미적분 예제

$4 \frac{d^{2} y}{d x^{2}} + \frac{d y}{d x} = 0$

단계 1

$v = \frac{d y}{d x}$ 로 두면 $\frac{d v}{d x} = \frac{d^{2} y}{d x^{2}}$ 입니다. $v$ 를 $\frac{d y}{d x}$ 에 대입하고, $\frac{d v}{d x}$ 를 $\frac{d^{2} y}{d x^{2}}$ 에 대입하여 종속 변수 $v$ 와 독립 변수 $x$ 로 미분 방정식을 구합니다.

$4 \frac{d v}{d x} + v = 0$

단계 2

변수를 분리합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1

$\frac{d v}{d x}$ 에 대해 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1.1

방정식의 양변에서 $v$ 를 뺍니다.

$4 \frac{d v}{d x} = - v$

단계 2.1.2

$4 \frac{d v}{d x} = - v$ 의 각 항을 $4$ 로 나누고 식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1.2.1

$4 \frac{d v}{d x} = - v$ 의 각 항을 $4$ 로 나눕니다.

$\frac{4 \frac{d v}{d x}}{4} = \frac{- v}{4}$

단계 2.1.2.2

좌변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1.2.2.1

$4$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1.2.2.1.1

공약수로 약분합니다.

$\frac{4 \frac{d v}{d x}}{4} = \frac{- v}{4}$

단계 2.1.2.2.1.2

$\frac{d v}{d x}$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$\frac{d v}{d x} = \frac{- v}{4}$

단계 2.1.2.3

우변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1.2.3.1

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$\frac{d v}{d x} = - \frac{v}{4}$

단계 2.2

양변에 $\frac{1}{v}$ 을 곱합니다.

$\frac{1}{v} \frac{d v}{d x} = \frac{1}{v} (- \frac{v}{4})$

단계 2.3

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.3.1

곱셈의 교환법칙을 사용하여 다시 씁니다.

$\frac{1}{v} \frac{d v}{d x} = - \frac{1}{v} \cdot \frac{v}{4}$

단계 2.3.2

$v$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.3.2.1

$- \frac{1}{v}$ 의 마이너스 부호를 분자로 이동합니다.

$\frac{1}{v} \frac{d v}{d x} = \frac{- 1}{v} \cdot \frac{v}{4}$

단계 2.3.2.2

공약수로 약분합니다.

$\frac{1}{v} \frac{d v}{d x} = \frac{- 1}{v} \cdot \frac{v}{4}$

단계 2.3.2.3

수식을 다시 씁니다.

$\frac{1}{v} \frac{d v}{d x} = - \frac{1}{4}$

단계 2.4

식을 다시 씁니다.

$\frac{1}{v} d v = - \frac{1}{4} d x$

단계 3

양변을 적분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.1

각 변의 적분을 구합니다.

$\int \frac{1}{v} d v = \int - \frac{1}{4} d x$

단계 3.2

$\frac{1}{v}$ 를 $v$ 에 대해 적분하면 $\ln (| v |)$ 입니다.

$\ln (| v |) + C_{1} = \int - \frac{1}{4} d x$

단계 3.3

상수 규칙을 적용합니다.

$\ln (| v |) + C_{1} = - \frac{1}{4} x + C_{2}$

단계 3.4

우변에 적분 상수를 $C_{3}$ 로 묶습니다.

$\ln (| v |) = - \frac{1}{4} x + C_{3}$

단계 4

$v$ 에 대해 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.1

$v$ 을 구하기 위해 로그의 성질을 이용하여 방정식을 다시 씁니다.

$e^{\ln (| v |)} = e^{- \frac{1}{4} x + C_{3}}$

단계 4.2

로그의 정의를 이용하여 $\ln (| v |) = - \frac{1}{4} x + C_{3}$ 를 지수 형태로 다시 씁니다. 만약 $x$ 와 $b$ 가 양의 실수와 $b \neq 1$ 이면, $\log_{b} (x) = y$ 는 $b^{y} = x$ 와 같습니다.

$e^{- \frac{1}{4} x + C_{3}} = | v |$

단계 4.3

$v$ 에 대해 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.3.1

$| v | = e^{- \frac{1}{4} x + C_{3}}$ 로 방정식을 다시 씁니다.

$| v | = e^{- \frac{1}{4} x + C_{3}}$

단계 4.3.2

$x$ 와 $\frac{1}{4}$ 을 묶습니다.

$| v | = e^{- \frac{x}{4} + C_{3}}$

단계 4.3.3

절대값의 항을 제거합니다. $| x | = \pm x$ 이므로 방정식 우변에 $\pm$ 이 생깁니다.

$v = \pm e^{- \frac{x}{4} + C_{3}}$

단계 5

상수 항을 하나로 묶습니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.1

$e^{- \frac{x}{4} + C_{3}}$ 을 $e^{- \frac{x}{4}} e^{C_{3}}$ 로 바꿔 씁니다.

$v = \pm e^{- \frac{x}{4}} e^{C_{3}}$

단계 5.2

$e^{- \frac{x}{4}}$ 와 $e^{C_{3}}$ 을 다시 정렬합니다.

$v = \pm e^{C_{3}} e^{- \frac{x}{4}}$

단계 5.3

양 또는 음의 상수를 결합합니다.

$v = C_{4} e^{- \frac{x}{4}}$

단계 6

$v$ 를 모두 $\frac{d y}{d x}$ 로 바꿉니다.

$\frac{d y}{d x} = C_{4} e^{- \frac{x}{4}}$

단계 7

식을 다시 씁니다.

$d y = C_{4} e^{- \frac{x}{4}} d x$

단계 8

양변을 적분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 8.1

각 변의 적분을 구합니다.

$\int d y = \int C_{4} e^{- \frac{x}{4}} d x$

단계 8.2

상수 규칙을 적용합니다.

$y + C_{5} = \int C_{4} e^{- \frac{x}{4}} d x$

단계 8.3

우변을 적분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 8.3.1

$C_{4}$ 은 $x$ 에 대해 상수이므로, $C_{4}$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$y + C_{5} = C_{4} \int e^{- \frac{x}{4}} d x$

단계 8.3.2

먼저 $u = - \frac{x}{4}$ 로 정의합니다. 그러면 $d u = - \frac{1}{4} d x$ 이므로 $- 4 d u = d x$ 가 됩니다. 이 식을 $u$ 와 $d$ $u$ 를 이용하여 다시 씁니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 8.3.2.1

$u = - \frac{x}{4}$ 로 둡니다. $\frac{d u}{d x}$ 를 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 8.3.2.1.1

$- \frac{x}{4}$ 를 미분합니다.

$\frac{d}{d x} [- \frac{x}{4}]$

단계 8.3.2.1.2

$- \frac{1}{4}$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $- \frac{x}{4}$ 의 미분은 $- \frac{1}{4} \frac{d}{d x} [x]$ 입니다.

$- \frac{1}{4} \frac{d}{d x} [x]$

단계 8.3.2.1.3

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$- \frac{1}{4} \cdot 1$

단계 8.3.2.1.4

$- 1$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$- \frac{1}{4}$

단계 8.3.2.2

$u$ 와 $d u$ 를 사용해 문제를 바꿔 씁니다.

$y + C_{5} = C_{4} \int - e^{u} \frac{- 1}{- \frac{1}{4}} d u$

단계 8.3.3

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 8.3.3.1

두 음수를 나누면 양수가 나옵니다.

$y + C_{5} = C_{4} \int - e^{u} \frac{1}{\frac{1}{4}} d u$

단계 8.3.3.2

$\frac{1}{4}$ 로 나누기 위해 분수의 역수를 곱합니다.

$y + C_{5} = C_{4} \int - e^{u} (1 \cdot 4) d u$

단계 8.3.3.3

$4$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$y + C_{5} = C_{4} \int - e^{u} \cdot 4 d u$

단계 8.3.3.4

$4$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$y + C_{5} = C_{4} \int - 4 e^{u} d u$

단계 8.3.4

$- 4$ 은 $u$ 에 대해 상수이므로, $- 4$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$y + C_{5} = C_{4} (- 4 \int e^{u} d u)$

단계 8.3.5

$e^{u}$ 를 $u$ 에 대해 적분하면 $e^{u}$ 입니다.

$y + C_{5} = C_{4} (- 4 (e^{u} + C_{6}))$

단계 8.3.6

간단히 합니다.

$y + C_{5} = C_{4} (- 4 e^{u}) + C_{7}$

단계 8.3.7

$u$ 를 모두 $- \frac{x}{4}$ 로 바꿉니다.

$y + C_{5} = C_{4} (- 4 e^{- \frac{x}{4}}) + C_{7}$

단계 8.3.8

항을 다시 정렬합니다.

$y + C_{5} = C_{4} (- 4 e^{- \frac{1}{4} x}) + C_{7}$

단계 8.3.9

항을 다시 정렬합니다.

$y + C_{5} = - 4 e^{- \frac{1}{4} x} C_{4} + C_{7}$

단계 8.4

우변에 적분 상수를 $D$ 로 묶습니다.

$y = - 4 e^{- \frac{1}{4} x} C + D$