미적분 예제

$\frac{d f}{d x} = - 5 x^{2} - 5 e^{x}$ , $f (0) = - 16$

단계 1

식을 다시 씁니다.

$d f = (- 5 x^{2} - 5 e^{x}) d x$

단계 2

양변을 적분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1

각 변의 적분을 구합니다.

$\int d f = \int - 5 x^{2} - 5 e^{x} d x$

단계 2.2

상수 규칙을 적용합니다.

$f + C_{1} = \int - 5 x^{2} - 5 e^{x} d x$

단계 2.3

우변을 적분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.3.1

하나의 적분을 여러 개의 적분으로 나눕니다.

$f + C_{1} = \int - 5 x^{2} d x + \int - 5 e^{x} d x$

단계 2.3.2

$- 5$ 은 $x$ 에 대해 상수이므로, $- 5$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$f + C_{1} = - 5 \int x^{2} d x + \int - 5 e^{x} d x$

단계 2.3.3

멱의 법칙에 의해 $x^{2}$ 를 $x$ 에 대해 적분하면 $\frac{1}{3} x^{3}$ 가 됩니다.

$f + C_{1} = - 5 (\frac{1}{3} x^{3} + C_{2}) + \int - 5 e^{x} d x$

단계 2.3.4

$- 5$ 은 $x$ 에 대해 상수이므로, $- 5$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$f + C_{1} = - 5 (\frac{1}{3} x^{3} + C_{2}) - 5 \int e^{x} d x$

단계 2.3.5

$e^{x}$ 를 $x$ 에 대해 적분하면 $e^{x}$ 입니다.

$f + C_{1} = - 5 (\frac{1}{3} x^{3} + C_{2}) - 5 (e^{x} + C_{3})$

단계 2.3.6

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.3.6.1

간단히 합니다.

$f + C_{1} = - 5 (\frac{1}{3}) x^{3} - 5 e^{x} + C_{4}$

단계 2.3.6.2

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.3.6.2.1

$- 5$ 와 $\frac{1}{3}$ 을 묶습니다.

$f + C_{1} = \frac{- 5}{3} x^{3} - 5 e^{x} + C_{4}$

단계 2.3.6.2.2

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$f + C_{1} = - \frac{5}{3} x^{3} - 5 e^{x} + C_{4}$

단계 2.4

우변에 적분 상수를 $K$ 로 묶습니다.

$f = - \frac{5}{3} x^{3} - 5 e^{x} + K$

단계 3

초기 조건을 활용하여 $f = - \frac{5}{3} x^{3} - 5 e^{x} + K$ 에서 $x$ 에 $0$ 을, $f$ 에 $- 16$ 를 대입하여 $K$ 값을 구합니다.

$- 16 = - \frac{5}{3} \cdot 0^{3} - 5 e^{0} + K$

단계 4

$K$ 에 대해 풉니다.

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단계 4.1

$- \frac{5}{3} \cdot 0^{3} - 5 e^{0} + K = - 16$ 로 방정식을 다시 씁니다.

$- \frac{5}{3} \cdot 0^{3} - 5 e^{0} + K = - 16$

단계 4.2

$- \frac{5}{3} \cdot 0^{3} - 5 e^{0} + K$ 을 간단히 합니다.

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단계 4.2.1

각 항을 간단히 합니다.

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단계 4.2.1.1

$0$ 을 여러 번 거듭제곱해도 $0$ 이 나옵니다.

$- \frac{5}{3} \cdot 0 - 5 e^{0} + K = - 16$

단계 4.2.1.2

$- \frac{5}{3} \cdot 0$ 을 곱합니다.

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단계 4.2.1.2.1

$0$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$0 (\frac{5}{3}) - 5 e^{0} + K = - 16$

단계 4.2.1.2.2

$0$ 에 $\frac{5}{3}$ 을 곱합니다.

$0 - 5 e^{0} + K = - 16$

단계 4.2.1.3

모든 수의 $0$ 승은 $1$ 입니다.

$0 - 5 \cdot 1 + K = - 16$

단계 4.2.1.4

$- 5$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$0 - 5 + K = - 16$

단계 4.2.2

$0$ 에서 $5$ 을 뺍니다.

$- 5 + K = - 16$

단계 4.3

$K$ 를 포함하지 않은 모든 항을 방정식의 우변으로 옮깁니다.

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단계 4.3.1

방정식의 양변에 $5$ 를 더합니다.

$K = - 16 + 5$

단계 4.3.2

$- 16$ 를 $5$ 에 더합니다.

$K = - 11$

단계 5

$f = - \frac{5}{3} x^{3} - 5 e^{x} + K$ 의 $K$ 에 $- 11$ 를 대입하여 간단히 합니다.

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단계 5.1

$K$ 에 $- 11$ 를 대입합니다.

$f = - \frac{5}{3} x^{3} - 5 e^{x} - 11$

단계 5.2

각 항을 간단히 합니다.

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단계 5.2.1

$x^{3}$ 와 $\frac{5}{3}$ 을 묶습니다.

$f = - \frac{x^{3} \cdot 5}{3} - 5 e^{x} - 11$

단계 5.2.2

$x^{3}$ 의 왼쪽으로 $5$ 이동하기

$f = - \frac{5 x^{3}}{3} - 5 e^{x} - 11$