미적분 예제

$\frac{x^{2}}{y} = 4 y \frac{d y}{d x}$

단계 1

변수를 분리합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1

양변을 넘겨 좌변에서 $\frac{d y}{d x}$ 를 구합니다.

$4 y \frac{d y}{d x} = \frac{x^{2}}{y}$

단계 1.2

양변에 $y$ 을 곱합니다.

$y (4 y \frac{d y}{d x}) = y \frac{x^{2}}{y}$

단계 1.3

$y$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.3.1

공약수로 약분합니다.

$y (4 y \frac{d y}{d x}) = y \frac{x^{2}}{y}$

단계 1.3.2

수식을 다시 씁니다.

$y (4 y \frac{d y}{d x}) = x^{2}$

단계 1.4

불필요한 괄호를 제거합니다.

$y \cdot 4 y \frac{d y}{d x} = x^{2}$

단계 1.5

식을 다시 씁니다.

$y \cdot 4 y d y = x^{2} d x$

단계 2

양변을 적분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1

각 변의 적분을 구합니다.

$\int y \cdot 4 y d y = \int x^{2} d x$

단계 2.2

좌변을 적분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.2.1

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.2.1.1

$y$ 의 왼쪽으로 $4$ 이동하기

$\int 4 \cdot y \cdot y d y = \int x^{2} d x$

단계 2.2.1.2

$y$ 를 $1$ 승 합니다.

$\int 4 (y^{1} y) d y = \int x^{2} d x$

단계 2.2.1.3

$y$ 를 $1$ 승 합니다.

$\int 4 (y^{1} y^{1}) d y = \int x^{2} d x$

단계 2.2.1.4

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$\int 4 y^{1 + 1} d y = \int x^{2} d x$

단계 2.2.1.5

$1$ 를 $1$ 에 더합니다.

$\int 4 y^{2} d y = \int x^{2} d x$

단계 2.2.2

$4$ 은 $y$ 에 대해 상수이므로, $4$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$4 \int y^{2} d y = \int x^{2} d x$

단계 2.2.3

멱의 법칙에 의해 $y^{2}$ 를 $y$ 에 대해 적분하면 $\frac{1}{3} y^{3}$ 가 됩니다.

$4 (\frac{1}{3} y^{3} + C_{1}) = \int x^{2} d x$

단계 2.2.4

답을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.2.4.1

$4 (\frac{1}{3} y^{3} + C_{1})$ 을 $4 (\frac{1}{3}) y^{3} + C_{1}$ 로 바꿔 씁니다.

$4 (\frac{1}{3}) y^{3} + C_{1} = \int x^{2} d x$

단계 2.2.4.2

$4$ 와 $\frac{1}{3}$ 을 묶습니다.

$\frac{4}{3} y^{3} + C_{1} = \int x^{2} d x$

단계 2.3

멱의 법칙에 의해 $x^{2}$ 를 $x$ 에 대해 적분하면 $\frac{1}{3} x^{3}$ 가 됩니다.

$\frac{4}{3} y^{3} + C_{1} = \frac{1}{3} x^{3} + C_{2}$

단계 2.4

우변에 적분 상수를 $K$ 로 묶습니다.

$\frac{4}{3} y^{3} = \frac{1}{3} x^{3} + K$

단계 3

$y$ 에 대해 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.1

방정식의 양변에 $\frac{3}{4}$ 을 곱합니다.

$\frac{3}{4} (\frac{4}{3} y^{3}) = \frac{3}{4} (\frac{1}{3} x^{3} + K)$

단계 3.2

방정식의 양변을 간단히 정리합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.2.1

좌변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.2.1.1

$\frac{3}{4} (\frac{4}{3} y^{3})$ 을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.2.1.1.1

$\frac{4}{3}$ 와 $y^{3}$ 을 묶습니다.

$\frac{3}{4} \cdot \frac{4 y^{3}}{3} = \frac{3}{4} (\frac{1}{3} x^{3} + K)$

단계 3.2.1.1.2

조합합니다.

$\frac{3 (4 y^{3})}{4 \cdot 3} = \frac{3}{4} (\frac{1}{3} x^{3} + K)$

단계 3.2.1.1.3

$3$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.2.1.1.3.1

공약수로 약분합니다.

$\frac{3 (4 y^{3})}{4 \cdot 3} = \frac{3}{4} (\frac{1}{3} x^{3} + K)$

단계 3.2.1.1.3.2

수식을 다시 씁니다.

$\frac{4 y^{3}}{4} = \frac{3}{4} (\frac{1}{3} x^{3} + K)$

단계 3.2.1.1.4

$4$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.2.1.1.4.1

공약수로 약분합니다.

$\frac{4 y^{3}}{4} = \frac{3}{4} (\frac{1}{3} x^{3} + K)$

단계 3.2.1.1.4.2

$y^{3}$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$y^{3} = \frac{3}{4} (\frac{1}{3} x^{3} + K)$

단계 3.2.2

우변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.2.2.1

$\frac{3}{4} (\frac{1}{3} x^{3} + K)$ 을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.2.2.1.1

$\frac{1}{3}$ 와 $x^{3}$ 을 묶습니다.

$y^{3} = \frac{3}{4} (\frac{x^{3}}{3} + K)$

단계 3.2.2.1.2

분배 법칙을 적용합니다.

$y^{3} = \frac{3}{4} \cdot \frac{x^{3}}{3} + \frac{3}{4} K$

단계 3.2.2.1.3

조합합니다.

$y^{3} = \frac{3 x^{3}}{4 \cdot 3} + \frac{3}{4} K$

단계 3.2.2.1.4

$\frac{3}{4}$ 와 $K$ 을 묶습니다.

$y^{3} = \frac{3 x^{3}}{4 \cdot 3} + \frac{3 K}{4}$

단계 3.2.2.1.5

$3$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.2.2.1.5.1

공약수로 약분합니다.

$y^{3} = \frac{3 x^{3}}{4 \cdot 3} + \frac{3 K}{4}$

단계 3.2.2.1.5.2

수식을 다시 씁니다.

$y^{3} = \frac{x^{3}}{4} + \frac{3 K}{4}$

단계 3.3

좌변의 지수를 소거하기 위하여 방정식의 양변에 지정된 제곱근을 취합니다.

$y = \sqrt[3]{\frac{x^{3}}{4} + \frac{3 K}{4}}$

단계 3.4

$\sqrt[3]{\frac{x^{3}}{4} + \frac{3 K}{4}}$ 을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.4.1

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$y = \sqrt[3]{\frac{x^{3} + 3 K}{4}}$

단계 3.4.2

$\sqrt[3]{\frac{x^{3} + 3 K}{4}}$ 을 $\frac{\sqrt[3]{x^{3} + 3 K}}{\sqrt[3]{4}}$ 로 바꿔 씁니다.

$y = \frac{\sqrt[3]{x^{3} + 3 K}}{\sqrt[3]{4}}$

단계 3.4.3

$\frac{\sqrt[3]{x^{3} + 3 K}}{\sqrt[3]{4}}$ 에 $\frac{{\sqrt[3]{4}}^{2}}{{\sqrt[3]{4}}^{2}}$ 을 곱합니다.

$y = \frac{\sqrt[3]{x^{3} + 3 K}}{\sqrt[3]{4}} \cdot \frac{{\sqrt[3]{4}}^{2}}{{\sqrt[3]{4}}^{2}}$

단계 3.4.4

분모를 결합하고 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.4.4.1

$\frac{\sqrt[3]{x^{3} + 3 K}}{\sqrt[3]{4}}$ 에 $\frac{{\sqrt[3]{4}}^{2}}{{\sqrt[3]{4}}^{2}}$ 을 곱합니다.

$y = \frac{\sqrt[3]{x^{3} + 3 K} {\sqrt[3]{4}}^{2}}{\sqrt[3]{4} {\sqrt[3]{4}}^{2}}$

단계 3.4.4.2

$\sqrt[3]{4}$ 를 $1$ 승 합니다.

$y = \frac{\sqrt[3]{x^{3} + 3 K} {\sqrt[3]{4}}^{2}}{{\sqrt[3]{4}}^{1} {\sqrt[3]{4}}^{2}}$

단계 3.4.4.3

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$y = \frac{\sqrt[3]{x^{3} + 3 K} {\sqrt[3]{4}}^{2}}{{\sqrt[3]{4}}^{1 + 2}}$

단계 3.4.4.4

$1$ 를 $2$ 에 더합니다.

$y = \frac{\sqrt[3]{x^{3} + 3 K} {\sqrt[3]{4}}^{2}}{{\sqrt[3]{4}}^{3}}$

단계 3.4.4.5

${\sqrt[3]{4}}^{3}$ 을 $4$ 로 바꿔 씁니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.4.4.5.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ 을(를) 사용하여 $\sqrt[3]{4}$ 을(를) $4^{\frac{1}{3}}$ (으)로 다시 씁니다.

$y = \frac{\sqrt[3]{x^{3} + 3 K} {\sqrt[3]{4}}^{2}}{{(4^{\frac{1}{3}})}^{3}}$

단계 3.4.4.5.2

멱의 법칙을 적용하여 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 과 같이 지수를 곱합니다.

$y = \frac{\sqrt[3]{x^{3} + 3 K} {\sqrt[3]{4}}^{2}}{4^{\frac{1}{3} \cdot 3}}$

단계 3.4.4.5.3

$\frac{1}{3}$ 와 $3$ 을 묶습니다.

$y = \frac{\sqrt[3]{x^{3} + 3 K} {\sqrt[3]{4}}^{2}}{4^{\frac{3}{3}}}$

단계 3.4.4.5.4

$3$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.4.4.5.4.1

공약수로 약분합니다.

$y = \frac{\sqrt[3]{x^{3} + 3 K} {\sqrt[3]{4}}^{2}}{4^{\frac{3}{3}}}$

단계 3.4.4.5.4.2

수식을 다시 씁니다.

$y = \frac{\sqrt[3]{x^{3} + 3 K} {\sqrt[3]{4}}^{2}}{4^{1}}$

단계 3.4.4.5.5

지수값을 계산합니다.

$y = \frac{\sqrt[3]{x^{3} + 3 K} {\sqrt[3]{4}}^{2}}{4}$

단계 3.4.5

분자를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.4.5.1

${\sqrt[3]{4}}^{2}$ 을 $\sqrt[3]{4^{2}}$ 로 바꿔 씁니다.

$y = \frac{\sqrt[3]{x^{3} + 3 K} \sqrt[3]{4^{2}}}{4}$

단계 3.4.5.2

$4$ 를 $2$ 승 합니다.

$y = \frac{\sqrt[3]{x^{3} + 3 K} \sqrt[3]{16}}{4}$

단계 3.4.5.3

$16$ 을 $2^{3} \cdot 2$ 로 바꿔 씁니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.4.5.3.1

$16$ 에서 $8$ 를 인수분해합니다.

$y = \frac{\sqrt[3]{x^{3} + 3 K} \sqrt[3]{8 (2)}}{4}$

단계 3.4.5.3.2

$8$ 을 $2^{3}$ 로 바꿔 씁니다.

$y = \frac{\sqrt[3]{x^{3} + 3 K} \sqrt[3]{2^{3} \cdot 2}}{4}$

단계 3.4.5.4

근호 안의 항을 밖으로 빼냅니다.

$y = \frac{\sqrt[3]{x^{3} + 3 K} \cdot 2 \sqrt[3]{2}}{4}$

단계 3.4.5.5

근호의 곱의 미분 법칙을 사용하여 묶습니다.

$y = \frac{2 \sqrt[3]{(x^{3} + 3 K) \cdot 2}}{4}$

단계 3.4.6

공약수를 소거하여 수식을 간단히 정리합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.4.6.1

$2$ 및 $4$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.4.6.1.1

$2 \sqrt[3]{(x^{3} + 3 K) \cdot 2}$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$y = \frac{2 \sqrt[3]{(x^{3} + 3 K) \cdot 2}}{4}$

단계 3.4.6.1.2

공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.4.6.1.2.1

$4$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$y = \frac{2 \sqrt[3]{(x^{3} + 3 K) \cdot 2}}{2 \cdot 2}$

단계 3.4.6.1.2.2

공약수로 약분합니다.

$y = \frac{2 \sqrt[3]{(x^{3} + 3 K) \cdot 2}}{2 \cdot 2}$

단계 3.4.6.1.2.3

수식을 다시 씁니다.

$y = \frac{\sqrt[3]{(x^{3} + 3 K) \cdot 2}}{2}$

단계 3.4.6.2

$\frac{\sqrt[3]{(x^{3} + 3 K) \cdot 2}}{2}$ 에서 인수를 다시 정렬합니다.

$y = \frac{\sqrt[3]{2 (x^{3} + 3 K)}}{2}$

단계 4

적분 상수를 간단히 합니다.

$y = \frac{\sqrt[3]{2 (x^{3} + K)}}{2}$