미적분 예제

$\frac{d y}{d t} = 10 t + 9 t^{2}$ , $y (1) = 2$

단계 1

식을 다시 씁니다.

$d y = (10 t + 9 t^{2}) d t$

단계 2

양변을 적분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1

각 변의 적분을 구합니다.

$\int d y = \int 10 t + 9 t^{2} d t$

단계 2.2

상수 규칙을 적용합니다.

$y + C_{1} = \int 10 t + 9 t^{2} d t$

단계 2.3

우변을 적분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.3.1

하나의 적분을 여러 개의 적분으로 나눕니다.

$y + C_{1} = \int 10 t d t + \int 9 t^{2} d t$

단계 2.3.2

$10$ 은 $t$ 에 대해 상수이므로, $10$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$y + C_{1} = 10 \int t d t + \int 9 t^{2} d t$

단계 2.3.3

멱의 법칙에 의해 $t$ 를 $t$ 에 대해 적분하면 $\frac{1}{2} t^{2}$ 가 됩니다.

$y + C_{1} = 10 (\frac{1}{2} t^{2} + C_{2}) + \int 9 t^{2} d t$

단계 2.3.4

$9$ 은 $t$ 에 대해 상수이므로, $9$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$y + C_{1} = 10 (\frac{1}{2} t^{2} + C_{2}) + 9 \int t^{2} d t$

단계 2.3.5

멱의 법칙에 의해 $t^{2}$ 를 $t$ 에 대해 적분하면 $\frac{1}{3} t^{3}$ 가 됩니다.

$y + C_{1} = 10 (\frac{1}{2} t^{2} + C_{2}) + 9 (\frac{1}{3} t^{3} + C_{3})$

단계 2.3.6

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.3.6.1

간단히 합니다.

$y + C_{1} = 10 (\frac{1}{2}) t^{2} + 9 (\frac{1}{3}) t^{3} + C_{4}$

단계 2.3.6.2

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.3.6.2.1

$10$ 와 $\frac{1}{2}$ 을 묶습니다.

$y + C_{1} = \frac{10}{2} t^{2} + 9 (\frac{1}{3}) t^{3} + C_{4}$

단계 2.3.6.2.2

$10$ 및 $2$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.3.6.2.2.1

$10$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$y + C_{1} = \frac{2 \cdot 5}{2} t^{2} + 9 (\frac{1}{3}) t^{3} + C_{4}$

단계 2.3.6.2.2.2

공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.3.6.2.2.2.1

$2$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$y + C_{1} = \frac{2 \cdot 5}{2 (1)} t^{2} + 9 (\frac{1}{3}) t^{3} + C_{4}$

단계 2.3.6.2.2.2.2

공약수로 약분합니다.

$y + C_{1} = \frac{2 \cdot 5}{2 \cdot 1} t^{2} + 9 (\frac{1}{3}) t^{3} + C_{4}$

단계 2.3.6.2.2.2.3

수식을 다시 씁니다.

$y + C_{1} = \frac{5}{1} t^{2} + 9 (\frac{1}{3}) t^{3} + C_{4}$

단계 2.3.6.2.2.2.4

$5$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$y + C_{1} = 5 t^{2} + 9 (\frac{1}{3}) t^{3} + C_{4}$

단계 2.3.6.2.3

$9$ 와 $\frac{1}{3}$ 을 묶습니다.

$y + C_{1} = 5 t^{2} + \frac{9}{3} t^{3} + C_{4}$

단계 2.3.6.2.4

$9$ 및 $3$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.3.6.2.4.1

$9$ 에서 $3$ 를 인수분해합니다.

$y + C_{1} = 5 t^{2} + \frac{3 \cdot 3}{3} t^{3} + C_{4}$

단계 2.3.6.2.4.2

공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.3.6.2.4.2.1

$3$ 에서 $3$ 를 인수분해합니다.

$y + C_{1} = 5 t^{2} + \frac{3 \cdot 3}{3 (1)} t^{3} + C_{4}$

단계 2.3.6.2.4.2.2

공약수로 약분합니다.

$y + C_{1} = 5 t^{2} + \frac{3 \cdot 3}{3 \cdot 1} t^{3} + C_{4}$

단계 2.3.6.2.4.2.3

수식을 다시 씁니다.

$y + C_{1} = 5 t^{2} + \frac{3}{1} t^{3} + C_{4}$

단계 2.3.6.2.4.2.4

$3$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$y + C_{1} = 5 t^{2} + 3 t^{3} + C_{4}$

단계 2.3.7

항을 다시 정렬합니다.

$y + C_{1} = 3 t^{3} + 5 t^{2} + C_{4}$

단계 2.4

우변에 적분 상수를 $K$ 로 묶습니다.

$y = 3 t^{3} + 5 t^{2} + K$

단계 3

초기 조건을 활용하여 $y = 3 t^{3} + 5 t^{2} + K$ 에서 $t$ 에 $1$ 을, $y$ 에 $2$ 를 대입하여 $K$ 값을 구합니다.

$2 = 3 \cdot 1^{3} + 5 \cdot 1^{2} + K$

단계 4

$K$ 에 대해 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.1

$3 \cdot 1^{3} + 5 \cdot 1^{2} + K = 2$ 로 방정식을 다시 씁니다.

$3 \cdot 1^{3} + 5 \cdot 1^{2} + K = 2$

단계 4.2

$3 \cdot 1^{3} + 5 \cdot 1^{2} + K$ 을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.2.1

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.2.1.1

1의 모든 거듭제곱은 1입니다.

$3 \cdot 1 + 5 \cdot 1^{2} + K = 2$

단계 4.2.1.2

$3$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$3 + 5 \cdot 1^{2} + K = 2$

단계 4.2.1.3

1의 모든 거듭제곱은 1입니다.

$3 + 5 \cdot 1 + K = 2$

단계 4.2.1.4

$5$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$3 + 5 + K = 2$

단계 4.2.2

$3$ 를 $5$ 에 더합니다.

$8 + K = 2$

단계 4.3

$K$ 를 포함하지 않은 모든 항을 방정식의 우변으로 옮깁니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.3.1

방정식의 양변에서 $8$ 를 뺍니다.

$K = 2 - 8$

단계 4.3.2

$2$ 에서 $8$ 을 뺍니다.

$K = - 6$

단계 5

$y = 3 t^{3} + 5 t^{2} + K$ 의 $K$ 에 $- 6$ 를 대입하여 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.1

$K$ 에 $- 6$ 를 대입합니다.

$y = 3 t^{3} + 5 t^{2} - 6$