미적분 예제

$\frac{d y}{d x} = x y$ , $y (0) = 1$

단계 1

변수를 분리합니다.

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단계 1.1

양변에 $\frac{1}{y}$ 을 곱합니다.

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y} (x y)$

단계 1.2

$y$ 의 공약수로 약분합니다.

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단계 1.2.1

$x y$ 에서 $y$ 를 인수분해합니다.

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y} (y x)$

단계 1.2.2

공약수로 약분합니다.

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y} (y x)$

단계 1.2.3

수식을 다시 씁니다.

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = x$

단계 1.3

식을 다시 씁니다.

$\frac{1}{y} d y = x d x$

단계 2

양변을 적분합니다.

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단계 2.1

각 변의 적분을 구합니다.

$\int \frac{1}{y} d y = \int x d x$

단계 2.2

$\frac{1}{y}$ 를 $y$ 에 대해 적분하면 $\ln (| y |)$ 입니다.

$\ln (| y |) + C_{1} = \int x d x$

단계 2.3

멱의 법칙에 의해 $x$ 를 $x$ 에 대해 적분하면 $\frac{1}{2} x^{2}$ 가 됩니다.

$\ln (| y |) + C_{1} = \frac{1}{2} x^{2} + C_{2}$

단계 2.4

우변에 적분 상수를 $C$ 로 묶습니다.

$\ln (| y |) = \frac{1}{2} x^{2} + C$

단계 3

$y$ 에 대해 풉니다.

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단계 3.1

$y$ 을 구하기 위해 로그의 성질을 이용하여 방정식을 다시 씁니다.

$e^{\ln (| y |)} = e^{\frac{1}{2} x^{2} + C}$

단계 3.2

로그의 정의를 이용하여 $\ln (| y |) = \frac{1}{2} x^{2} + C$ 를 지수 형태로 다시 씁니다. 만약 $x$ 와 $b$ 가 양의 실수와 $b \neq 1$ 이면, $\log_{b} (x) = y$ 는 $b^{y} = x$ 와 같습니다.

$e^{\frac{1}{2} x^{2} + C} = | y |$

단계 3.3

$y$ 에 대해 풉니다.

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단계 3.3.1

$| y | = e^{\frac{1}{2} x^{2} + C}$ 로 방정식을 다시 씁니다.

$| y | = e^{\frac{1}{2} x^{2} + C}$

단계 3.3.2

$\frac{1}{2}$ 와 $x^{2}$ 을 묶습니다.

$| y | = e^{\frac{x^{2}}{2} + C}$

단계 3.3.3

절대값의 항을 제거합니다. $| x | = \pm x$ 이므로 방정식 우변에 $\pm$ 이 생깁니다.

$y = \pm e^{\frac{x^{2}}{2} + C}$

단계 4

상수 항을 하나로 묶습니다.

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단계 4.1

$e^{\frac{x^{2}}{2} + C}$ 을 $e^{\frac{x^{2}}{2}} e^{C}$ 로 바꿔 씁니다.

$y = \pm e^{\frac{x^{2}}{2}} e^{C}$

단계 4.2

$e^{\frac{x^{2}}{2}}$ 와 $e^{C}$ 을 다시 정렬합니다.

$y = \pm e^{C} e^{\frac{x^{2}}{2}}$

단계 4.3

양 또는 음의 상수를 결합합니다.

$y = C e^{\frac{x^{2}}{2}}$

단계 5

초기 조건을 활용하여 $y = C e^{\frac{x^{2}}{2}}$ 에서 $x$ 에 $0$ 을, $y$ 에 $1$ 를 대입하여 $C$ 값을 구합니다.

$1 = C e^{\frac{0^{2}}{2}}$

단계 6

$C$ 에 대해 풉니다.

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단계 6.1

$C e^{\frac{0^{2}}{2}} = 1$ 로 방정식을 다시 씁니다.

$C e^{\frac{0^{2}}{2}} = 1$

단계 6.2

$C e^{\frac{0^{2}}{2}}$ 을 간단히 합니다.

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단계 6.2.1

$0$ 을 여러 번 거듭제곱해도 $0$ 이 나옵니다.

$C e^{\frac{0}{2}} = 1$

단계 6.2.2

$0$ 을 $2$ 로 나눕니다.

$C e^{0} = 1$

단계 6.2.3

모든 수의 $0$ 승은 $1$ 입니다.

$C \cdot 1 = 1$

단계 6.2.4

$C$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$C = 1$

단계 7

$y = C e^{\frac{x^{2}}{2}}$ 의 $C$ 에 $1$ 를 대입하여 간단히 합니다.

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단계 7.1

$C$ 에 $1$ 를 대입합니다.

$y = 1 e^{\frac{x^{2}}{2}}$

단계 7.2

$e^{\frac{x^{2}}{2}}$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$y = e^{\frac{x^{2}}{2}}$