (y^{2} + 2) d y = \frac{1}{e^{x} y^{4}} (- x y^{4}) d x$

단계 3.2

$\frac{1}{y^{4}}$ 에 $y^{2} + 2$ 을 곱합니다.

$\frac{y^{2} + 2}{y^{4}} d y = \frac{1}{e^{x} y^{4}} (- x y^{4}) d x$

단계 3.3

곱셈의 교환법칙을 사용하여 다시 씁니다.

$\frac{y^{2} + 2}{y^{4}} d y = - \frac{1}{e^{x} y^{4}} (x y^{4}) d x$

단계 3.4

$y^{4}$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.4.1

$- \frac{1}{e^{x} y^{4}}$ 의 마이너스 부호를 분자로 이동합니다.

$\frac{y^{2} + 2}{y^{4}} d y = \frac{- 1}{e^{x} y^{4}} (x y^{4}) d x$

단계 3.4.2

$e^{x} y^{4}$ 에서 $y^{4}$ 를 인수분해합니다.

$\frac{y^{2} + 2}{y^{4}} d y = \frac{- 1}{y^{4} e^{x}} (x y^{4}) d x$

단계 3.4.3

$x y^{4}$ 에서 $y^{4}$ 를 인수분해합니다.

$\frac{y^{2} + 2}{y^{4}} d y = \frac{- 1}{y^{4} e^{x}} (y^{4} x) d x$

단계 3.4.4

공약수로 약분합니다.

$\frac{y^{2} + 2}{y^{4}} d y = \frac{- 1}{y^{4} e^{x}} (y^{4} x) d x$

단계 3.4.5

수식을 다시 씁니다.

$\frac{y^{2} + 2}{y^{4}} d y = \frac{- 1}{e^{x}} x d x$

단계 3.5

$\frac{- 1}{e^{x}}$ 와 $x$ 을 묶습니다.

$\frac{y^{2} + 2}{y^{4}} d y = \frac{- x}{e^{x}} d x$

단계 3.6

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$\frac{y^{2} + 2}{y^{4}} d y = - \frac{x}{e^{x}} d x$

단계 4

양변을 적분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.1

각 변의 적분을 구합니다.

$\int \frac{y^{2} + 2}{y^{4}} d y = \int - \frac{x}{e^{x}} d x$

단계 4.2

좌변을 적분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.2.1

지수의 기본 법칙을 적용합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.2.1.1

$y^{4}$ 에 $- 1$ 승을 취하여 분모 밖으로 옮깁니다.

$\int (y^{2} + 2) {(y^{4})}^{- 1} d y = \int - \frac{x}{e^{x}} d x$

단계 4.2.1.2

${(y^{4})}^{- 1}$ 의 지수를 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.2.1.2.1

멱의 법칙을 적용하여 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 과 같이 지수를 곱합니다.

$\int (y^{2} + 2) y^{4 \cdot - 1} d y = \int - \frac{x}{e^{x}} d x$

단계 4.2.1.2.2

$4$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$\int (y^{2} + 2) y^{- 4} d y = \int - \frac{x}{e^{x}} d x$

단계 4.2.2

$(y^{2} + 2) y^{- 4}$ 을 곱합니다.

$\int y^{2} y^{- 4} + 2 y^{- 4} d y = \int - \frac{x}{e^{x}} d x$

단계 4.2.3

지수를 더하여 $y^{2}$ 에 $y^{- 4}$ 을 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.2.3.1

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$\int y^{2 - 4} + 2 y^{- 4} d y = \int - \frac{x}{e^{x}} d x$

단계 4.2.3.2

$2$ 에서 $4$ 을 뺍니다.

$\int y^{- 2} + 2 y^{- 4} d y = \int - \frac{x}{e^{x}} d x$

단계 4.2.4

하나의 적분을 여러 개의 적분으로 나눕니다.

$\int y^{- 2} d y + \int 2 y^{- 4} d y = \int - \frac{x}{e^{x}} d x$

단계 4.2.5

멱의 법칙에 의해 $y^{- 2}$ 를 $y$ 에 대해 적분하면 $- y^{- 1}$ 가 됩니다.

$- y^{- 1} + C_{1} + \int 2 y^{- 4} d y = \int - \frac{x}{e^{x}} d x$

단계 4.2.6

$2$ 은 $y$ 에 대해 상수이므로, $2$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$- y^{- 1} + C_{1} + 2 \int y^{- 4} d y = \int - \frac{x}{e^{x}} d x$

단계 4.2.7

멱의 법칙에 의해 $y^{- 4}$ 를 $y$ 에 대해 적분하면 $- \frac{1}{3} y^{- 3}$ 가 됩니다.

$- y^{- 1} + C_{1} + 2 (- \frac{1}{3} y^{- 3} + C_{2}) = \int - \frac{x}{e^{x}} d x$

단계 4.2.8

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.2.8.1

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.2.8.1.1

$y^{- 3}$ 와 $\frac{1}{3}$ 을 묶습니다.

$- y^{- 1} + C_{1} + 2 (- \frac{y^{- 3}}{3} + C_{2}) = \int - \frac{x}{e^{x}} d x$

단계 4.2.8.1.2

음의 지수 법칙 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 을 활용하여 $y^{- 3}$ 를 분모로 이동합니다.

$- y^{- 1} + C_{1} + 2 (- \frac{1}{3 y^{3}} + C_{2}) = \int - \frac{x}{e^{x}} d x$

단계 4.2.8.2

간단히 합니다.

$- \frac{1}{y} + 2 (- \frac{1}{3 y^{3}}) + C_{3} = \int - \frac{x}{e^{x}} d x$

단계 4.2.8.3

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.2.8.3.1

$- 1$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$- \frac{1}{y} - 2 \frac{1}{3 y^{3}} + C_{3} = \int - \frac{x}{e^{x}} d x$

단계 4.2.8.3.2

$- 2$ 와 $\frac{1}{3 y^{3}}$ 을 묶습니다.

$- \frac{1}{y} + \frac{- 2}{3 y^{3}} + C_{3} = \int - \frac{x}{e^{x}} d x$

단계 4.2.8.3.3

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$- \frac{1}{y} - \frac{2}{3 y^{3}} + C_{3} = \int - \frac{x}{e^{x}} d x$

단계 4.3

우변을 적분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.3.1

$- 1$ 은 $x$ 에 대해 상수이므로, $- 1$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$- \frac{1}{y} - \frac{2}{3 y^{3}} + C_{3} = - \int \frac{x}{e^{x}} d x$

단계 4.3.2

식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.3.2.1

$e^{x}$ 의 지수의 부호를 반대로 바꾸고 분모 밖으로 빼냅니다.

$- \frac{1}{y} - \frac{2}{3 y^{3}} + C_{3} = - \int x {(e^{x})}^{- 1} d x$

단계 4.3.2.2

${(e^{x})}^{- 1}$ 의 지수를 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.3.2.2.1

멱의 법칙을 적용하여 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 과 같이 지수를 곱합니다.

$- \frac{1}{y} - \frac{2}{3 y^{3}} + C_{3} = - \int x e^{x \cdot - 1} d x$

단계 4.3.2.2.2

$x$ 의 왼쪽으로 $- 1$ 이동하기

$- \frac{1}{y} - \frac{2}{3 y^{3}} + C_{3} = - \int x e^{- 1 \cdot x} d x$

단계 4.3.2.2.3

$- 1 x$ 을 $- x$ 로 바꿔 씁니다.

$- \frac{1}{y} - \frac{2}{3 y^{3}} + C_{3} = - \int x e^{- x} d x$

단계 4.3.3

$u = x$ 이고 $d v = e^{- x}$ 일 때 $\int u d v = u v - \int v d u$ 공식을 이용하여 부분 적분합니다.

$- \frac{1}{y} - \frac{2}{3 y^{3}} + C_{3} = - (x (- e^{- x}) - \int - e^{- x} d x)$

단계 4.3.4

$- 1$ 은 $x$ 에 대해 상수이므로, $- 1$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$- \frac{1}{y} - \frac{2}{3 y^{3}} + C_{3} = - (x (- e^{- x}) - - \int e^{- x} d x)$

단계 4.3.5

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.3.5.1

$- 1$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$- \frac{1}{y} - \frac{2}{3 y^{3}} + C_{3} = - (x (- e^{- x}) + 1 \int e^{- x} d x)$

단계 4.3.5.2

$\int e^{- x} d x$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$- \frac{1}{y} - \frac{2}{3 y^{3}} + C_{3} = - (x (- e^{- x}) + \int e^{- x} d x)$

단계 4.3.6

먼저 $u = - x$ 로 정의합니다. 그러면 $d u = - d x$ 이므로 $- d u = d x$ 가 됩니다. 이 식을 $u$ 와 $d$ $u$ 를 이용하여 다시 씁니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.3.6.1

$u = - x$ 로 둡니다. $\frac{d u}{d x}$ 를 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.3.6.1.1

$- x$ 를 미분합니다.

$\frac{d}{d x} [- x]$

단계 4.3.6.1.2

$- 1$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $- x$ 의 미분은 $- \frac{d}{d x} [x]$ 입니다.

$- \frac{d}{d x} [x]$

단계 4.3.6.1.3

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$- 1 \cdot 1$

단계 4.3.6.1.4

$- 1$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$- 1$

단계 4.3.6.2

$u$ 와 $d u$ 를 사용해 문제를 바꿔 씁니다.

$- \frac{1}{y} - \frac{2}{3 y^{3}} + C_{3} = - (x (- e^{- x}) + \int - e^{u} d u)$

단계 4.3.7

$- 1$ 은 $u$ 에 대해 상수이므로, $- 1$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$- \frac{1}{y} - \frac{2}{3 y^{3}} + C_{3} = - (x (- e^{- x}) - \int e^{u} d u)$

단계 4.3.8

$e^{u}$ 를 $u$ 에 대해 적분하면 $e^{u}$ 입니다.

$- \frac{1}{y} - \frac{2}{3 y^{3}} + C_{3} = - (x (- e^{- x}) - (e^{u} + C_{4}))$

단계 4.3.9

$- (x (- e^{- x}) - (e^{u} + C_{4}))$ 을 $- (- x e^{- x} - e^{u}) + C_{4}$ 로 바꿔 씁니다.

$- \frac{1}{y} - \frac{2}{3 y^{3}} + C_{3} = - (- x e^{- x} - e^{u}) + C_{4}$

단계 4.3.10

$u$ 를 모두 $- x$ 로 바꿉니다.

$- \frac{1}{y} - \frac{2}{3 y^{3}} + C_{3} = - (- x e^{- x} - e^{- x}) + C_{4}$

단계 4.3.11

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.3.11.1

분배 법칙을 적용합니다.

$- \frac{1}{y} - \frac{2}{3 y^{3}} + C_{3} = - (- x e^{- x}) - - e^{- x} + C_{4}$

단계 4.3.11.2

$- (- x e^{- x})$ 을 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.3.11.2.1

$- 1$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$- \frac{1}{y} - \frac{2}{3 y^{3}} + C_{3} = 1 (x e^{- x}) - - e^{- x} + C_{4}$

단계 4.3.11.2.2

$x$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$- \frac{1}{y} - \frac{2}{3 y^{3}} + C_{3} = x e^{- x} - - e^{- x} + C_{4}$

단계 4.3.11.3

$- - e^{- x}$ 을 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.3.11.3.1

$- 1$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$- \frac{1}{y} - \frac{2}{3 y^{3}} + C_{3} = x e^{- x} + 1 e^{- x} + C_{4}$

단계 4.3.11.3.2

$e^{- x}$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$- \frac{1}{y} - \frac{2}{3 y^{3}} + C_{3} = x e^{- x} + e^{- x} + C_{4}$

단계 4.3.12

항을 다시 정렬합니다.

$- \frac{1}{y} - \frac{2}{3 y^{3}} + C_{3} = e^{- x} x + e^{- x} + C_{4}$

단계 4.4

우변에 적분 상수를 $K$ 로 묶습니다.

$- \frac{1}{y} - \frac{2}{3 y^{3}} = e^{- x} x + e^{- x} + K$