미적분 예제

$x^{3} + 2 y \frac{d y}{d x} = 0$

단계 1

변수를 분리합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1

$\frac{d y}{d x}$ 에 대해 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1.1

방정식의 양변에서 $x^{3}$ 를 뺍니다.

$2 y \frac{d y}{d x} = - x^{3}$

단계 1.1.2

$2 y \frac{d y}{d x} = - x^{3}$ 의 각 항을 $2 y$ 로 나누고 식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1.2.1

$2 y \frac{d y}{d x} = - x^{3}$ 의 각 항을 $2 y$ 로 나눕니다.

$\frac{2 y \frac{d y}{d x}}{2 y} = \frac{- x^{3}}{2 y}$

단계 1.1.2.2

좌변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1.2.2.1

$2$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1.2.2.1.1

공약수로 약분합니다.

$\frac{2 y \frac{d y}{d x}}{2 y} = \frac{- x^{3}}{2 y}$

단계 1.1.2.2.1.2

수식을 다시 씁니다.

$\frac{y \frac{d y}{d x}}{y} = \frac{- x^{3}}{2 y}$

단계 1.1.2.2.2

$y$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1.2.2.2.1

공약수로 약분합니다.

$\frac{y \frac{d y}{d x}}{y} = \frac{- x^{3}}{2 y}$

단계 1.1.2.2.2.2

$\frac{d y}{d x}$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$\frac{d y}{d x} = \frac{- x^{3}}{2 y}$

단계 1.1.2.3

우변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1.2.3.1

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$\frac{d y}{d x} = - \frac{x^{3}}{2 y}$

단계 1.2

양변에 $y$ 을 곱합니다.

$y \frac{d y}{d x} = y (- \frac{x^{3}}{2 y})$

단계 1.3

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.3.1

곱셈의 교환법칙을 사용하여 다시 씁니다.

$y \frac{d y}{d x} = - y \frac{x^{3}}{2 y}$

단계 1.3.2

$y$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.3.2.1

$- y$ 에서 $y$ 를 인수분해합니다.

$y \frac{d y}{d x} = y \cdot - 1 \frac{x^{3}}{2 y}$

단계 1.3.2.2

$2 y$ 에서 $y$ 를 인수분해합니다.

$y \frac{d y}{d x} = y \cdot - 1 \frac{x^{3}}{y \cdot 2}$

단계 1.3.2.3

공약수로 약분합니다.

$y \frac{d y}{d x} = y \cdot - 1 \frac{x^{3}}{y \cdot 2}$

단계 1.3.2.4

수식을 다시 씁니다.

$y \frac{d y}{d x} = - \frac{x^{3}}{2}$

단계 1.4

식을 다시 씁니다.

$y d y = - \frac{x^{3}}{2} d x$

단계 2

양변을 적분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1

각 변의 적분을 구합니다.

$\int y d y = \int - \frac{x^{3}}{2} d x$

단계 2.2

멱의 법칙에 의해 $y$ 를 $y$ 에 대해 적분하면 $\frac{1}{2} y^{2}$ 가 됩니다.

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \int - \frac{x^{3}}{2} d x$

단계 2.3

우변을 적분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.3.1

$- 1$ 은 $x$ 에 대해 상수이므로, $- 1$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = - \int \frac{x^{3}}{2} d x$

단계 2.3.2

$\frac{1}{2}$ 은 $x$ 에 대해 상수이므로, $\frac{1}{2}$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = - (\frac{1}{2} \int x^{3} d x)$

단계 2.3.3

멱의 법칙에 의해 $x^{3}$ 를 $x$ 에 대해 적분하면 $\frac{1}{4} x^{4}$ 가 됩니다.

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = - \frac{1}{2} (\frac{1}{4} x^{4} + C_{2})$

단계 2.3.4

답을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.3.4.1

$- \frac{1}{2} (\frac{1}{4} x^{4} + C_{2})$ 을 $- \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{4} x^{4} + C_{2}$ 로 바꿔 씁니다.

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = - \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{4} x^{4} + C_{2}$

단계 2.3.4.2

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.3.4.2.1

$\frac{1}{4}$ 에 $\frac{1}{2}$ 을 곱합니다.

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = - \frac{1}{4 \cdot 2} x^{4} + C_{2}$

단계 2.3.4.2.2

$4$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = - \frac{1}{8} x^{4} + C_{2}$

단계 2.4

우변에 적분 상수를 $K$ 로 묶습니다.

$\frac{1}{2} y^{2} = - \frac{1}{8} x^{4} + K$

단계 3

$y$ 에 대해 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.1

방정식의 양변에 $2$ 을 곱합니다.

$2 (\frac{1}{2} y^{2}) = 2 (- \frac{1}{8} x^{4} + K)$

단계 3.2

방정식의 양변을 간단히 정리합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.2.1

좌변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.2.1.1

$2 (\frac{1}{2} y^{2})$ 을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.2.1.1.1

$\frac{1}{2}$ 와 $y^{2}$ 을 묶습니다.

$2 \frac{y^{2}}{2} = 2 (- \frac{1}{8} x^{4} + K)$

단계 3.2.1.1.2

$2$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.2.1.1.2.1

공약수로 약분합니다.

$2 \frac{y^{2}}{2} = 2 (- \frac{1}{8} x^{4} + K)$

단계 3.2.1.1.2.2

수식을 다시 씁니다.

$y^{2} = 2 (- \frac{1}{8} x^{4} + K)$

단계 3.2.2

우변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.2.2.1

$2 (- \frac{1}{8} x^{4} + K)$ 을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.2.2.1.1

$x^{4}$ 와 $\frac{1}{8}$ 을 묶습니다.

$y^{2} = 2 (- \frac{x^{4}}{8} + K)$

단계 3.2.2.1.2

분배 법칙을 적용합니다.

$y^{2} = 2 (- \frac{x^{4}}{8}) + 2 K$

단계 3.2.2.1.3

$2$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.2.2.1.3.1

$- \frac{x^{4}}{8}$ 의 마이너스 부호를 분자로 이동합니다.

$y^{2} = 2 \frac{- x^{4}}{8} + 2 K$

단계 3.2.2.1.3.2

$8$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$y^{2} = 2 \frac{- x^{4}}{2 (4)} + 2 K$

단계 3.2.2.1.3.3

공약수로 약분합니다.

$y^{2} = 2 \frac{- x^{4}}{2 \cdot 4} + 2 K$

단계 3.2.2.1.3.4

수식을 다시 씁니다.

$y^{2} = \frac{- x^{4}}{4} + 2 K$

단계 3.2.2.1.4

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$y^{2} = - \frac{x^{4}}{4} + 2 K$

단계 3.3

좌변의 지수를 소거하기 위하여 방정식의 양변에 지정된 제곱근을 취합니다.

$y = \pm \sqrt{- \frac{x^{4}}{4} + 2 K}$

단계 3.4

$\pm \sqrt{- \frac{x^{4}}{4} + 2 K}$ 을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.4.1

공통 분모를 가지는 분수로 $2 K$ 을 표현하기 위해 $\frac{4}{4}$ 을 곱합니다.

$y = \pm \sqrt{- \frac{x^{4}}{4} + 2 K \cdot \frac{4}{4}}$

단계 3.4.2

$2 K$ 와 $\frac{4}{4}$ 을 묶습니다.

$y = \pm \sqrt{- \frac{x^{4}}{4} + \frac{2 K \cdot 4}{4}}$

단계 3.4.3

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$y = \pm \sqrt{\frac{- x^{4} + 2 K \cdot 4}{4}}$

단계 3.4.4

$4$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$y = \pm \sqrt{\frac{- x^{4} + 8 K}{4}}$

단계 3.4.5

$\frac{- x^{4} + 8 K}{4}$ 을 ${(\frac{1}{2})}^{2} (- x^{4} + 8 K)$ 로 바꿔 씁니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.4.5.1

$- x^{4} + 8 K$ 에서 완전제곱인 $1^{2}$ 인수를 묶습니다.

$y = \pm \sqrt{\frac{1^{2} (- x^{4} + 8 K)}{4}}$

단계 3.4.5.2

$4$ 에서 완전제곱인 $2^{2}$ 인수를 묶습니다.

$y = \pm \sqrt{\frac{1^{2} (- x^{4} + 8 K)}{2^{2} \cdot 1}}$

단계 3.4.5.3

분수 $\frac{1^{2} (- x^{4} + 8 K)}{2^{2} \cdot 1}$ 를 다시 정렬합니다.

$y = \pm \sqrt{{(\frac{1}{2})}^{2} (- x^{4} + 8 K)}$

단계 3.4.6

근호 안의 항을 밖으로 빼냅니다.

$y = \pm \frac{1}{2} \sqrt{- x^{4} + 8 K}$

단계 3.4.7

$\frac{1}{2}$ 와 $\sqrt{- x^{4} + 8 K}$ 을 묶습니다.

$y = \pm \frac{\sqrt{- x^{4} + 8 K}}{2}$

단계 3.5

해의 양수와 음수 부분 모두 최종 해가 됩니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.5.1

먼저, $\pm$ 의 양의 값을 이용하여 첫 번째 해를 구합니다.

$y = \frac{\sqrt{- x^{4} + 8 K}}{2}$

단계 3.5.2

그 다음 $\pm$ 의 마이너스 값을 사용하여 두 번째 해를 구합니다.

$y = - \frac{\sqrt{- x^{4} + 8 K}}{2}$

단계 3.5.3

해의 양수와 음수 부분 모두 최종 해가 됩니다.

$y = \frac{\sqrt{- x^{4} + 8 K}}{2}$

$y = - \frac{\sqrt{- x^{4} + 8 K}}{2}$

$y = \frac{\sqrt{- x^{4} + 8 K}}{2}$

$y = - \frac{\sqrt{- x^{4} + 8 K}}{2}$

$y = \frac{\sqrt{- x^{4} + 8 K}}{2}$

$y = - \frac{\sqrt{- x^{4} + 8 K}}{2}$

단계 4

적분 상수를 간단히 합니다.

$y = \frac{\sqrt{- x^{4} + K}}{2}$

$y = - \frac{\sqrt{- x^{4} + K}}{2}$