미적분 예제

$\frac{d y}{d x} - 2 y = 4$

단계 1

적분 인수는 $e^{\int P (x) d x}$ 공식으로 정의됩니다. 여기서는 $P (x) = - 2$ 입니다.

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단계 1.1

적분을 구합니다.

$e^{\int - 2 d x}$

단계 1.2

상수 규칙을 적용합니다.

$e^{- 2 x + C}$

단계 1.3

적분 상수를 소거합니다.

$e^{- 2 x}$

단계 2

각 항에 적분 인수 $e^{- 2 x}$ 을 곱합니다.

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단계 2.1

각 항에 $e^{- 2 x}$ 을 곱합니다.

$e^{- 2 x} \frac{d y}{d x} + e^{- 2 x} (- 2 y) = e^{- 2 x} \cdot 4$

단계 2.2

곱셈의 교환법칙을 사용하여 다시 씁니다.

$e^{- 2 x} \frac{d y}{d x} - 2 e^{- 2 x} y = e^{- 2 x} \cdot 4$

단계 2.3

$e^{- 2 x}$ 의 왼쪽으로 $4$ 이동하기

$e^{- 2 x} \frac{d y}{d x} - 2 e^{- 2 x} y = 4 \cdot e^{- 2 x}$

단계 2.4

$e^{- 2 x} \frac{d y}{d x} - 2 e^{- 2 x} y = 4 e^{- 2 x}$ 에서 인수를 다시 정렬합니다.

$e^{- 2 x} \frac{d y}{d x} - 2 y e^{- 2 x} = 4 e^{- 2 x}$

단계 3

곱을 미분한 결과로 좌변을 다시 씁니다.

$\frac{d}{d x} [e^{- 2 x} y] = 4 e^{- 2 x}$

단계 4

각 변의 적분을 구합니다.

$\int \frac{d}{d x} [e^{- 2 x} y] d x = \int 4 e^{- 2 x} d x$

단계 5

좌변을 적분합니다.

$e^{- 2 x} y = \int 4 e^{- 2 x} d x$

단계 6

우변을 적분합니다.

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단계 6.1

$4$ 은 $x$ 에 대해 상수이므로, $4$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$e^{- 2 x} y = 4 \int e^{- 2 x} d x$

단계 6.2

먼저 $u = - 2 x$ 로 정의합니다. 그러면 $d u = - 2 d x$ 이므로 $- \frac{1}{2} d u = d x$ 가 됩니다. 이 식을 $u$ 와 $d$ $u$ 를 이용하여 다시 씁니다.

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단계 6.2.1

$u = - 2 x$ 로 둡니다. $\frac{d u}{d x}$ 를 구합니다.

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단계 6.2.1.1

$- 2 x$ 를 미분합니다.

$\frac{d}{d x} [- 2 x]$

단계 6.2.1.2

$- 2$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $- 2 x$ 의 미분은 $- 2 \frac{d}{d x} [x]$ 입니다.

$- 2 \frac{d}{d x} [x]$

단계 6.2.1.3

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$- 2 \cdot 1$

단계 6.2.1.4

$- 2$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$- 2$

단계 6.2.2

$u$ 와 $d u$ 를 사용해 문제를 바꿔 씁니다.

$e^{- 2 x} y = 4 \int e^{u} \frac{1}{- 2} d u$

단계 6.3

간단히 합니다.

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단계 6.3.1

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$e^{- 2 x} y = 4 \int e^{u} (- \frac{1}{2}) d u$

단계 6.3.2

$e^{u}$ 와 $\frac{1}{2}$ 을 묶습니다.

$e^{- 2 x} y = 4 \int - \frac{e^{u}}{2} d u$

단계 6.4

$- 1$ 은 $u$ 에 대해 상수이므로, $- 1$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$e^{- 2 x} y = 4 (- \int \frac{e^{u}}{2} d u)$

단계 6.5

$- 1$ 에 $4$ 을 곱합니다.

$e^{- 2 x} y = - 4 \int \frac{e^{u}}{2} d u$

단계 6.6

$\frac{1}{2}$ 은 $u$ 에 대해 상수이므로, $\frac{1}{2}$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$e^{- 2 x} y = - 4 (\frac{1}{2} \int e^{u} d u)$

단계 6.7

간단히 합니다.

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단계 6.7.1

$\frac{1}{2}$ 와 $- 4$ 을 묶습니다.

$e^{- 2 x} y = \frac{- 4}{2} \int e^{u} d u$

단계 6.7.2

$- 4$ 및 $2$ 의 공약수로 약분합니다.

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단계 6.7.2.1

$- 4$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$e^{- 2 x} y = \frac{2 \cdot - 2}{2} \int e^{u} d u$

단계 6.7.2.2

공약수로 약분합니다.

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단계 6.7.2.2.1

$2$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$e^{- 2 x} y = \frac{2 \cdot - 2}{2 (1)} \int e^{u} d u$

단계 6.7.2.2.2

공약수로 약분합니다.

$e^{- 2 x} y = \frac{2 \cdot - 2}{2 \cdot 1} \int e^{u} d u$

단계 6.7.2.2.3

수식을 다시 씁니다.

$e^{- 2 x} y = \frac{- 2}{1} \int e^{u} d u$

단계 6.7.2.2.4

$- 2$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$e^{- 2 x} y = - 2 \int e^{u} d u$

단계 6.8

$e^{u}$ 를 $u$ 에 대해 적분하면 $e^{u}$ 입니다.

$e^{- 2 x} y = - 2 (e^{u} + C)$

단계 6.9

간단히 합니다.

$e^{- 2 x} y = - 2 e^{u} + C$

단계 6.10

$u$ 를 모두 $- 2 x$ 로 바꿉니다.

$e^{- 2 x} y = - 2 e^{- 2 x} + C$

단계 7

$e^{- 2 x} y = - 2 e^{- 2 x} + C$ 의 각 항을 $e^{- 2 x}$ 로 나누고 식을 간단히 합니다.

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단계 7.1

$e^{- 2 x} y = - 2 e^{- 2 x} + C$ 의 각 항을 $e^{- 2 x}$ 로 나눕니다.

$\frac{e^{- 2 x} y}{e^{- 2 x}} = \frac{- 2 e^{- 2 x}}{e^{- 2 x}} + \frac{C}{e^{- 2 x}}$

단계 7.2

좌변을 간단히 합니다.

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단계 7.2.1

$e^{- 2 x}$ 의 공약수로 약분합니다.

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단계 7.2.1.1

공약수로 약분합니다.

$\frac{e^{- 2 x} y}{e^{- 2 x}} = \frac{- 2 e^{- 2 x}}{e^{- 2 x}} + \frac{C}{e^{- 2 x}}$

단계 7.2.1.2

$y$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$y = \frac{- 2 e^{- 2 x}}{e^{- 2 x}} + \frac{C}{e^{- 2 x}}$

단계 7.3

우변을 간단히 합니다.

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단계 7.3.1

$e^{- 2 x}$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 7.3.1.1

공약수로 약분합니다.

$y = \frac{- 2 e^{- 2 x}}{e^{- 2 x}} + \frac{C}{e^{- 2 x}}$

단계 7.3.1.2

$- 2$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$y = - 2 + \frac{C}{e^{- 2 x}}$