미적분 예제

$x (2 x^{2} + y^{2}) d x + y (x^{2} + 2 y^{2}) d y = 0$

단계 1

$M (x, y) = x (2 x^{2} + y^{2})$ 인 $\frac{\partial M}{\partial y}$ 을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1

$y$ 에 대해 $M$ 을 미분합니다.

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [x (2 x^{2} + y^{2})]$

단계 1.2

$x$ 은 $y$ 에 대해 일정하므로 $y$ 에 대한 $x (2 x^{2} + y^{2})$ 의 미분은 $x \frac{d}{d y} [2 x^{2} + y^{2}]$ 입니다.

$\frac{\partial M}{\partial y} = x \frac{d}{d y} [2 x^{2} + y^{2}]$

단계 1.3

합의 법칙에 의해 $2 x^{2} + y^{2}$ 를 $y$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d y} [2 x^{2}] + \frac{d}{d y} [y^{2}]$ 가 됩니다.

$\frac{\partial M}{\partial y} = x (\frac{d}{d y} [2 x^{2}] + \frac{d}{d y} [y^{2}])$

단계 1.4

$2 x^{2}$ 이 $y$ 에 대해 일정하므로, $2 x^{2}$ 를 $y$ 에 대해 미분하면 $2 x^{2}$ 입니다.

$\frac{\partial M}{\partial y} = x (0 + \frac{d}{d y} [y^{2}])$

단계 1.5

$0$ 를 $\frac{d}{d y} [y^{2}]$ 에 더합니다.

$\frac{\partial M}{\partial y} = x \frac{d}{d y} [y^{2}]$

단계 1.6

$n = 2$ 일 때 $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ 는 $n y^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{\partial M}{\partial y} = x (2 y)$

단계 1.7

$x$ 의 왼쪽으로 $2$ 이동하기

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 x y$

단계 2

$N (x, y) = y (x^{2} + 2 y^{2})$ 인 $\frac{\partial N}{\partial x}$ 을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1

$x$ 에 대해 $N$ 을 미분합니다.

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [y (x^{2} + 2 y^{2})]$

단계 2.2

$y$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $y (x^{2} + 2 y^{2})$ 의 미분은 $y \frac{d}{d x} [x^{2} + 2 y^{2}]$ 입니다.

$\frac{\partial N}{\partial x} = y \frac{d}{d x} [x^{2} + 2 y^{2}]$

단계 2.3

합의 법칙에 의해 $x^{2} + 2 y^{2}$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [2 y^{2}]$ 가 됩니다.

$\frac{\partial N}{\partial x} = y (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [2 y^{2}])$

단계 2.4

$n = 2$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{\partial N}{\partial x} = y (2 x + \frac{d}{d x} [2 y^{2}])$

단계 2.5

$2 y^{2}$ 이 $x$ 에 대해 일정하므로, $2 y^{2}$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $2 y^{2}$ 입니다.

$\frac{\partial N}{\partial x} = y (2 x + 0)$

단계 2.6

식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.6.1

$2 x$ 를 $0$ 에 더합니다.

$\frac{\partial N}{\partial x} = y (2 x)$

단계 2.6.2

$y$ 의 왼쪽으로 $2$ 이동하기

$\frac{\partial N}{\partial x} = 2 \cdot y x$

단계 2.6.3

$2 y x$ 인수를 다시 정렬합니다.

$\frac{\partial N}{\partial x} = 2 x y$

단계 3

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$ 를 확인합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.1

$\frac{\partial M}{\partial y}$ 에 $2 x y$ 을, $\frac{\partial N}{\partial x}$ 에 $2 x y$ 을 대입합니다.

$2 x y = 2 x y$

단계 3.2

양변이 동일함을 보였으므로, 이 방정식은 항등식입니다.

$2 x y = 2 x y$ 은 항등식입니다.

단계 4

집합 $f (x, y)$ 을 $M (x, y)$ 의 적분과 같게 둡니다.

$f (x, y) = \int x (2 x^{2} + y^{2}) d x$

단계 5

$M (x, y) = x (2 x^{2} + y^{2})$ 을 적분하여 $f (x, y)$ 을 구합니다.

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단계 5.1

$x (2 x^{2} + y^{2})$ 을 전개합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.1.1

분배 법칙을 적용합니다.

$f (x, y) = \int x (2 x^{2}) + x y^{2} d x$

단계 5.1.2

괄호를 제거합니다.

$f (x, y) = \int x \cdot 2 x^{2} + x y^{2} d x$

단계 5.1.3

$x$ 와 $2$ 을 다시 정렬합니다.

$f (x, y) = \int 2 x \cdot x^{2} + x y^{2} d x$

단계 5.1.4

$x$ 를 $1$ 승 합니다.

$f (x, y) = \int 2 (x^{1} x^{2}) + x y^{2} d x$

단계 5.1.5

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$f (x, y) = \int 2 x^{1 + 2} + x y^{2} d x$

단계 5.1.6

$1$ 를 $2$ 에 더합니다.

$f (x, y) = \int 2 x^{3} + x y^{2} d x$

단계 5.2

하나의 적분을 여러 개의 적분으로 나눕니다.

$f (x, y) = \int 2 x^{3} d x + \int x y^{2} d x$

단계 5.3

$2$ 은 $x$ 에 대해 상수이므로, $2$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$f (x, y) = 2 \int x^{3} d x + \int x y^{2} d x$

단계 5.4

멱의 법칙에 의해 $x^{3}$ 를 $x$ 에 대해 적분하면 $\frac{1}{4} x^{4}$ 가 됩니다.

$f (x, y) = 2 (\frac{1}{4} x^{4} + C) + \int x y^{2} d x$

단계 5.5

$y^{2}$ 은 $x$ 에 대해 상수이므로, $y^{2}$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$f (x, y) = 2 (\frac{1}{4} x^{4} + C) + y^{2} \int x d x$

단계 5.6

멱의 법칙에 의해 $x$ 를 $x$ 에 대해 적분하면 $\frac{1}{2} x^{2}$ 가 됩니다.

$f (x, y) = 2 (\frac{1}{4} x^{4} + C) + y^{2} (\frac{1}{2} x^{2} + C)$

단계 5.7

간단히 합니다.

$f (x, y) = 2 (\frac{1}{4}) x^{4} + y^{2} \frac{1}{2} x^{2} + C$

단계 5.8

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.8.1

$2$ 와 $\frac{1}{4}$ 을 묶습니다.

$f (x, y) = \frac{2}{4} x^{4} + y^{2} \frac{1}{2} x^{2} + C$

단계 5.8.2

$2$ 및 $4$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.8.2.1

$2$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$f (x, y) = \frac{2 (1)}{4} x^{4} + y^{2} \frac{1}{2} x^{2} + C$

단계 5.8.2.2

공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.8.2.2.1

$4$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$f (x, y) = \frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 2} x^{4} + y^{2} \frac{1}{2} x^{2} + C$

단계 5.8.2.2.2

공약수로 약분합니다.

$f (x, y) = \frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 2} x^{4} + y^{2} \frac{1}{2} x^{2} + C$

단계 5.8.2.2.3

수식을 다시 씁니다.

$f (x, y) = \frac{1}{2} x^{4} + y^{2} \frac{1}{2} x^{2} + C$

단계 5.8.3

$y^{2}$ 와 $\frac{1}{2}$ 을 묶습니다.

$f (x, y) = \frac{1}{2} x^{4} + \frac{y^{2}}{2} x^{2} + C$

단계 5.8.4

$\frac{y^{2}}{2}$ 와 $x^{2}$ 을 묶습니다.

$f (x, y) = \frac{1}{2} x^{4} + \frac{y^{2} x^{2}}{2} + C$

단계 5.9

항을 다시 정렬합니다.

$f (x, y) = \frac{1}{2} x^{4} + \frac{1}{2} y^{2} x^{2} + C$

단계 6

$g (y)$ 의 적분에 적분 상수가 있으므로 $C$ 에 $g (y)$ 을 대입할 수 있습니다.

$f (x, y) = \frac{1}{2} x^{4} + \frac{1}{2} y^{2} x^{2} + g (y)$

단계 7

$\frac{\partial f}{\partial y} = N (x, y)$ 으로 둡니다.

$\frac{\partial f}{\partial y} = y (x^{2} + 2 y^{2})$

단계 8

$\frac{\partial f}{\partial y}$ 를 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 8.1

$y$ 에 대해 $f$ 을 미분합니다.

$\frac{d}{d y} [\frac{1}{2} x^{4} + \frac{1}{2} y^{2} x^{2} + g (y)] = y (x^{2} + 2 y^{2})$

단계 8.2

미분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 8.2.1

합의 법칙에 의해 $\frac{1}{2} x^{4} + \frac{1}{2} y^{2} x^{2} + g (y)$ 를 $y$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d y} [\frac{1}{2} x^{4}] + \frac{d}{d y} [\frac{1}{2} y^{2} x^{2}] + \frac{d}{d y} [g (y)]$ 가 됩니다.

$\frac{d}{d y} [\frac{1}{2} x^{4}] + \frac{d}{d y} [\frac{1}{2} y^{2} x^{2}] + \frac{d}{d y} [g (y)] = y (x^{2} + 2 y^{2})$

단계 8.2.2

$\frac{1}{2} x^{4}$ 이 $y$ 에 대해 일정하므로, $\frac{1}{2} x^{4}$ 를 $y$ 에 대해 미분하면 $\frac{1}{2} x^{4}$ 입니다.

$0 + \frac{d}{d y} [\frac{1}{2} y^{2} x^{2}] + \frac{d}{d y} [g (y)] = y (x^{2} + 2 y^{2})$

단계 8.3

$\frac{d}{d y} [\frac{1}{2} y^{2} x^{2}]$ 의 값을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 8.3.1

$\frac{1}{2}$ 와 $y^{2}$ 을 묶습니다.

$0 + \frac{d}{d y} [\frac{y^{2}}{2} x^{2}] + \frac{d}{d y} [g (y)] = y (x^{2} + 2 y^{2})$

단계 8.3.2

$\frac{y^{2}}{2}$ 와 $x^{2}$ 을 묶습니다.

$0 + \frac{d}{d y} [\frac{y^{2} x^{2}}{2}] + \frac{d}{d y} [g (y)] = y (x^{2} + 2 y^{2})$

단계 8.3.3

$\frac{x^{2}}{2}$ 은 $y$ 에 대해 일정하므로 $y$ 에 대한 $\frac{y^{2} x^{2}}{2}$ 의 미분은 $\frac{x^{2}}{2} \frac{d}{d y} [y^{2}]$ 입니다.

$0 + \frac{x^{2}}{2} \frac{d}{d y} [y^{2}] + \frac{d}{d y} [g (y)] = y (x^{2} + 2 y^{2})$

단계 8.3.4

$n = 2$ 일 때 $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ 는 $n y^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$0 + \frac{x^{2}}{2} (2 y) + \frac{d}{d y} [g (y)] = y (x^{2} + 2 y^{2})$

단계 8.3.5

$2$ 와 $\frac{x^{2}}{2}$ 을 묶습니다.

$0 + \frac{2 x^{2}}{2} y + \frac{d}{d y} [g (y)] = y (x^{2} + 2 y^{2})$

단계 8.3.6

$\frac{2 x^{2}}{2}$ 와 $y$ 을 묶습니다.

$0 + \frac{2 x^{2} y}{2} + \frac{d}{d y} [g (y)] = y (x^{2} + 2 y^{2})$

단계 8.3.7

$2$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 8.3.7.1

공약수로 약분합니다.

$0 + \frac{2 x^{2} y}{2} + \frac{d}{d y} [g (y)] = y (x^{2} + 2 y^{2})$

단계 8.3.7.2

$x^{2} y$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$0 + x^{2} y + \frac{d}{d y} [g (y)] = y (x^{2} + 2 y^{2})$

단계 8.4

$g (y)$ 의 도함수가 $\frac{d g}{d y}$ 인 함수 규칙을 사용하여 미분합니다.

$0 + x^{2} y + \frac{d g}{d y} = y (x^{2} + 2 y^{2})$

단계 8.5

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 8.5.1

$0$ 를 $x^{2} y$ 에 더합니다.

$x^{2} y + \frac{d g}{d y} = y (x^{2} + 2 y^{2})$

단계 8.5.2

항을 다시 정렬합니다.

$\frac{d g}{d y} + x^{2} y = y (x^{2} + 2 y^{2})$

단계 9

$\frac{d g}{d y}$ 에 대해 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 9.1

$\frac{d g}{d y}$ 에 대해 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 9.1.1

$y (x^{2} + 2 y^{2})$ 을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 9.1.1.1

다시 씁니다.

$\frac{d g}{d y} + x^{2} y = 0 + 0 + y (x^{2} + 2 y^{2})$

단계 9.1.1.2

0을 더해 식을 간단히 합니다.

$\frac{d g}{d y} + x^{2} y = y (x^{2} + 2 y^{2})$

단계 9.1.1.3

분배 법칙을 적용합니다.

$\frac{d g}{d y} + x^{2} y = y x^{2} + y (2 y^{2})$

단계 9.1.1.4

곱셈의 교환법칙을 사용하여 다시 씁니다.

$\frac{d g}{d y} + x^{2} y = y x^{2} + 2 y \cdot y^{2}$

단계 9.1.1.5

지수를 더하여 $y$ 에 $y^{2}$ 을 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 9.1.1.5.1

$y^{2}$ 를 옮깁니다.

$\frac{d g}{d y} + x^{2} y = y x^{2} + 2 (y^{2} y)$

단계 9.1.1.5.2

$y^{2}$ 에 $y$ 을 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 9.1.1.5.2.1

$y$ 를 $1$ 승 합니다.

$\frac{d g}{d y} + x^{2} y = y x^{2} + 2 (y^{2} y^{1})$

단계 9.1.1.5.2.2

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$\frac{d g}{d y} + x^{2} y = y x^{2} + 2 y^{2 + 1}$

단계 9.1.1.5.3

$2$ 를 $1$ 에 더합니다.

$\frac{d g}{d y} + x^{2} y = y x^{2} + 2 y^{3}$

단계 9.1.2

$\frac{d g}{d y}$ 를 포함하지 않은 모든 항을 방정식의 우변으로 옮깁니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 9.1.2.1

방정식의 양변에서 $x^{2} y$ 를 뺍니다.

$\frac{d g}{d y} = y x^{2} + 2 y^{3} - x^{2} y$

단계 9.1.2.2

$y x^{2} + 2 y^{3} - x^{2} y$ 의 반대 항을 묶습니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 9.1.2.2.1

인수가 항 $y x^{2}$ 과(와) $- x^{2} y$ (으)로 표현되도록 다시 정렬합니다.

$\frac{d g}{d y} = x^{2} y + 2 y^{3} - x^{2} y$

단계 9.1.2.2.2

$x^{2} y$ 에서 $x^{2} y$ 을 뺍니다.

$\frac{d g}{d y} = 2 y^{3} + 0$

단계 9.1.2.2.3

$2 y^{3}$ 를 $0$ 에 더합니다.

$\frac{d g}{d y} = 2 y^{3}$

단계 10

$2 y^{3}$ 의 역도함수를 구하여 $g (y)$ 을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 10.1

$\frac{d g}{d y} = 2 y^{3}$ 의 양쪽을 모두 적분합니다.

$\int \frac{d g}{d y} d y = \int 2 y^{3} d y$

단계 10.2

$\int \frac{d g}{d y} d y$ 의 값을 구합니다.

$g (y) = \int 2 y^{3} d y$

단계 10.3

$2$ 은 $y$ 에 대해 상수이므로, $2$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$g (y) = 2 \int y^{3} d y$

단계 10.4

멱의 법칙에 의해 $y^{3}$ 를 $y$ 에 대해 적분하면 $\frac{1}{4} y^{4}$ 가 됩니다.

$g (y) = 2 (\frac{1}{4} y^{4} + C)$

단계 10.5

답을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 10.5.1

$2 (\frac{1}{4} y^{4} + C)$ 을 $2 (\frac{1}{4}) y^{4} + C$ 로 바꿔 씁니다.

$g (y) = 2 (\frac{1}{4}) y^{4} + C$

단계 10.5.2

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 10.5.2.1

$2$ 와 $\frac{1}{4}$ 을 묶습니다.

$g (y) = \frac{2}{4} y^{4} + C$

단계 10.5.2.2

$2$ 및 $4$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 10.5.2.2.1

$2$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$g (y) = \frac{2 (1)}{4} y^{4} + C$

단계 10.5.2.2.2

공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 10.5.2.2.2.1

$4$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$g (y) = \frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 2} y^{4} + C$

단계 10.5.2.2.2.2

공약수로 약분합니다.

$g (y) = \frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 2} y^{4} + C$

단계 10.5.2.2.2.3

수식을 다시 씁니다.

$g (y) = \frac{1}{2} y^{4} + C$

단계 11

$f (x, y) = \frac{1}{2} x^{4} + \frac{1}{2} y^{2} x^{2} + g (y)$ 에서 $g (y)$ 을 대입합니다.

$f (x, y) = \frac{1}{2} x^{4} + \frac{1}{2} y^{2} x^{2} + \frac{1}{2} y^{4} + C$

단계 12

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 12.1

$\frac{1}{2}$ 와 $x^{4}$ 을 묶습니다.

$f (x, y) = \frac{x^{4}}{2} + \frac{1}{2} y^{2} x^{2} + \frac{1}{2} y^{4} + C$

단계 12.2

$\frac{1}{2}$ 와 $y^{2}$ 을 묶습니다.

$f (x, y) = \frac{x^{4}}{2} + \frac{y^{2}}{2} x^{2} + \frac{1}{2} y^{4} + C$

단계 12.3

$\frac{y^{2}}{2}$ 와 $x^{2}$ 을 묶습니다.

$f (x, y) = \frac{x^{4}}{2} + \frac{y^{2} x^{2}}{2} + \frac{1}{2} y^{4} + C$

단계 12.4

$\frac{1}{2}$ 와 $y^{4}$ 을 묶습니다.

$f (x, y) = \frac{x^{4}}{2} + \frac{y^{2} x^{2}}{2} + \frac{y^{4}}{2} + C$