미적분 예제

$\frac{d^{2} y}{d x^{2}} - 4 y = 4 e^{- x}$

단계 1

모든 해는 $y = e^{r x}$ 형식인 것으로 가정합니다.

단계 2

$\frac{d^{2} y}{d x^{2}} - 4 y = 4 e^{- x}$ 에 대한 특성 방정식을 구합니다.

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단계 2.1

1차 도함수를 구합니다.

$\frac{d y}{d x} = r e^{r x}$

단계 2.2

2차 도함수를 구합니다

$\frac{d^{2} y}{d x^{2}} = r^{2} e^{r x}$

단계 2.3

미분 방정식에 대입합니다.

$r^{2} e^{r x} - 4 e^{r x} = 4 e^{- x}$

단계 2.4

$e^{r x}$ 로 인수분해합니다.

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단계 2.4.1

$r^{2} e^{r x}$ 에서 $e^{r x}$ 를 인수분해합니다.

$e^{r x} r^{2} - 4 e^{r x} = 4 e^{- x}$

단계 2.4.2

$- 4 e^{r x}$ 에서 $e^{r x}$ 를 인수분해합니다.

$e^{r x} r^{2} + e^{r x} \cdot - 4 = 4 e^{- x}$

단계 2.4.3

$e^{r x} r^{2} + e^{r x} \cdot - 4$ 에서 $e^{r x}$ 를 인수분해합니다.

$e^{r x} (r^{2} - 4) = 4 e^{- x}$

단계 2.5

지수는 절대 0이 될 수 없으므로 양쪽을 $e^{r x}$ 으로 나눕니다.

$r^{2} - 4 = 4 e^{- x}$

단계 3

$r$ 에 대해 풉니다.

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단계 3.1

방정식의 양변에 $4$ 를 더합니다.

$r^{2} = 4 e^{- x} + 4$

단계 3.2

좌변의 지수를 소거하기 위하여 방정식의 양변에 지정된 제곱근을 취합니다.

$r = \pm \sqrt{4 e^{- x} + 4}$

단계 3.3

$\pm \sqrt{4 e^{- x} + 4}$ 을 간단히 합니다.

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단계 3.3.1

$4 e^{- x} + 4$ 에서 $4$ 를 인수분해합니다.

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단계 3.3.1.1

$4 e^{- x}$ 에서 $4$ 를 인수분해합니다.

$r = \pm \sqrt{4 (e^{- x}) + 4}$

단계 3.3.1.2

$4$ 에서 $4$ 를 인수분해합니다.

$r = \pm \sqrt{4 (e^{- x}) + 4 (1)}$

단계 3.3.1.3

$4 (e^{- x}) + 4 (1)$ 에서 $4$ 를 인수분해합니다.

$r = \pm \sqrt{4 (e^{- x} + 1)}$

단계 3.3.2

$4 (e^{- x} + 1)$ 을 $2^{2} (e^{- x} + 1^{2})$ 로 바꿔 씁니다.

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단계 3.3.2.1

$4$ 을 $2^{2}$ 로 바꿔 씁니다.

$r = \pm \sqrt{2^{2} (e^{- x} + 1)}$

단계 3.3.2.2

$1$ 을 $1^{2}$ 로 바꿔 씁니다.

$r = \pm \sqrt{2^{2} (e^{- x} + 1^{2})}$

단계 3.3.3

근호 안의 항을 밖으로 빼냅니다.

$r = \pm 2 \sqrt{e^{- x} + 1^{2}}$

단계 3.3.4

1의 모든 거듭제곱은 1입니다.

$r = \pm 2 \sqrt{e^{- x} + 1}$

단계 3.4

해의 양수와 음수 부분 모두 최종 해가 됩니다.

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단계 3.4.1

먼저, $\pm$ 의 양의 값을 이용하여 첫 번째 해를 구합니다.

$r = 2 \sqrt{e^{- x} + 1}$

단계 3.4.2

그 다음 $\pm$ 의 마이너스 값을 사용하여 두 번째 해를 구합니다.

$r = - 2 \sqrt{e^{- x} + 1}$

단계 3.4.3

해의 양수와 음수 부분 모두 최종 해가 됩니다.

$r = 2 \sqrt{e^{- x} + 1}$

$r = - 2 \sqrt{e^{- x} + 1}$

$r = 2 \sqrt{e^{- x} + 1}$

$r = - 2 \sqrt{e^{- x} + 1}$

$r = 2 \sqrt{e^{- x} + 1}$

$r = - 2 \sqrt{e^{- x} + 1}$

단계 4

$r$ 의 구한 값 두 개를 사용하여 두 개의 해를 구성할 수 있습니다.

$y_{1} = e^{2 \sqrt{e^{- x} + 1} x}$

$y_{2} = e^{- 2 \sqrt{e^{- x} + 1} x}$

단계 5

중첩 원리에 의해 일반해는 2계 동차 선형 미분 방정식에 대한 두 해의 선형 결합입니다.

$y = c_{1} e^{2 \sqrt{e^{- x} + 1} x} + c_{2} e^{- 2 \sqrt{e^{- x} + 1} x}$