미적분 예제

$\frac{d y}{d x} = \frac{x^{2}}{y^{2}}$ , $y (0) = 2$

단계 1

변수를 분리합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1

양변에 $y^{2}$ 을 곱합니다.

$y^{2} \frac{d y}{d x} = y^{2} \frac{x^{2}}{y^{2}}$

단계 1.2

$y^{2}$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.2.1

공약수로 약분합니다.

$y^{2} \frac{d y}{d x} = y^{2} \frac{x^{2}}{y^{2}}$

단계 1.2.2

수식을 다시 씁니다.

$y^{2} \frac{d y}{d x} = x^{2}$

단계 1.3

식을 다시 씁니다.

$y^{2} d y = x^{2} d x$

단계 2

양변을 적분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1

각 변의 적분을 구합니다.

$\int y^{2} d y = \int x^{2} d x$

단계 2.2

멱의 법칙에 의해 $y^{2}$ 를 $y$ 에 대해 적분하면 $\frac{1}{3} y^{3}$ 가 됩니다.

$\frac{1}{3} y^{3} + C_{1} = \int x^{2} d x$

단계 2.3

멱의 법칙에 의해 $x^{2}$ 를 $x$ 에 대해 적분하면 $\frac{1}{3} x^{3}$ 가 됩니다.

$\frac{1}{3} y^{3} + C_{1} = \frac{1}{3} x^{3} + C_{2}$

단계 2.4

우변에 적분 상수를 $K$ 로 묶습니다.

$\frac{1}{3} y^{3} = \frac{1}{3} x^{3} + K$

단계 3

$y$ 에 대해 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.1

방정식의 양변에 $3$ 을 곱합니다.

$3 (\frac{1}{3} y^{3}) = 3 (\frac{1}{3} x^{3} + K)$

단계 3.2

방정식의 양변을 간단히 정리합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.2.1

좌변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.2.1.1

$3 (\frac{1}{3} y^{3})$ 을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.2.1.1.1

$\frac{1}{3}$ 와 $y^{3}$ 을 묶습니다.

$3 \frac{y^{3}}{3} = 3 (\frac{1}{3} x^{3} + K)$

단계 3.2.1.1.2

$3$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.2.1.1.2.1

공약수로 약분합니다.

$3 \frac{y^{3}}{3} = 3 (\frac{1}{3} x^{3} + K)$

단계 3.2.1.1.2.2

수식을 다시 씁니다.

$y^{3} = 3 (\frac{1}{3} x^{3} + K)$

단계 3.2.2

우변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.2.2.1

$3 (\frac{1}{3} x^{3} + K)$ 을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.2.2.1.1

$\frac{1}{3}$ 와 $x^{3}$ 을 묶습니다.

$y^{3} = 3 (\frac{x^{3}}{3} + K)$

단계 3.2.2.1.2

분배 법칙을 적용합니다.

$y^{3} = 3 \frac{x^{3}}{3} + 3 K$

단계 3.2.2.1.3

$3$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.2.2.1.3.1

공약수로 약분합니다.

$y^{3} = 3 \frac{x^{3}}{3} + 3 K$

단계 3.2.2.1.3.2

수식을 다시 씁니다.

$y^{3} = x^{3} + 3 K$

단계 3.3

좌변의 지수를 소거하기 위하여 방정식의 양변에 지정된 제곱근을 취합니다.

$y = \sqrt[3]{x^{3} + 3 K}$

단계 4

적분 상수를 간단히 합니다.

$y = \sqrt[3]{x^{3} + K}$

단계 5

초기 조건을 활용하여 $y = \sqrt[3]{x^{3} + K}$ 에서 $x$ 에 $0$ 을, $y$ 에 $2$ 를 대입하여 $K$ 값을 구합니다.

$2 = \sqrt[3]{0^{3} + K}$

단계 6

$K$ 에 대해 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.1

$\sqrt[3]{0^{3} + K} = 2$ 로 방정식을 다시 씁니다.

$\sqrt[3]{0^{3} + K} = 2$

단계 6.2

방정식의 좌변의 근호를 없애기 위해 방정식 양변을 세제곱합니다.

${\sqrt[3]{0^{3} + K}}^{3} = 2^{3}$

단계 6.3

방정식의 각 변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.3.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ 을(를) 사용하여 $\sqrt[3]{0^{3} + K}$ 을(를) ${(0^{3} + K)}^{\frac{1}{3}}$ (으)로 다시 씁니다.

${({(0^{3} + K)}^{\frac{1}{3}})}^{3} = 2^{3}$

단계 6.3.2

좌변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.3.2.1

${({(0^{3} + K)}^{\frac{1}{3}})}^{3}$ 을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.3.2.1.1

${({(0^{3} + K)}^{\frac{1}{3}})}^{3}$ 의 지수를 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.3.2.1.1.1

멱의 법칙을 적용하여 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 과 같이 지수를 곱합니다.

${(0^{3} + K)}^{\frac{1}{3} \cdot 3} = 2^{3}$

단계 6.3.2.1.1.2

$3$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.3.2.1.1.2.1

공약수로 약분합니다.

${(0^{3} + K)}^{\frac{1}{3} \cdot 3} = 2^{3}$

단계 6.3.2.1.1.2.2

수식을 다시 씁니다.

${(0^{3} + K)}^{1} = 2^{3}$

단계 6.3.2.1.2

$0$ 을 여러 번 거듭제곱해도 $0$ 이 나옵니다.

${(0 + K)}^{1} = 2^{3}$

단계 6.3.2.1.3

$0$ 를 $K$ 에 더합니다.

$K^{1} = 2^{3}$

단계 6.3.2.1.4

간단히 합니다.

$K = 2^{3}$

단계 6.3.3

우변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.3.3.1

$2$ 를 $3$ 승 합니다.

$K = 8$

단계 7

$y = \sqrt[3]{x^{3} + K}$ 의 $K$ 에 $8$ 를 대입하여 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 7.1

$K$ 에 $8$ 를 대입합니다.

$y = \sqrt[3]{x^{3} + 8}$

단계 7.2

$8$ 을 $2^{3}$ 로 바꿔 씁니다.

$y = \sqrt[3]{x^{3} + 2^{3}}$

단계 7.3

두 항 모두 완전세제곱식이므로 세제곱의 합 공식 $a^{3} + b^{3} = (a + b) (a^{2} - a b + b^{2})$ 을 이용하여 인수분해합니다. 이 때 $a = x$ 이고 $b = 2$ 입니다.

$y = \sqrt[3]{(x + 2) (x^{2} - x \cdot 2 + 2^{2})}$

단계 7.4

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 7.4.1

$2$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$y = \sqrt[3]{(x + 2) (x^{2} - 2 x + 2^{2})}$

단계 7.4.2

$2$ 를 $2$ 승 합니다.

$y = \sqrt[3]{(x + 2) (x^{2} - 2 x + 4)}$