미적분 예제

$\frac{d y}{d x} = 5 x^{2} + \frac{4}{x}$ , $y (0) = 1$

단계 1

식을 다시 씁니다.

$d y = (5 x^{2} + \frac{4}{x}) d x$

단계 2

양변을 적분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1

각 변의 적분을 구합니다.

$\int d y = \int 5 x^{2} + \frac{4}{x} d x$

단계 2.2

상수 규칙을 적용합니다.

$y + C_{1} = \int 5 x^{2} + \frac{4}{x} d x$

단계 2.3

우변을 적분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.3.1

하나의 적분을 여러 개의 적분으로 나눕니다.

$y + C_{1} = \int 5 x^{2} d x + \int \frac{4}{x} d x$

단계 2.3.2

$5$ 은 $x$ 에 대해 상수이므로, $5$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$y + C_{1} = 5 \int x^{2} d x + \int \frac{4}{x} d x$

단계 2.3.3

멱의 법칙에 의해 $x^{2}$ 를 $x$ 에 대해 적분하면 $\frac{1}{3} x^{3}$ 가 됩니다.

$y + C_{1} = 5 (\frac{1}{3} x^{3} + C_{2}) + \int \frac{4}{x} d x$

단계 2.3.4

$4$ 은 $x$ 에 대해 상수이므로, $4$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$y + C_{1} = 5 (\frac{1}{3} x^{3} + C_{2}) + 4 \int \frac{1}{x} d x$

단계 2.3.5

$\frac{1}{x}$ 를 $x$ 에 대해 적분하면 $\ln (| x |)$ 입니다.

$y + C_{1} = 5 (\frac{1}{3} x^{3} + C_{2}) + 4 (\ln (| x |) + C_{3})$

단계 2.3.6

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.3.6.1

간단히 합니다.

$y + C_{1} = 5 (\frac{1}{3}) x^{3} + 4 \ln (| x |) + C_{4}$

단계 2.3.6.2

$5$ 와 $\frac{1}{3}$ 을 묶습니다.

$y + C_{1} = \frac{5}{3} x^{3} + 4 \ln (| x |) + C_{4}$

단계 2.4

우변에 적분 상수를 $C$ 로 묶습니다.

$y = \frac{5}{3} x^{3} + 4 \ln (| x |) + C$

단계 3

초기 조건을 활용하여 $y = \frac{5}{3} x^{3} + 4 \ln (| x |) + C$ 에서 $x$ 에 $0$ 을, $y$ 에 $1$ 를 대입하여 $C$ 값을 구합니다.

$1 = \frac{5}{3} \cdot 0^{3} + 4 \ln (| 0 |) + C$

단계 4

$C$ 에 대해 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.1

$\frac{5}{3} \cdot 0^{3} + 4 \ln (| 0 |) + C = 1$ 로 방정식을 다시 씁니다.

$\frac{5}{3} \cdot 0^{3} + 4 \ln (| 0 |) + C = 1$

단계 4.2

좌변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.2.1

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.2.1.1

$0$ 을 여러 번 거듭제곱해도 $0$ 이 나옵니다.

$\frac{5}{3} \cdot 0 + 4 \ln (| 0 |) + C = 1$

단계 4.2.1.2

$\frac{5}{3}$ 에 $0$ 을 곱합니다.

$0 + 4 \ln (| 0 |) + C = 1$

단계 4.2.1.3

절댓값은 숫자와 0 사이의 거리를 말합니다. $0$ 과 $0$ 사이의 거리는 $0$ 입니다.

$0 + 4 \ln (0) + C = 1$

단계 4.2.2

방정식이 정의되지 않으므로 풀 수 없습니다.

$정의되지 않음$