미적분 예제

$\frac{d y}{d x} = x \cos (8 x^{2})$ , $y (0) = 8$

단계 1

식을 다시 씁니다.

$d y = x \cos (8 x^{2}) d x$

단계 2

양변을 적분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1

각 변의 적분을 구합니다.

$\int d y = \int x \cos (8 x^{2}) d x$

단계 2.2

상수 규칙을 적용합니다.

$y + C_{1} = \int x \cos (8 x^{2}) d x$

단계 2.3

우변을 적분합니다.

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단계 2.3.1

먼저 $u = 8 x^{2}$ 로 정의합니다. 그러면 $d u = 16 x d x$ 이므로 $\frac{1}{16} d u = x d x$ 가 됩니다. 이 식을 $u$ 와 $d$ $u$ 를 이용하여 다시 씁니다.

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단계 2.3.1.1

$u = 8 x^{2}$ 로 둡니다. $\frac{d u}{d x}$ 를 구합니다.

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단계 2.3.1.1.1

$8 x^{2}$ 를 미분합니다.

$\frac{d}{d x} [8 x^{2}]$

단계 2.3.1.1.2

$8$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $8 x^{2}$ 의 미분은 $8 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ 입니다.

$8 \frac{d}{d x} [x^{2}]$

단계 2.3.1.1.3

$n = 2$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$8 (2 x)$

단계 2.3.1.1.4

$2$ 에 $8$ 을 곱합니다.

$16 x$

단계 2.3.1.2

$u$ 와 $d u$ 를 사용해 문제를 바꿔 씁니다.

$y + C_{1} = \int \cos (u) \frac{1}{16} d u$

단계 2.3.2

$\cos (u)$ 와 $\frac{1}{16}$ 을 묶습니다.

$y + C_{1} = \int \frac{\cos (u)}{16} d u$

단계 2.3.3

$\frac{1}{16}$ 은 $u$ 에 대해 상수이므로, $\frac{1}{16}$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$y + C_{1} = \frac{1}{16} \int \cos (u) d u$

단계 2.3.4

$\cos (u)$ 를 $u$ 에 대해 적분하면 $\sin (u)$ 입니다.

$y + C_{1} = \frac{1}{16} (\sin (u) + C_{2})$

단계 2.3.5

간단히 합니다.

$y + C_{1} = \frac{1}{16} \sin (u) + C_{2}$

단계 2.3.6

$u$ 를 모두 $8 x^{2}$ 로 바꿉니다.

$y + C_{1} = \frac{1}{16} \sin (8 x^{2}) + C_{2}$

단계 2.4

우변에 적분 상수를 $K$ 로 묶습니다.

$y = \frac{1}{16} \sin (8 x^{2}) + K$

단계 3

초기 조건을 활용하여 $y = \frac{1}{16} \sin (8 x^{2}) + K$ 에서 $x$ 에 $0$ 을, $y$ 에 $8$ 를 대입하여 $K$ 값을 구합니다.

$8 = \frac{1}{16} \sin (8 \cdot 0^{2}) + K$

단계 4

$K$ 에 대해 풉니다.

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단계 4.1

$\frac{1}{16} \cdot \sin (8 \cdot 0^{2}) + K = 8$ 로 방정식을 다시 씁니다.

$\frac{1}{16} \cdot \sin (8 \cdot 0^{2}) + K = 8$

단계 4.2

좌변을 간단히 합니다.

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단계 4.2.1

$\frac{1}{16} \cdot \sin (8 \cdot 0^{2}) + K$ 을 간단히 합니다.

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단계 4.2.1.1

각 항을 간단히 합니다.

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단계 4.2.1.1.1

$0$ 을 여러 번 거듭제곱해도 $0$ 이 나옵니다.

$\frac{1}{16} \cdot \sin (8 \cdot 0) + K = 8$

단계 4.2.1.1.2

$8$ 에 $0$ 을 곱합니다.

$\frac{1}{16} \cdot \sin (0) + K = 8$

단계 4.2.1.1.3

$\sin (0)$ 의 정확한 값은 $0$ 입니다.

$\frac{1}{16} \cdot 0 + K = 8$

단계 4.2.1.1.4

$\frac{1}{16}$ 에 $0$ 을 곱합니다.

$0 + K = 8$

단계 4.2.1.2

$0$ 를 $K$ 에 더합니다.

$K = 8$

단계 5

$y = \frac{1}{16} \sin (8 x^{2}) + K$ 의 $K$ 에 $8$ 를 대입하여 간단히 합니다.

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단계 5.1

$K$ 에 $8$ 를 대입합니다.

$y = \frac{1}{16} \sin (8 x^{2}) + 8$

단계 5.2

$\frac{1}{16}$ 와 $\sin (8 x^{2})$ 을 묶습니다.

$y = \frac{\sin (8 x^{2})}{16} + 8$