미적분 예제

$(x y + y^{2}) d y = y^{2} d x$

단계 1

완전미분 방정식 해법에 맞도록 미분 방정식을 다시 작성합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1

방정식의 양변에서 $y^{2} d x$ 를 뺍니다.

$(x y + y^{2}) d y - y^{2} d x = 0$

단계 1.2

다시 씁니다.

$- y^{2} d x + (x y + y^{2}) d y = 0$

단계 2

$M (x, y) = - y^{2}$ 인 $\frac{\partial M}{\partial y}$ 을 구합니다.

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단계 2.1

$y$ 에 대해 $M$ 을 미분합니다.

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [- y^{2}]$

단계 2.2

$- 1$ 은 $y$ 에 대해 일정하므로 $y$ 에 대한 $- y^{2}$ 의 미분은 $- \frac{d}{d y} [y^{2}]$ 입니다.

$\frac{\partial M}{\partial y} = - \frac{d}{d y} [y^{2}]$

단계 2.3

$n = 2$ 일 때 $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ 는 $n y^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{\partial M}{\partial y} = - (2 y)$

단계 2.4

$2$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$\frac{\partial M}{\partial y} = - 2 y$

단계 3

$N (x, y) = x y + y^{2}$ 인 $\frac{\partial N}{\partial x}$ 을 구합니다.

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단계 3.1

$x$ 에 대해 $N$ 을 미분합니다.

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [x y + y^{2}]$

단계 3.2

합의 법칙에 의해 $x y + y^{2}$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [x y] + \frac{d}{d x} [y^{2}]$ 가 됩니다.

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [x y] + \frac{d}{d x} [y^{2}]$

단계 3.3

$\frac{d}{d x} [x y]$ 의 값을 구합니다.

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단계 3.3.1

$y$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $x y$ 의 미분은 $y \frac{d}{d x} [x]$ 입니다.

$\frac{\partial N}{\partial x} = y \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [y^{2}]$

단계 3.3.2

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{\partial N}{\partial x} = y \cdot 1 + \frac{d}{d x} [y^{2}]$

단계 3.3.3

$y$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$\frac{\partial N}{\partial x} = y + \frac{d}{d x} [y^{2}]$

단계 3.4

상수의 미분 법칙을 이용하여 미분합니다.

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단계 3.4.1

$y^{2}$ 이 $x$ 에 대해 일정하므로, $y^{2}$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $y^{2}$ 입니다.

$\frac{\partial N}{\partial x} = y + 0$

단계 3.4.2

$y$ 를 $0$ 에 더합니다.

$\frac{\partial N}{\partial x} = y$

단계 4

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$ 를 확인합니다.

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단계 4.1

$\frac{\partial M}{\partial y}$ 에 $- 2 y$ 을, $\frac{\partial N}{\partial x}$ 에 $y$ 을 대입합니다.

$- 2 y = y$

단계 4.2

좌측 변이 우측 변과 같지 않으므로 이 방정식은 항등식이 아닙니다.

$- 2 y = y$ 는 항등식이 아닙니다.

단계 5

적분 인수 $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial N}{\partial x} - \frac{\partial M}{\partial y}}{M} d y}$ 을 구합니다.

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단계 5.1

$\frac{\partial N}{\partial x}$ 에 $y$ 를 대입합니다.

$\frac{y - \frac{\partial M}{\partial y}}{M}$

단계 5.2

$\frac{\partial M}{\partial y}$ 에 $- 2 y$ 를 대입합니다.

$\frac{y - (- 2 y)}{M}$

단계 5.3

$M$ 에 $- y^{2}$ 를 대입합니다.

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단계 5.3.1

$M$ 에 $- y^{2}$ 를 대입합니다.

$\frac{y - (- 2 y)}{- y^{2}}$

단계 5.3.2

분자를 간단히 합니다.

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단계 5.3.2.1

$y - (- 2 y)$ 에서 $y$ 를 인수분해합니다.

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단계 5.3.2.1.1

$y$ 를 $1$ 승 합니다.

$\frac{y^{1} - (- 2 y)}{- y^{2}}$

단계 5.3.2.1.2

$y^{1}$ 에서 $y$ 를 인수분해합니다.

$\frac{y \cdot 1 - (- 2 y)}{- y^{2}}$

단계 5.3.2.1.3

$- (- 2 y)$ 에서 $y$ 를 인수분해합니다.

$\frac{y \cdot 1 + y (- (- 2))}{- y^{2}}$

단계 5.3.2.1.4

$y \cdot 1 + y (- (- 2))$ 에서 $y$ 를 인수분해합니다.

$\frac{y (1 - (- 2))}{- y^{2}}$

단계 5.3.2.2

$- 1$ 에 $- 2$ 을 곱합니다.

$\frac{y (1 + 2)}{- y^{2}}$

단계 5.3.2.3

$1$ 를 $2$ 에 더합니다.

$\frac{y \cdot 3}{- y^{2}}$

단계 5.3.3

$y$ 및 $y^{2}$ 의 공약수로 약분합니다.

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단계 5.3.3.1

$y \cdot 3$ 에서 $y$ 를 인수분해합니다.

$\frac{y (3)}{- y^{2}}$

단계 5.3.3.2

공약수로 약분합니다.

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단계 5.3.3.2.1

$- y^{2}$ 에서 $y$ 를 인수분해합니다.

$\frac{y (3)}{y (- y)}$

단계 5.3.3.2.2

공약수로 약분합니다.

$\frac{y \cdot 3}{y (- y)}$

단계 5.3.3.2.3

수식을 다시 씁니다.

$\frac{3}{- y}$

단계 5.3.4

$M$ 에 $- y^{2}$ 를 대입합니다.

$- \frac{3}{y}$

단계 5.4

적분 인수 $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial N}{\partial x} - \frac{\partial M}{\partial y}}{M} d y}$ 을 구합니다.

$μ (x, y) = e^{\int - \frac{3}{y} d y}$

단계 6

적분 $e^{\int - \frac{3}{y} d y}$ 을 구합니다.

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단계 6.1

$- 1$ 은 $y$ 에 대해 상수이므로, $- 1$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$μ (x, y) = e^{- \int \frac{3}{y} d y}$

단계 6.2

$3$ 은 $y$ 에 대해 상수이므로, $3$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$μ (x, y) = e^{- (3 \int \frac{1}{y} d y)}$

단계 6.3

$3$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$μ (x, y) = e^{- 3 \int \frac{1}{y} d y}$

단계 6.4

$\frac{1}{y}$ 를 $y$ 에 대해 적분하면 $\ln (| y |)$ 입니다.

$μ (x, y) = e^{- 3 (\ln (| y |) + C)}$

단계 6.5

간단히 합니다.

$μ (x, y) = e^{- 3 \ln (| y |)} + C$

단계 6.6

각 항을 간단히 합니다.

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단계 6.6.1

$- 3$ 를 로그 안으로 옮겨 $- 3 \ln (| y |)$ 을 간단히 합니다.

$μ (x, y) = e^{\ln ({| y |}^{- 3})} + C$

단계 6.6.2

지수와 로그는 역함수 관계입니다.

$μ (x, y) = {| y |}^{- 3} + C$

단계 6.6.3

음의 지수 법칙 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 을 활용하여 식을 다시 씁니다.

$μ (x, y) = \frac{1}{{| y |}^{3}} + C$

단계 7

$- y^{2} d x + (x y + y^{2}) d y = 0$ 의 양변에 적분 인수 $\frac{1}{y^{3}}$ 를 곱합니다.

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단계 7.1

$- y^{2}$ 에 $\frac{1}{y^{3}}$ 을 곱합니다.

$- y^{2} \frac{1}{y^{3}} d x + (x y + y^{2}) d y = 0$

단계 7.2

$y^{2}$ 의 공약수로 약분합니다.

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단계 7.2.1

$- y^{2}$ 에서 $y^{2}$ 를 인수분해합니다.

$y^{2} \cdot - 1 \frac{1}{y^{3}} d x + (x y + y^{2}) d y = 0$

단계 7.2.2

$y^{3}$ 에서 $y^{2}$ 를 인수분해합니다.

$y^{2} \cdot - 1 \frac{1}{y^{2} y} d x + (x y + y^{2}) d y = 0$

단계 7.2.3

공약수로 약분합니다.

$y^{2} \cdot - 1 \frac{1}{y^{2} y} d x + (x y + y^{2}) d y = 0$

단계 7.2.4

수식을 다시 씁니다.

$- \frac{1}{y} d x + (x y + y^{2}) d y = 0$

단계 7.3

$x y + y^{2}$ 에 $\frac{1}{y^{3}}$ 을 곱합니다.

$- \frac{1}{y} d x + (x y + y^{2}) \frac{1}{y^{3}} d y = 0$

단계 7.4

$x y + y^{2}$ 에 $\frac{1}{y^{3}}$ 을 곱합니다.

$- \frac{1}{y} d x + \frac{x y + y^{2}}{y^{3}} d y = 0$

단계 7.5

$x y + y^{2}$ 에서 $y$ 를 인수분해합니다.

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단계 7.5.1

$x y$ 에서 $y$ 를 인수분해합니다.

$- \frac{1}{y} d x + \frac{y x + y^{2}}{y^{3}} d y = 0$

단계 7.5.2

$y^{2}$ 에서 $y$ 를 인수분해합니다.

$- \frac{1}{y} d x + \frac{y x + y \cdot y}{y^{3}} d y = 0$

단계 7.5.3

$y x + y \cdot y$ 에서 $y$ 를 인수분해합니다.

$- \frac{1}{y} d x + \frac{y (x + y)}{y^{3}} d y = 0$

단계 7.6

공약수로 약분합니다.

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단계 7.6.1

$y^{3}$ 에서 $y$ 를 인수분해합니다.

$- \frac{1}{y} d x + \frac{y (x + y)}{y \cdot y^{2}} d y = 0$

단계 7.6.2

공약수로 약분합니다.

$- \frac{1}{y} d x + \frac{y (x + y)}{y \cdot y^{2}} d y = 0$

단계 7.6.3

수식을 다시 씁니다.

$- \frac{1}{y} d x + \frac{x + y}{y^{2}} d y = 0$

단계 8

집합 $f (x, y)$ 을 $M (x, y)$ 의 적분과 같게 둡니다.

$f (x, y) = \int - \frac{1}{y} d x$

단계 9

$M (x, y) = - \frac{1}{y}$ 을 적분하여 $f (x, y)$ 을 구합니다.

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단계 9.1

상수 규칙을 적용합니다.

$f (x, y) = - \frac{1}{y} x + C$

단계 9.2

$x$ 와 $\frac{1}{y}$ 을 묶습니다.

$f (x, y) = - \frac{x}{y} + C$

단계 10

$g (y)$ 의 적분에 적분 상수가 있으므로 $C$ 에 $g (y)$ 을 대입할 수 있습니다.

$f (x, y) = - \frac{x}{y} + g (y)$

단계 11

$\frac{\partial f}{\partial y} = N (x, y)$ 으로 둡니다.

$\frac{\partial f}{\partial y} = \frac{x + y}{y^{2}}$

단계 12

$\frac{\partial f}{\partial y}$ 를 구합니다.

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단계 12.1

$y$ 에 대해 $f$ 을 미분합니다.

$\frac{d}{d y} [- \frac{x}{y} + g (y)] = \frac{x + y}{y^{2}}$

단계 12.2

합의 법칙에 의해 $- \frac{x}{y} + g (y)$ 를 $y$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d y} [- \frac{x}{y}] + \frac{d}{d y} [g (y)]$ 가 됩니다.

$\frac{d}{d y} [- \frac{x}{y}] + \frac{d}{d y} [g (y)] = \frac{x + y}{y^{2}}$

단계 12.3

$\frac{d}{d y} [- \frac{x}{y}]$ 의 값을 구합니다.

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단계 12.3.1

$- x$ 은 $y$ 에 대해 일정하므로 $y$ 에 대한 $- \frac{x}{y}$ 의 미분은 $- x \frac{d}{d y} [\frac{1}{y}]$ 입니다.

$- x \frac{d}{d y} [\frac{1}{y}] + \frac{d}{d y} [g (y)] = \frac{x + y}{y^{2}}$

단계 12.3.2

$\frac{1}{y}$ 을 $y^{- 1}$ 로 바꿔 씁니다.

$- x \frac{d}{d y} [y^{- 1}] + \frac{d}{d y} [g (y)] = \frac{x + y}{y^{2}}$

단계 12.3.3

$n = - 1$ 일 때 $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ 는 $n y^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$- x (- y^{- 2}) + \frac{d}{d y} [g (y)] = \frac{x + y}{y^{2}}$

단계 12.3.4

$- 1$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$1 x y^{- 2} + \frac{d}{d y} [g (y)] = \frac{x + y}{y^{2}}$

단계 12.3.5

$x$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$x y^{- 2} + \frac{d}{d y} [g (y)] = \frac{x + y}{y^{2}}$

단계 12.4

$g (y)$ 의 도함수가 $\frac{d g}{d y}$ 인 함수 규칙을 사용하여 미분합니다.

$x y^{- 2} + \frac{d g}{d y} = \frac{x + y}{y^{2}}$

단계 12.5

간단히 합니다.

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단계 12.5.1

음의 지수 법칙 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 을 활용하여 식을 다시 씁니다.

$x \frac{1}{y^{2}} + \frac{d g}{d y} = \frac{x + y}{y^{2}}$

단계 12.5.2

$x$ 와 $\frac{1}{y^{2}}$ 을 묶습니다.

$\frac{x}{y^{2}} + \frac{d g}{d y} = \frac{x + y}{y^{2}}$

단계 12.5.3

항을 다시 정렬합니다.

$\frac{d g}{d y} + \frac{x}{y^{2}} = \frac{x + y}{y^{2}}$

단계 13

$\frac{d g}{d y}$ 에 대해 풉니다.

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단계 13.1

$\frac{d g}{d y}$ 에 대해 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 13.1.1

변수를 포함한 모든 항을 방정식의 좌변으로 옮깁니다.

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단계 13.1.1.1

방정식의 양변에서 $\frac{x + y}{y^{2}}$ 를 뺍니다.

$\frac{d g}{d y} + \frac{x}{y^{2}} - \frac{x + y}{y^{2}} = 0$

단계 13.1.1.2

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$\frac{d g}{d y} + \frac{x - (x + y)}{y^{2}} = 0$

단계 13.1.1.3

분배 법칙을 적용합니다.

$\frac{d g}{d y} + \frac{x - x - y}{y^{2}} = 0$

단계 13.1.1.4

$x$ 에서 $x$ 을 뺍니다.

$\frac{d g}{d y} + \frac{0 - y}{y^{2}} = 0$

단계 13.1.1.5

$0$ 에서 $y$ 을 뺍니다.

$\frac{d g}{d y} + \frac{- y}{y^{2}} = 0$

단계 13.1.1.6

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 13.1.1.6.1

$y$ 및 $y^{2}$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 13.1.1.6.1.1

$- y$ 에서 $y$ 를 인수분해합니다.

$\frac{d g}{d y} + \frac{y \cdot - 1}{y^{2}} = 0$

단계 13.1.1.6.1.2

공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 13.1.1.6.1.2.1

$y^{2}$ 에서 $y$ 를 인수분해합니다.

$\frac{d g}{d y} + \frac{y \cdot - 1}{y \cdot y} = 0$

단계 13.1.1.6.1.2.2

공약수로 약분합니다.

$\frac{d g}{d y} + \frac{y \cdot - 1}{y \cdot y} = 0$

단계 13.1.1.6.1.2.3

수식을 다시 씁니다.

$\frac{d g}{d y} + \frac{- 1}{y} = 0$

단계 13.1.1.6.2

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$\frac{d g}{d y} - \frac{1}{y} = 0$

단계 13.1.2

방정식의 양변에 $\frac{1}{y}$ 를 더합니다.

$\frac{d g}{d y} = \frac{1}{y}$

단계 14

$\frac{1}{y}$ 의 역도함수를 구하여 $g (y)$ 을 구합니다.

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단계 14.1

$\frac{d g}{d y} = \frac{1}{y}$ 의 양쪽을 모두 적분합니다.

$\int \frac{d g}{d y} d y = \int \frac{1}{y} d y$

단계 14.2

$\int \frac{d g}{d y} d y$ 의 값을 구합니다.

$g (y) = \int \frac{1}{y} d y$

단계 14.3

$\frac{1}{y}$ 를 $y$ 에 대해 적분하면 $\ln (| y |)$ 입니다.

$g (y) = \ln (| y |) + C$

단계 15

$f (x, y) = - \frac{x}{y} + g (y)$ 에서 $g (y)$ 을 대입합니다.

$f (x, y) = - \frac{x}{y} + \ln (| y |) + C$