미적분 예제

$\frac{d y}{d x} + \frac{y}{5} = 0$

단계 1

변수를 분리합니다.

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단계 1.1

방정식의 양변에서 $\frac{y}{5}$ 를 뺍니다.

$\frac{d y}{d x} = - \frac{y}{5}$

단계 1.2

양변에 $\frac{1}{y}$ 을 곱합니다.

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y} (- \frac{y}{5})$

단계 1.3

간단히 합니다.

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단계 1.3.1

곱셈의 교환법칙을 사용하여 다시 씁니다.

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = - \frac{1}{y} \cdot \frac{y}{5}$

단계 1.3.2

$y$ 의 공약수로 약분합니다.

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단계 1.3.2.1

$- \frac{1}{y}$ 의 마이너스 부호를 분자로 이동합니다.

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{- 1}{y} \cdot \frac{y}{5}$

단계 1.3.2.2

공약수로 약분합니다.

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{- 1}{y} \cdot \frac{y}{5}$

단계 1.3.2.3

수식을 다시 씁니다.

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = - \frac{1}{5}$

단계 1.4

식을 다시 씁니다.

$\frac{1}{y} d y = - \frac{1}{5} d x$

단계 2

양변을 적분합니다.

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단계 2.1

각 변의 적분을 구합니다.

$\int \frac{1}{y} d y = \int - \frac{1}{5} d x$

단계 2.2

$\frac{1}{y}$ 를 $y$ 에 대해 적분하면 $\ln (| y |)$ 입니다.

$\ln (| y |) + C_{1} = \int - \frac{1}{5} d x$

단계 2.3

상수 규칙을 적용합니다.

$\ln (| y |) + C_{1} = - \frac{1}{5} x + C_{2}$

단계 2.4

우변에 적분 상수를 $C$ 로 묶습니다.

$\ln (| y |) = - \frac{1}{5} x + C$

단계 3

$y$ 에 대해 풉니다.

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단계 3.1

$y$ 을 구하기 위해 로그의 성질을 이용하여 방정식을 다시 씁니다.

$e^{\ln (| y |)} = e^{- \frac{1}{5} x + C}$

단계 3.2

로그의 정의를 이용하여 $\ln (| y |) = - \frac{1}{5} x + C$ 를 지수 형태로 다시 씁니다. 만약 $x$ 와 $b$ 가 양의 실수와 $b \neq 1$ 이면, $\log_{b} (x) = y$ 는 $b^{y} = x$ 와 같습니다.

$e^{- \frac{1}{5} x + C} = | y |$

단계 3.3

$y$ 에 대해 풉니다.

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단계 3.3.1

$| y | = e^{- \frac{1}{5} x + C}$ 로 방정식을 다시 씁니다.

$| y | = e^{- \frac{1}{5} x + C}$

단계 3.3.2

$x$ 와 $\frac{1}{5}$ 을 묶습니다.

$| y | = e^{- \frac{x}{5} + C}$

단계 3.3.3

절대값의 항을 제거합니다. $| x | = \pm x$ 이므로 방정식 우변에 $\pm$ 이 생깁니다.

$y = \pm e^{- \frac{x}{5} + C}$

단계 4

상수 항을 하나로 묶습니다.

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단계 4.1

$e^{- \frac{x}{5} + C}$ 을 $e^{- \frac{x}{5}} e^{C}$ 로 바꿔 씁니다.

$y = \pm e^{- \frac{x}{5}} e^{C}$

단계 4.2

$e^{- \frac{x}{5}}$ 와 $e^{C}$ 을 다시 정렬합니다.

$y = \pm e^{C} e^{- \frac{x}{5}}$

단계 4.3

양 또는 음의 상수를 결합합니다.

$y = C e^{- \frac{x}{5}}$