미적분 예제

$f (2 π) = 1$ 일 때 $\frac{d y}{d x} = y \sin (x)$ 입니다

단계 1

변수를 분리합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1

양변에 $\frac{1}{y}$ 을 곱합니다.

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y} (y \sin (x))$

단계 1.2

$y$ 의 공약수로 약분합니다.

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단계 1.2.1

$y \sin (x)$ 에서 $y$ 를 인수분해합니다.

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y} (y (\sin (x)))$

단계 1.2.2

공약수로 약분합니다.

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y} (y \sin (x))$

단계 1.2.3

수식을 다시 씁니다.

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = \sin (x)$

단계 1.3

식을 다시 씁니다.

$\frac{1}{y} d y = \sin (x) d x$

단계 2

양변을 적분합니다.

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단계 2.1

각 변의 적분을 구합니다.

$\int \frac{1}{y} d y = \int \sin (x) d x$

단계 2.2

$\frac{1}{y}$ 를 $y$ 에 대해 적분하면 $\ln (| y |)$ 입니다.

$\ln (| y |) + C_{1} = \int \sin (x) d x$

단계 2.3

$\sin (x)$ 를 $x$ 에 대해 적분하면 $- \cos (x)$ 입니다.

$\ln (| y |) + C_{1} = - \cos (x) + C_{2}$

단계 2.4

우변에 적분 상수를 $C$ 로 묶습니다.

$\ln (| y |) = - \cos (x) + C$

단계 3

$y$ 에 대해 풉니다.

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단계 3.1

$y$ 을 구하기 위해 로그의 성질을 이용하여 방정식을 다시 씁니다.

$e^{\ln (| y |)} = e^{- \cos (x) + C}$

단계 3.2

로그의 정의를 이용하여 $\ln (| y |) = - \cos (x) + C$ 를 지수 형태로 다시 씁니다. 만약 $x$ 와 $b$ 가 양의 실수와 $b \neq 1$ 이면, $\log_{b} (x) = y$ 는 $b^{y} = x$ 와 같습니다.

$e^{- \cos (x) + C} = | y |$

단계 3.3

$y$ 에 대해 풉니다.

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단계 3.3.1

$| y | = e^{- \cos (x) + C}$ 로 방정식을 다시 씁니다.

$| y | = e^{- \cos (x) + C}$

단계 3.3.2

절대값의 항을 제거합니다. $| x | = \pm x$ 이므로 방정식 우변에 $\pm$ 이 생깁니다.

$y = \pm e^{- \cos (x) + C}$

단계 4

상수 항을 하나로 묶습니다.

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단계 4.1

$e^{- \cos (x) + C}$ 을 $e^{- \cos (x)} e^{C}$ 로 바꿔 씁니다.

$y = \pm e^{- \cos (x)} e^{C}$

단계 4.2

$e^{- \cos (x)}$ 와 $e^{C}$ 을 다시 정렬합니다.

$y = \pm e^{C} e^{- \cos (x)}$

단계 4.3

양 또는 음의 상수를 결합합니다.

$y = C e^{- \cos (x)}$

단계 5

초기 조건을 활용하여 $y = C e^{- \cos (x)}$ 에서 $x$ 에 $2 π$ 을, $y$ 에 $1$ 를 대입하여 $C$ 값을 구합니다.

$1 = C e^{- \cos (2 π)}$

단계 6

$C$ 에 대해 풉니다.

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단계 6.1

$C e^{- \cos (2 π)} = 1$ 로 방정식을 다시 씁니다.

$C e^{- \cos (2 π)} = 1$

단계 6.2

간단히 합니다.

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단계 6.2.1

각이 $0$ 보다 크거나 같고 $2 π$ 보다 작을 때까지 한 바퀴인 $2 π$ 를 여러 번 뺍니다.

$C e^{- \cos (0)} = 1$

단계 6.2.2

$\cos (0)$ 의 정확한 값은 $1$ 입니다.

$C e^{- 1 \cdot 1} = 1$

단계 6.2.3

$- 1$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$C e^{- 1} = 1$

단계 6.3

$C e^{- 1} = 1$ 의 각 항을 $e^{- 1}$ 로 나누고 식을 간단히 합니다.

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단계 6.3.1

$C e^{- 1} = 1$ 의 각 항을 $e^{- 1}$ 로 나눕니다.

$\frac{C e^{- 1}}{e^{- 1}} = \frac{1}{e^{- 1}}$

단계 6.3.2

좌변을 간단히 합니다.

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단계 6.3.2.1

$e^{- 1}$ 의 공약수로 약분합니다.

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단계 6.3.2.1.1

공약수로 약분합니다.

$\frac{C e^{- 1}}{e^{- 1}} = \frac{1}{e^{- 1}}$

단계 6.3.2.1.2

$C$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$C = \frac{1}{e^{- 1}}$

단계 6.3.3

우변을 간단히 합니다.

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단계 6.3.3.1

음의 지수 법칙 $\frac{1}{b^{- n}} = b^{n}$ 을 활용하여 $e^{- 1}$ 를 분자로 이동합니다.

$C = e$

단계 7

$y = C e^{- \cos (x)}$ 의 $C$ 에 $e$ 를 대입하여 간단히 합니다.

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단계 7.1

$C$ 에 $e$ 를 대입합니다.

$y = e e^{- \cos (x)}$

단계 7.2

$e$ 에 $e^{- \cos (x)}$ 을 곱합니다.

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단계 7.2.1

$e$ 를 $1$ 승 합니다.

$y = e^{1} e^{- \cos (x)}$

단계 7.2.2

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$y = e^{1 - \cos (x)}$