미적분 예제

$\frac{d y}{d x} = \frac{e^{4 x}}{y^{3}}$

단계 1

변수를 분리합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1

양변에 $y^{3}$ 을 곱합니다.

$y^{3} \frac{d y}{d x} = y^{3} \frac{e^{4 x}}{y^{3}}$

단계 1.2

$y^{3}$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.2.1

공약수로 약분합니다.

$y^{3} \frac{d y}{d x} = y^{3} \frac{e^{4 x}}{y^{3}}$

단계 1.2.2

수식을 다시 씁니다.

$y^{3} \frac{d y}{d x} = e^{4 x}$

단계 1.3

식을 다시 씁니다.

$y^{3} d y = e^{4 x} d x$

단계 2

양변을 적분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1

각 변의 적분을 구합니다.

$\int y^{3} d y = \int e^{4 x} d x$

단계 2.2

멱의 법칙에 의해 $y^{3}$ 를 $y$ 에 대해 적분하면 $\frac{1}{4} y^{4}$ 가 됩니다.

$\frac{1}{4} y^{4} + C_{1} = \int e^{4 x} d x$

단계 2.3

우변을 적분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.3.1

먼저 $u = 4 x$ 로 정의합니다. 그러면 $d u = 4 d x$ 이므로 $\frac{1}{4} d u = d x$ 가 됩니다. 이 식을 $u$ 와 $d$ $u$ 를 이용하여 다시 씁니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.3.1.1

$u = 4 x$ 로 둡니다. $\frac{d u}{d x}$ 를 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.3.1.1.1

$4 x$ 를 미분합니다.

$\frac{d}{d x} [4 x]$

단계 2.3.1.1.2

$4$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $4 x$ 의 미분은 $4 \frac{d}{d x} [x]$ 입니다.

$4 \frac{d}{d x} [x]$

단계 2.3.1.1.3

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$4 \cdot 1$

단계 2.3.1.1.4

$4$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$4$

단계 2.3.1.2

$u$ 와 $d u$ 를 사용해 문제를 바꿔 씁니다.

$\frac{1}{4} y^{4} + C_{1} = \int e^{u} \frac{1}{4} d u$

단계 2.3.2

$e^{u}$ 와 $\frac{1}{4}$ 을 묶습니다.

$\frac{1}{4} y^{4} + C_{1} = \int \frac{e^{u}}{4} d u$

단계 2.3.3

$\frac{1}{4}$ 은 $u$ 에 대해 상수이므로, $\frac{1}{4}$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$\frac{1}{4} y^{4} + C_{1} = \frac{1}{4} \int e^{u} d u$

단계 2.3.4

$e^{u}$ 를 $u$ 에 대해 적분하면 $e^{u}$ 입니다.

$\frac{1}{4} y^{4} + C_{1} = \frac{1}{4} (e^{u} + C_{2})$

단계 2.3.5

간단히 합니다.

$\frac{1}{4} y^{4} + C_{1} = \frac{1}{4} e^{u} + C_{2}$

단계 2.3.6

$u$ 를 모두 $4 x$ 로 바꿉니다.

$\frac{1}{4} y^{4} + C_{1} = \frac{1}{4} e^{4 x} + C_{2}$

단계 2.4

우변에 적분 상수를 $K$ 로 묶습니다.

$\frac{1}{4} y^{4} = \frac{1}{4} e^{4 x} + K$

단계 3

$y$ 에 대해 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.1

방정식의 양변에 $4$ 을 곱합니다.

$4 (\frac{1}{4} y^{4}) = 4 (\frac{1}{4} e^{4 x} + K)$

단계 3.2

방정식의 양변을 간단히 정리합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.2.1

좌변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.2.1.1

$4 (\frac{1}{4} y^{4})$ 을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.2.1.1.1

$\frac{1}{4}$ 와 $y^{4}$ 을 묶습니다.

$4 \frac{y^{4}}{4} = 4 (\frac{1}{4} e^{4 x} + K)$

단계 3.2.1.1.2

$4$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.2.1.1.2.1

공약수로 약분합니다.

$4 \frac{y^{4}}{4} = 4 (\frac{1}{4} e^{4 x} + K)$

단계 3.2.1.1.2.2

수식을 다시 씁니다.

$y^{4} = 4 (\frac{1}{4} e^{4 x} + K)$

단계 3.2.2

우변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.2.2.1

$4 (\frac{1}{4} e^{4 x} + K)$ 을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.2.2.1.1

$\frac{1}{4}$ 와 $e^{4 x}$ 을 묶습니다.

$y^{4} = 4 (\frac{e^{4 x}}{4} + K)$

단계 3.2.2.1.2

분배 법칙을 적용합니다.

$y^{4} = 4 \frac{e^{4 x}}{4} + 4 K$

단계 3.2.2.1.3

$4$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.2.2.1.3.1

공약수로 약분합니다.

$y^{4} = 4 \frac{e^{4 x}}{4} + 4 K$

단계 3.2.2.1.3.2

수식을 다시 씁니다.

$y^{4} = e^{4 x} + 4 K$

단계 3.3

좌변의 지수를 소거하기 위하여 방정식의 양변에 지정된 제곱근을 취합니다.

$y = \pm \sqrt[4]{e^{4 x} + 4 K}$

단계 3.4

해의 양수와 음수 부분 모두 최종 해가 됩니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.4.1

먼저, $\pm$ 의 양의 값을 이용하여 첫 번째 해를 구합니다.

$y = \sqrt[4]{e^{4 x} + 4 K}$

단계 3.4.2

그 다음 $\pm$ 의 마이너스 값을 사용하여 두 번째 해를 구합니다.

$y = - \sqrt[4]{e^{4 x} + 4 K}$

단계 3.4.3

해의 양수와 음수 부분 모두 최종 해가 됩니다.

$y = \sqrt[4]{e^{4 x} + 4 K}$

$y = - \sqrt[4]{e^{4 x} + 4 K}$

$y = \sqrt[4]{e^{4 x} + 4 K}$

$y = - \sqrt[4]{e^{4 x} + 4 K}$

$y = \sqrt[4]{e^{4 x} + 4 K}$

$y = - \sqrt[4]{e^{4 x} + 4 K}$

단계 4

적분 상수를 간단히 합니다.

$y = \sqrt[4]{e^{4 x} + K}$

$y = - \sqrt[4]{e^{4 x} + K}$