미적분 예제

$(y^{4} + 2 y) d x + (x y^{3} + 2 y^{4} - 4 x) d y = 0$

단계 1

$M (x, y) = y^{4} + 2 y$ 인 $\frac{\partial M}{\partial y}$ 을 구합니다.

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단계 1.1

$y$ 에 대해 $M$ 을 미분합니다.

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [y^{4} + 2 y]$

단계 1.2

미분합니다.

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단계 1.2.1

합의 법칙에 의해 $y^{4} + 2 y$ 를 $y$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d y} [y^{4}] + \frac{d}{d y} [2 y]$ 가 됩니다.

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [y^{4}] + \frac{d}{d y} [2 y]$

단계 1.2.2

$n = 4$ 일 때 $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ 는 $n y^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{\partial M}{\partial y} = 4 y^{3} + \frac{d}{d y} [2 y]$

단계 1.3

$\frac{d}{d y} [2 y]$ 의 값을 구합니다.

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단계 1.3.1

$2$ 은 $y$ 에 대해 일정하므로 $y$ 에 대한 $2 y$ 의 미분은 $2 \frac{d}{d y} [y]$ 입니다.

$\frac{\partial M}{\partial y} = 4 y^{3} + 2 \frac{d}{d y} [y]$

단계 1.3.2

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ 는 $n y^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{\partial M}{\partial y} = 4 y^{3} + 2 \cdot 1$

단계 1.3.3

$2$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$\frac{\partial M}{\partial y} = 4 y^{3} + 2$

단계 2

$N (x, y) = x y^{3} + 2 y^{4} - 4 x$ 인 $\frac{\partial N}{\partial x}$ 을 구합니다.

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단계 2.1

$x$ 에 대해 $N$ 을 미분합니다.

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [x y^{3} + 2 y^{4} - 4 x]$

단계 2.2

합의 법칙에 의해 $x y^{3} + 2 y^{4} - 4 x$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [x y^{3}] + \frac{d}{d x} [2 y^{4}] + \frac{d}{d x} [- 4 x]$ 가 됩니다.

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [x y^{3}] + \frac{d}{d x} [2 y^{4}] + \frac{d}{d x} [- 4 x]$

단계 2.3

$\frac{d}{d x} [x y^{3}]$ 의 값을 구합니다.

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단계 2.3.1

$y^{3}$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $x y^{3}$ 의 미분은 $y^{3} \frac{d}{d x} [x]$ 입니다.

$\frac{\partial N}{\partial x} = y^{3} \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2 y^{4}] + \frac{d}{d x} [- 4 x]$

단계 2.3.2

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{\partial N}{\partial x} = y^{3} \cdot 1 + \frac{d}{d x} [2 y^{4}] + \frac{d}{d x} [- 4 x]$

단계 2.3.3

$y^{3}$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$\frac{\partial N}{\partial x} = y^{3} + \frac{d}{d x} [2 y^{4}] + \frac{d}{d x} [- 4 x]$

단계 2.4

$2 y^{4}$ 이 $x$ 에 대해 일정하므로, $2 y^{4}$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $2 y^{4}$ 입니다.

$\frac{\partial N}{\partial x} = y^{3} + 0 + \frac{d}{d x} [- 4 x]$

단계 2.5

$\frac{d}{d x} [- 4 x]$ 의 값을 구합니다.

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단계 2.5.1

$- 4$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $- 4 x$ 의 미분은 $- 4 \frac{d}{d x} [x]$ 입니다.

$\frac{\partial N}{\partial x} = y^{3} + 0 - 4 \frac{d}{d x} [x]$

단계 2.5.2

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{\partial N}{\partial x} = y^{3} + 0 - 4 \cdot 1$

단계 2.5.3

$- 4$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$\frac{\partial N}{\partial x} = y^{3} + 0 - 4$

단계 2.6

$y^{3}$ 를 $0$ 에 더합니다.

$\frac{\partial N}{\partial x} = y^{3} - 4$

단계 3

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$ 를 확인합니다.

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단계 3.1

$\frac{\partial M}{\partial y}$ 에 $4 y^{3} + 2$ 을, $\frac{\partial N}{\partial x}$ 에 $y^{3} - 4$ 을 대입합니다.

$4 y^{3} + 2 = y^{3} - 4$

단계 3.2

좌측 변이 우측 변과 같지 않으므로 이 방정식은 항등식이 아닙니다.

$4 y^{3} + 2 = y^{3} - 4$ 는 항등식이 아닙니다.

단계 4

적분 인수 $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial N}{\partial x} - \frac{\partial M}{\partial y}}{M} d y}$ 을 구합니다.

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단계 4.1

$\frac{\partial N}{\partial x}$ 에 $y^{3} - 4$ 를 대입합니다.

$\frac{y^{3} - 4 - \frac{\partial M}{\partial y}}{M}$

단계 4.2

$\frac{\partial M}{\partial y}$ 에 $4 y^{3} + 2$ 를 대입합니다.

$\frac{y^{3} - 4 - (4 y^{3} + 2)}{M}$

단계 4.3

$M$ 에 $y^{4} + 2 y$ 를 대입합니다.

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단계 4.3.1

$M$ 에 $y^{4} + 2 y$ 를 대입합니다.

$\frac{y^{3} - 4 - (4 y^{3} + 2)}{y^{4} + 2 y}$

단계 4.3.2

분자를 간단히 합니다.

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단계 4.3.2.1

분배 법칙을 적용합니다.

$\frac{y^{3} - 4 - (4 y^{3}) - 1 \cdot 2}{y^{4} + 2 y}$

단계 4.3.2.2

$4$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$\frac{y^{3} - 4 - 4 y^{3} - 1 \cdot 2}{y^{4} + 2 y}$

단계 4.3.2.3

$- 1$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$\frac{y^{3} - 4 - 4 y^{3} - 2}{y^{4} + 2 y}$

단계 4.3.2.4

$y^{3}$ 에서 $4 y^{3}$ 을 뺍니다.

$\frac{- 3 y^{3} - 4 - 2}{y^{4} + 2 y}$

단계 4.3.2.5

$- 4$ 에서 $2$ 을 뺍니다.

$\frac{- 3 y^{3} - 6}{y^{4} + 2 y}$

단계 4.3.2.6

$- 3 y^{3} - 6$ 에서 $3$ 를 인수분해합니다.

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단계 4.3.2.6.1

$- 3 y^{3}$ 에서 $3$ 를 인수분해합니다.

$\frac{3 (- y^{3}) - 6}{y^{4} + 2 y}$

단계 4.3.2.6.2

$- 6$ 에서 $3$ 를 인수분해합니다.

$\frac{3 (- y^{3}) + 3 (- 2)}{y^{4} + 2 y}$

단계 4.3.2.6.3

$3 (- y^{3}) + 3 (- 2)$ 에서 $3$ 를 인수분해합니다.

$\frac{3 (- y^{3} - 2)}{y^{4} + 2 y}$

단계 4.3.3

$y^{4} + 2 y$ 에서 $y$ 를 인수분해합니다.

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단계 4.3.3.1

$y^{4}$ 에서 $y$ 를 인수분해합니다.

$\frac{3 (- y^{3} - 2)}{y \cdot y^{3} + 2 y}$

단계 4.3.3.2

$2 y$ 에서 $y$ 를 인수분해합니다.

$\frac{3 (- y^{3} - 2)}{y \cdot y^{3} + y \cdot 2}$

단계 4.3.3.3

$y \cdot y^{3} + y \cdot 2$ 에서 $y$ 를 인수분해합니다.

$\frac{3 (- y^{3} - 2)}{y (y^{3} + 2)}$

단계 4.3.4

$- y^{3} - 2$ 및 $y^{3} + 2$ 의 공약수로 약분합니다.

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단계 4.3.4.1

$- y^{3}$ 에서 $- 1$ 를 인수분해합니다.

$\frac{3 (- (y^{3}) - 2)}{y (y^{3} + 2)}$

단계 4.3.4.2

$- 2$ 을 $- 1 (2)$ 로 바꿔 씁니다.

$\frac{3 (- (y^{3}) - 1 (2))}{y (y^{3} + 2)}$

단계 4.3.4.3

$- (y^{3}) - 1 (2)$ 에서 $- 1$ 를 인수분해합니다.

$\frac{3 (- (y^{3} + 2))}{y (y^{3} + 2)}$

단계 4.3.4.4

$- (y^{3} + 2)$ 을 $- 1 (y^{3} + 2)$ 로 바꿔 씁니다.

$\frac{3 (- 1 (y^{3} + 2))}{y (y^{3} + 2)}$

단계 4.3.4.5

공약수로 약분합니다.

$\frac{3 (- 1 (y^{3} + 2))}{y (y^{3} + 2)}$

단계 4.3.4.6

수식을 다시 씁니다.

$\frac{3 \cdot (- 1)}{y}$

단계 4.3.5

$3$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$\frac{- 3}{y}$

단계 4.3.6

$M$ 에 $y^{4} + 2 y$ 를 대입합니다.

$- \frac{3}{y}$

단계 4.4

적분 인수 $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial N}{\partial x} - \frac{\partial M}{\partial y}}{M} d y}$ 을 구합니다.

$μ (x, y) = e^{\int - \frac{3}{y} d y}$

단계 5

적분 $e^{\int - \frac{3}{y} d y}$ 을 구합니다.

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단계 5.1

$- 1$ 은 $y$ 에 대해 상수이므로, $- 1$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$μ (x, y) = e^{- \int \frac{3}{y} d y}$

단계 5.2

$3$ 은 $y$ 에 대해 상수이므로, $3$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$μ (x, y) = e^{- (3 \int \frac{1}{y} d y)}$

단계 5.3

$3$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$μ (x, y) = e^{- 3 \int \frac{1}{y} d y}$

단계 5.4

$\frac{1}{y}$ 를 $y$ 에 대해 적분하면 $\ln (| y |)$ 입니다.

$μ (x, y) = e^{- 3 (\ln (| y |) + C)}$

단계 5.5

간단히 합니다.

$μ (x, y) = e^{- 3 \ln (| y |)} + C$

단계 5.6

각 항을 간단히 합니다.

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단계 5.6.1

$- 3$ 를 로그 안으로 옮겨 $- 3 \ln (| y |)$ 을 간단히 합니다.

$μ (x, y) = e^{\ln ({| y |}^{- 3})} + C$

단계 5.6.2

지수와 로그는 역함수 관계입니다.

$μ (x, y) = {| y |}^{- 3} + C$

단계 5.6.3

음의 지수 법칙 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 을 활용하여 식을 다시 씁니다.

$μ (x, y) = \frac{1}{{| y |}^{3}} + C$

단계 6

$(y^{4} + 2 y) d x + (x y^{3} + 2 y^{4} - 4 x) d y = 0$ 의 양변에 적분 인수 $\frac{1}{y^{3}}$ 를 곱합니다.

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단계 6.1

$y^{4} + 2 y$ 에 $\frac{1}{y^{3}}$ 을 곱합니다.

$(y^{4} + 2 y) \frac{1}{y^{3}} d x + (x y^{3} + 2 y^{4} - 4 x) d y = 0$

단계 6.2

$y^{4} + 2 y$ 에 $\frac{1}{y^{3}}$ 을 곱합니다.

$\frac{y^{4} + 2 y}{y^{3}} d x + (x y^{3} + 2 y^{4} - 4 x) d y = 0$

단계 6.3

$y^{4} + 2 y$ 에서 $y$ 를 인수분해합니다.

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단계 6.3.1

$y^{4}$ 에서 $y$ 를 인수분해합니다.

$\frac{y \cdot y^{3} + 2 y}{y^{3}} d x + (x y^{3} + 2 y^{4} - 4 x) d y = 0$

단계 6.3.2

$2 y$ 에서 $y$ 를 인수분해합니다.

$\frac{y \cdot y^{3} + y \cdot 2}{y^{3}} d x + (x y^{3} + 2 y^{4} - 4 x) d y = 0$

단계 6.3.3

$y \cdot y^{3} + y \cdot 2$ 에서 $y$ 를 인수분해합니다.

$\frac{y (y^{3} + 2)}{y^{3}} d x + (x y^{3} + 2 y^{4} - 4 x) d y = 0$

단계 6.4

공약수로 약분합니다.

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단계 6.4.1

$y^{3}$ 에서 $y$ 를 인수분해합니다.

$\frac{y (y^{3} + 2)}{y \cdot y^{2}} d x + (x y^{3} + 2 y^{4} - 4 x) d y = 0$

단계 6.4.2

공약수로 약분합니다.

$\frac{y (y^{3} + 2)}{y \cdot y^{2}} d x + (x y^{3} + 2 y^{4} - 4 x) d y = 0$

단계 6.4.3

수식을 다시 씁니다.

$\frac{y^{3} + 2}{y^{2}} d x + (x y^{3} + 2 y^{4} - 4 x) d y = 0$

단계 6.5

$x y^{3} + 2 y^{4} - 4 x$ 에 $\frac{1}{y^{3}}$ 을 곱합니다.

$\frac{y^{3} + 2}{y^{2}} d x + (x y^{3} + 2 y^{4} - 4 x) \frac{1}{y^{3}} d y = 0$

단계 6.6

$x y^{3} + 2 y^{4} - 4 x$ 에 $\frac{1}{y^{3}}$ 을 곱합니다.

$\frac{y^{3} + 2}{y^{2}} d x + \frac{x y^{3} + 2 y^{4} - 4 x}{y^{3}} d y = 0$

단계 7

집합 $f (x, y)$ 을 $M (x, y)$ 의 적분과 같게 둡니다.

$f (x, y) = \int \frac{y^{3} + 2}{y^{2}} d x$

단계 8

$M (x, y) = \frac{y^{3} + 2}{y^{2}}$ 을 적분하여 $f (x, y)$ 을 구합니다.

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단계 8.1

상수 규칙을 적용합니다.

$f (x, y) = \frac{y^{3} + 2}{y^{2}} x + C$

단계 8.2

답을 간단히 합니다.

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단계 8.2.1

$\frac{y^{3} + 2}{y^{2}}$ 와 $x$ 을 묶습니다.

$f (x, y) = \frac{(y^{3} + 2) x}{y^{2}} + C$

단계 8.2.2

$\frac{(y^{3} + 2) x}{y^{2}} + C$ 을 $\frac{y^{3} x + 2 x}{y^{2}} + C$ 로 바꿔 씁니다.

$f (x, y) = \frac{y^{3} x + 2 x}{y^{2}} + C$

단계 9

$g (y)$ 의 적분에 적분 상수가 있으므로 $C$ 에 $g (y)$ 을 대입할 수 있습니다.

$f (x, y) = \frac{y^{3} x + 2 x}{y^{2}} + g (y)$

단계 10

$\frac{\partial f}{\partial y} = N (x, y)$ 으로 둡니다.

$\frac{\partial f}{\partial y} = \frac{x y^{3} + 2 y^{4} - 4 x}{y^{3}}$

단계 11

$\frac{\partial f}{\partial y}$ 를 구합니다.

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단계 11.1

$y$ 에 대해 $f$ 을 미분합니다.

$\frac{d}{d y} [\frac{y^{3} x + 2 x}{y^{2}} + g (y)] = \frac{x y^{3} + 2 y^{4} - 4 x}{y^{3}}$

단계 11.2

합의 법칙에 의해 $\frac{y^{3} x + 2 x}{y^{2}} + g (y)$ 를 $y$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d y} [\frac{y^{3} x + 2 x}{y^{2}}] + \frac{d}{d y} [g (y)]$ 가 됩니다.

$\frac{d}{d y} [\frac{y^{3} x + 2 x}{y^{2}}] + \frac{d}{d y} [g (y)] = \frac{x y^{3} + 2 y^{4} - 4 x}{y^{3}}$

단계 11.3

$\frac{d}{d y} [\frac{y^{3} x + 2 x}{y^{2}}]$ 의 값을 구합니다.

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단계 11.3.1

$f (y) = y^{3} x + 2 x$ , $g (y) = y^{2}$ 일 때 $\frac{d}{d y} [\frac{f (y)}{g (y)}]$ 는 $\frac{g (y) \frac{d}{d y} [f (y)] - f (y) \frac{d}{d y} [g (y)]}{{g (y)}^{2}}$ 이라는 몫의 미분 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{y^{2} \frac{d}{d y} [y^{3} x + 2 x] - (y^{3} x + 2 x) \frac{d}{d y} [y^{2}]}{{(y^{2})}^{2}} + \frac{d}{d y} [g (y)] = \frac{x y^{3} + 2 y^{4} - 4 x}{y^{3}}$

단계 11.3.2

합의 법칙에 의해 $y^{3} x + 2 x$ 를 $y$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d y} [y^{3} x] + \frac{d}{d y} [2 x]$ 가 됩니다.

$\frac{y^{2} (\frac{d}{d y} [y^{3} x] + \frac{d}{d y} [2 x]) - (y^{3} x + 2 x) \frac{d}{d y} [y^{2}]}{{(y^{2})}^{2}} + \frac{d}{d y} [g (y)] = \frac{x y^{3} + 2 y^{4} - 4 x}{y^{3}}$

단계 11.3.3

$x$ 은 $y$ 에 대해 일정하므로 $y$ 에 대한 $y^{3} x$ 의 미분은 $x \frac{d}{d y} [y^{3}]$ 입니다.

$\frac{y^{2} (x \frac{d}{d y} [y^{3}] + \frac{d}{d y} [2 x]) - (y^{3} x + 2 x) \frac{d}{d y} [y^{2}]}{{(y^{2})}^{2}} + \frac{d}{d y} [g (y)] = \frac{x y^{3} + 2 y^{4} - 4 x}{y^{3}}$

단계 11.3.4

$n = 3$ 일 때 $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ 는 $n y^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{y^{2} (x (3 y^{2}) + \frac{d}{d y} [2 x]) - (y^{3} x + 2 x) \frac{d}{d y} [y^{2}]}{{(y^{2})}^{2}} + \frac{d}{d y} [g (y)] = \frac{x y^{3} + 2 y^{4} - 4 x}{y^{3}}$

단계 11.3.5

$2 x$ 이 $y$ 에 대해 일정하므로, $2 x$ 를 $y$ 에 대해 미분하면 $2 x$ 입니다.

$\frac{y^{2} (x (3 y^{2}) + 0) - (y^{3} x + 2 x) \frac{d}{d y} [y^{2}]}{{(y^{2})}^{2}} + \frac{d}{d y} [g (y)] = \frac{x y^{3} + 2 y^{4} - 4 x}{y^{3}}$

단계 11.3.6

$n = 2$ 일 때 $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ 는 $n y^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{y^{2} (x (3 y^{2}) + 0) - (y^{3} x + 2 x) (2 y)}{{(y^{2})}^{2}} + \frac{d}{d y} [g (y)] = \frac{x y^{3} + 2 y^{4} - 4 x}{y^{3}}$

단계 11.3.7

$x$ 의 왼쪽으로 $3$ 이동하기

$\frac{y^{2} (3 \cdot x y^{2} + 0) - (y^{3} x + 2 x) (2 y)}{{(y^{2})}^{2}} + \frac{d}{d y} [g (y)] = \frac{x y^{3} + 2 y^{4} - 4 x}{y^{3}}$

단계 11.3.8

$3 x y^{2}$ 를 $0$ 에 더합니다.

$\frac{y^{2} (3 x y^{2}) - (y^{3} x + 2 x) (2 y)}{{(y^{2})}^{2}} + \frac{d}{d y} [g (y)] = \frac{x y^{3} + 2 y^{4} - 4 x}{y^{3}}$

단계 11.3.9

지수를 더하여 $y^{2}$ 에 $y^{2}$ 을 곱합니다.

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단계 11.3.9.1

$y^{2}$ 를 옮깁니다.

$\frac{y^{2} y^{2} (3 x) - (y^{3} x + 2 x) (2 y)}{{(y^{2})}^{2}} + \frac{d}{d y} [g (y)] = \frac{x y^{3} + 2 y^{4} - 4 x}{y^{3}}$

단계 11.3.9.2

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$\frac{y^{2 + 2} (3 x) - (y^{3} x + 2 x) (2 y)}{{(y^{2})}^{2}} + \frac{d}{d y} [g (y)] = \frac{x y^{3} + 2 y^{4} - 4 x}{y^{3}}$

단계 11.3.9.3

$2$ 를 $2$ 에 더합니다.

$\frac{y^{4} (3 x) - (y^{3} x + 2 x) (2 y)}{{(y^{2})}^{2}} + \frac{d}{d y} [g (y)] = \frac{x y^{3} + 2 y^{4} - 4 x}{y^{3}}$

단계 11.3.10

$y^{4}$ 의 왼쪽으로 $3$ 이동하기

$\frac{3 \cdot y^{4} x - (y^{3} x + 2 x) (2 y)}{{(y^{2})}^{2}} + \frac{d}{d y} [g (y)] = \frac{x y^{3} + 2 y^{4} - 4 x}{y^{3}}$

단계 11.3.11

$2$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$\frac{3 y^{4} x - 2 (y^{3} x + 2 x) y}{{(y^{2})}^{2}} + \frac{d}{d y} [g (y)] = \frac{x y^{3} + 2 y^{4} - 4 x}{y^{3}}$

단계 11.3.12

${(y^{2})}^{2}$ 의 지수를 곱합니다.

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단계 11.3.12.1

멱의 법칙을 적용하여 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 과 같이 지수를 곱합니다.

$\frac{3 y^{4} x - 2 (y^{3} x + 2 x) y}{y^{2 \cdot 2}} + \frac{d}{d y} [g (y)] = \frac{x y^{3} + 2 y^{4} - 4 x}{y^{3}}$

단계 11.3.12.2

$2$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$\frac{3 y^{4} x - 2 (y^{3} x + 2 x) y}{y^{4}} + \frac{d}{d y} [g (y)] = \frac{x y^{3} + 2 y^{4} - 4 x}{y^{3}}$

단계 11.3.13

$3 y^{4} x - 2 (y^{3} x + 2 x) y$ 에서 $y$ 를 인수분해합니다.

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단계 11.3.13.1

$3 y^{4} x$ 에서 $y$ 를 인수분해합니다.

$\frac{y (3 y^{3} x) - 2 (y^{3} x + 2 x) y}{y^{4}} + \frac{d}{d y} [g (y)] = \frac{x y^{3} + 2 y^{4} - 4 x}{y^{3}}$

단계 11.3.13.2

$- 2 (y^{3} x + 2 x) y$ 에서 $y$ 를 인수분해합니다.

$\frac{y (3 y^{3} x) + y (- 2 (y^{3} x + 2 x))}{y^{4}} + \frac{d}{d y} [g (y)] = \frac{x y^{3} + 2 y^{4} - 4 x}{y^{3}}$

단계 11.3.13.3

$y (3 y^{3} x) + y (- 2 (y^{3} x + 2 x))$ 에서 $y$ 를 인수분해합니다.

$\frac{y (3 y^{3} x - 2 (y^{3} x + 2 x))}{y^{4}} + \frac{d}{d y} [g (y)] = \frac{x y^{3} + 2 y^{4} - 4 x}{y^{3}}$

단계 11.3.14

공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 11.3.14.1

$y^{4}$ 에서 $y$ 를 인수분해합니다.

$\frac{y (3 y^{3} x - 2 (y^{3} x + 2 x))}{y \cdot y^{3}} + \frac{d}{d y} [g (y)] = \frac{x y^{3} + 2 y^{4} - 4 x}{y^{3}}$

단계 11.3.14.2

공약수로 약분합니다.

$\frac{y (3 y^{3} x - 2 (y^{3} x + 2 x))}{y \cdot y^{3}} + \frac{d}{d y} [g (y)] = \frac{x y^{3} + 2 y^{4} - 4 x}{y^{3}}$

단계 11.3.14.3

수식을 다시 씁니다.

$\frac{3 y^{3} x - 2 (y^{3} x + 2 x)}{y^{3}} + \frac{d}{d y} [g (y)] = \frac{x y^{3} + 2 y^{4} - 4 x}{y^{3}}$

단계 11.4

$g (y)$ 의 도함수가 $\frac{d g}{d y}$ 인 함수 규칙을 사용하여 미분합니다.

$\frac{3 y^{3} x - 2 (y^{3} x + 2 x)}{y^{3}} + \frac{d g}{d y} = \frac{x y^{3} + 2 y^{4} - 4 x}{y^{3}}$

단계 11.5

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 11.5.1

분배 법칙을 적용합니다.

$\frac{3 y^{3} x - 2 (y^{3} x) - 2 (2 x)}{y^{3}} + \frac{d g}{d y} = \frac{x y^{3} + 2 y^{4} - 4 x}{y^{3}}$

단계 11.5.2

항을 묶습니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 11.5.2.1

$2$ 에 $- 2$ 을 곱합니다.

$\frac{3 y^{3} x - 2 y^{3} x - 4 x}{y^{3}} + \frac{d g}{d y} = \frac{x y^{3} + 2 y^{4} - 4 x}{y^{3}}$

단계 11.5.2.2

$3 y^{3} x$ 에서 $2 y^{3} x$ 을 뺍니다.

$\frac{1 y^{3} x - 4 x}{y^{3}} + \frac{d g}{d y} = \frac{x y^{3} + 2 y^{4} - 4 x}{y^{3}}$

단계 11.5.2.3

$y^{3}$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$\frac{y^{3} x - 4 x}{y^{3}} + \frac{d g}{d y} = \frac{x y^{3} + 2 y^{4} - 4 x}{y^{3}}$

단계 11.5.2.4

공통 분모를 가지는 분수로 $\frac{d g}{d y}$ 을 표현하기 위해 $\frac{y^{3}}{y^{3}}$ 을 곱합니다.

$\frac{y^{3} x - 4 x}{y^{3}} + \frac{\frac{d g}{d y} y^{3}}{y^{3}} = \frac{x y^{3} + 2 y^{4} - 4 x}{y^{3}}$

단계 11.5.2.5

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$\frac{y^{3} x - 4 x + \frac{d g}{d y} y^{3}}{y^{3}} = \frac{x y^{3} + 2 y^{4} - 4 x}{y^{3}}$

단계 11.5.3

항을 다시 정렬합니다.

$\frac{y^{3} x + y^{3} \frac{d g}{d y} - 4 x}{y^{3}} = \frac{x y^{3} + 2 y^{4} - 4 x}{y^{3}}$

단계 12

$\frac{d g}{d y}$ 에 대해 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 12.1

$\frac{d g}{d y}$ 에 대해 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 12.1.1

방정식의 각 변에 있는 식이 같은 분모를 가지므로 분자가 같아야 합니다.

$y^{3} x + y^{3} \frac{d g}{d y} - 4 x = x y^{3} + 2 y^{4} - 4 x$

단계 12.1.2

$\frac{d g}{d y}$ 를 포함하지 않은 모든 항을 방정식의 우변으로 옮깁니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 12.1.2.1

방정식의 양변에서 $y^{3} x$ 를 뺍니다.

$y^{3} \frac{d g}{d y} - 4 x = x y^{3} + 2 y^{4} - 4 x - y^{3} x$

단계 12.1.2.2

방정식의 양변에 $4 x$ 를 더합니다.

$y^{3} \frac{d g}{d y} = x y^{3} + 2 y^{4} - 4 x - y^{3} x + 4 x$

단계 12.1.2.3

$x y^{3} + 2 y^{4} - 4 x - y^{3} x + 4 x$ 의 반대 항을 묶습니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 12.1.2.3.1

인수가 항 $x y^{3}$ 과(와) $- y^{3} x$ (으)로 표현되도록 다시 정렬합니다.

$y^{3} \frac{d g}{d y} = y^{3} x + 2 y^{4} - 4 x - y^{3} x + 4 x$

단계 12.1.2.3.2

$y^{3} x$ 에서 $y^{3} x$ 을 뺍니다.

$y^{3} \frac{d g}{d y} = 2 y^{4} - 4 x + 0 + 4 x$

단계 12.1.2.3.3

$2 y^{4} - 4 x$ 를 $0$ 에 더합니다.

$y^{3} \frac{d g}{d y} = 2 y^{4} - 4 x + 4 x$

단계 12.1.2.3.4

$- 4 x$ 를 $4 x$ 에 더합니다.

$y^{3} \frac{d g}{d y} = 2 y^{4} + 0$

단계 12.1.2.3.5

$2 y^{4}$ 를 $0$ 에 더합니다.

$y^{3} \frac{d g}{d y} = 2 y^{4}$

단계 12.1.3

$y^{3} \frac{d g}{d y} = 2 y^{4}$ 의 각 항을 $y^{3}$ 로 나누고 식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 12.1.3.1

$y^{3} \frac{d g}{d y} = 2 y^{4}$ 의 각 항을 $y^{3}$ 로 나눕니다.

$\frac{y^{3} \frac{d g}{d y}}{y^{3}} = \frac{2 y^{4}}{y^{3}}$

단계 12.1.3.2

좌변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 12.1.3.2.1

$y^{3}$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 12.1.3.2.1.1

공약수로 약분합니다.

$\frac{y^{3} \frac{d g}{d y}}{y^{3}} = \frac{2 y^{4}}{y^{3}}$

단계 12.1.3.2.1.2

$\frac{d g}{d y}$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$\frac{d g}{d y} = \frac{2 y^{4}}{y^{3}}$

단계 12.1.3.3

우변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 12.1.3.3.1

$y^{4}$ 및 $y^{3}$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 12.1.3.3.1.1

$2 y^{4}$ 에서 $y^{3}$ 를 인수분해합니다.

$\frac{d g}{d y} = \frac{y^{3} (2 y)}{y^{3}}$

단계 12.1.3.3.1.2

공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 12.1.3.3.1.2.1

$1$ 을 곱합니다.

$\frac{d g}{d y} = \frac{y^{3} (2 y)}{y^{3} \cdot 1}$

단계 12.1.3.3.1.2.2

공약수로 약분합니다.

$\frac{d g}{d y} = \frac{y^{3} (2 y)}{y^{3} \cdot 1}$

단계 12.1.3.3.1.2.3

수식을 다시 씁니다.

$\frac{d g}{d y} = \frac{2 y}{1}$

단계 12.1.3.3.1.2.4

$2 y$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$\frac{d g}{d y} = 2 y$

단계 13

$2 y$ 의 역도함수를 구하여 $g (y)$ 을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 13.1

$\frac{d g}{d y} = 2 y$ 의 양쪽을 모두 적분합니다.

$\int \frac{d g}{d y} d y = \int 2 y d y$

단계 13.2

$\int \frac{d g}{d y} d y$ 의 값을 구합니다.

$g (y) = \int 2 y d y$

단계 13.3

$2$ 은 $y$ 에 대해 상수이므로, $2$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$g (y) = 2 \int y d y$

단계 13.4

멱의 법칙에 의해 $y$ 를 $y$ 에 대해 적분하면 $\frac{1}{2} y^{2}$ 가 됩니다.

$g (y) = 2 (\frac{1}{2} y^{2} + C)$

단계 13.5

답을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 13.5.1

$2 (\frac{1}{2} y^{2} + C)$ 을 $2 (\frac{1}{2}) y^{2} + C$ 로 바꿔 씁니다.

$g (y) = 2 (\frac{1}{2}) y^{2} + C$

단계 13.5.2

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 13.5.2.1

$2$ 와 $\frac{1}{2}$ 을 묶습니다.

$g (y) = \frac{2}{2} y^{2} + C$

단계 13.5.2.2

$2$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 13.5.2.2.1

공약수로 약분합니다.

$g (y) = \frac{2}{2} y^{2} + C$

단계 13.5.2.2.2

수식을 다시 씁니다.

$g (y) = 1 y^{2} + C$

단계 13.5.2.3

$y^{2}$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$g (y) = y^{2} + C$

단계 14

$f (x, y) = \frac{y^{3} x + 2 x}{y^{2}} + g (y)$ 에서 $g (y)$ 을 대입합니다.

$f (x, y) = \frac{y^{3} x + 2 x}{y^{2}} + y^{2} + C$

단계 15

$f (x, y) = \frac{y^{3} x + 2 x}{y^{2}} + y^{2} + C$ 을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 15.1

$y^{3} x + 2 x$ 에서 $x$ 를 인수분해합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 15.1.1

$y^{3} x$ 에서 $x$ 를 인수분해합니다.

$f (x, y) = \frac{x y^{3} + 2 x}{y^{2}} + y^{2} + C$

단계 15.1.2

$2 x$ 에서 $x$ 를 인수분해합니다.

$f (x, y) = \frac{x y^{3} + x \cdot 2}{y^{2}} + y^{2} + C$

단계 15.1.3

$x y^{3} + x \cdot 2$ 에서 $x$ 를 인수분해합니다.

$f (x, y) = \frac{x (y^{3} + 2)}{y^{2}} + y^{2} + C$

단계 15.2

공통 분모를 가지는 분수로 $y^{2}$ 을 표현하기 위해 $\frac{y^{2}}{y^{2}}$ 을 곱합니다.

$f (x, y) = \frac{x (y^{3} + 2)}{y^{2}} + \frac{y^{2} y^{2}}{y^{2}} + C$

단계 15.3

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$f (x, y) = \frac{x (y^{3} + 2) + y^{2} y^{2}}{y^{2}} + C$

단계 15.4

분자를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 15.4.1

분배 법칙을 적용합니다.

$f (x, y) = \frac{x y^{3} + x \cdot 2 + y^{2} y^{2}}{y^{2}} + C$

단계 15.4.2

$x$ 의 왼쪽으로 $2$ 이동하기

$f (x, y) = \frac{x y^{3} + 2 \cdot x + y^{2} y^{2}}{y^{2}} + C$

단계 15.4.3

지수를 더하여 $y^{2}$ 에 $y^{2}$ 을 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 15.4.3.1

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$f (x, y) = \frac{x y^{3} + 2 x + y^{2 + 2}}{y^{2}} + C$

단계 15.4.3.2

$2$ 를 $2$ 에 더합니다.

$f (x, y) = \frac{x y^{3} + 2 x + y^{4}}{y^{2}} + C$