미적분 예제

$3 y \frac{d y}{d x} = 8 x^{2}$

단계 1

식을 다시 씁니다.

$3 y d y = 8 x^{2} d x$

단계 2

양변을 적분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1

각 변의 적분을 구합니다.

$\int 3 y d y = \int 8 x^{2} d x$

단계 2.2

좌변을 적분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.2.1

$3$ 은 $y$ 에 대해 상수이므로, $3$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$3 \int y d y = \int 8 x^{2} d x$

단계 2.2.2

멱의 법칙에 의해 $y$ 를 $y$ 에 대해 적분하면 $\frac{1}{2} y^{2}$ 가 됩니다.

$3 (\frac{1}{2} y^{2} + C_{1}) = \int 8 x^{2} d x$

단계 2.2.3

답을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.2.3.1

$3 (\frac{1}{2} y^{2} + C_{1})$ 을 $3 (\frac{1}{2}) y^{2} + C_{1}$ 로 바꿔 씁니다.

$3 (\frac{1}{2}) y^{2} + C_{1} = \int 8 x^{2} d x$

단계 2.2.3.2

$3$ 와 $\frac{1}{2}$ 을 묶습니다.

$\frac{3}{2} y^{2} + C_{1} = \int 8 x^{2} d x$

단계 2.3

우변을 적분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.3.1

$8$ 은 $x$ 에 대해 상수이므로, $8$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$\frac{3}{2} y^{2} + C_{1} = 8 \int x^{2} d x$

단계 2.3.2

멱의 법칙에 의해 $x^{2}$ 를 $x$ 에 대해 적분하면 $\frac{1}{3} x^{3}$ 가 됩니다.

$\frac{3}{2} y^{2} + C_{1} = 8 (\frac{1}{3} x^{3} + C_{2})$

단계 2.3.3

답을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.3.3.1

$8 (\frac{1}{3} x^{3} + C_{2})$ 을 $8 (\frac{1}{3}) x^{3} + C_{2}$ 로 바꿔 씁니다.

$\frac{3}{2} y^{2} + C_{1} = 8 (\frac{1}{3}) x^{3} + C_{2}$

단계 2.3.3.2

$8$ 와 $\frac{1}{3}$ 을 묶습니다.

$\frac{3}{2} y^{2} + C_{1} = \frac{8}{3} x^{3} + C_{2}$

단계 2.4

우변에 적분 상수를 $K$ 로 묶습니다.

$\frac{3}{2} y^{2} = \frac{8}{3} x^{3} + K$

단계 3

$y$ 에 대해 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.1

방정식의 양변에 $\frac{2}{3}$ 을 곱합니다.

$\frac{2}{3} (\frac{3}{2} y^{2}) = \frac{2}{3} (\frac{8}{3} x^{3} + K)$

단계 3.2

방정식의 양변을 간단히 정리합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.2.1

좌변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.2.1.1

$\frac{2}{3} (\frac{3}{2} y^{2})$ 을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.2.1.1.1

$\frac{3}{2}$ 와 $y^{2}$ 을 묶습니다.

$\frac{2}{3} \cdot \frac{3 y^{2}}{2} = \frac{2}{3} (\frac{8}{3} x^{3} + K)$

단계 3.2.1.1.2

조합합니다.

$\frac{2 (3 y^{2})}{3 \cdot 2} = \frac{2}{3} (\frac{8}{3} x^{3} + K)$

단계 3.2.1.1.3

$2$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.2.1.1.3.1

공약수로 약분합니다.

$\frac{2 (3 y^{2})}{3 \cdot 2} = \frac{2}{3} (\frac{8}{3} x^{3} + K)$

단계 3.2.1.1.3.2

수식을 다시 씁니다.

$\frac{3 y^{2}}{3} = \frac{2}{3} (\frac{8}{3} x^{3} + K)$

단계 3.2.1.1.4

$3$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.2.1.1.4.1

공약수로 약분합니다.

$\frac{3 y^{2}}{3} = \frac{2}{3} (\frac{8}{3} x^{3} + K)$

단계 3.2.1.1.4.2

$y^{2}$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$y^{2} = \frac{2}{3} (\frac{8}{3} x^{3} + K)$

단계 3.2.2

우변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.2.2.1

$\frac{2}{3} (\frac{8}{3} x^{3} + K)$ 을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.2.2.1.1

항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.2.2.1.1.1

$\frac{8}{3}$ 와 $x^{3}$ 을 묶습니다.

$y^{2} = \frac{2}{3} (\frac{8 x^{3}}{3} + K)$

단계 3.2.2.1.1.2

분배 법칙을 적용합니다.

$y^{2} = \frac{2}{3} \cdot \frac{8 x^{3}}{3} + \frac{2}{3} K$

단계 3.2.2.1.1.3

조합합니다.

$y^{2} = \frac{2 (8 x^{3})}{3 \cdot 3} + \frac{2}{3} K$

단계 3.2.2.1.1.4

$\frac{2}{3}$ 와 $K$ 을 묶습니다.

$y^{2} = \frac{2 (8 x^{3})}{3 \cdot 3} + \frac{2 K}{3}$

단계 3.2.2.1.2

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.2.2.1.2.1

$2$ 에 $8$ 을 곱합니다.

$y^{2} = \frac{16 x^{3}}{3 \cdot 3} + \frac{2 K}{3}$

단계 3.2.2.1.2.2

$3$ 에 $3$ 을 곱합니다.

$y^{2} = \frac{16 x^{3}}{9} + \frac{2 K}{3}$

단계 3.3

좌변의 지수를 소거하기 위하여 방정식의 양변에 지정된 제곱근을 취합니다.

$y = \pm \sqrt{\frac{16 x^{3}}{9} + \frac{2 K}{3}}$

단계 3.4

$\pm \sqrt{\frac{16 x^{3}}{9} + \frac{2 K}{3}}$ 을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.4.1

공통 분모를 가지는 분수로 $\frac{2 K}{3}$ 을 표현하기 위해 $\frac{3}{3}$ 을 곱합니다.

$y = \pm \sqrt{\frac{16 x^{3}}{9} + \frac{2 K}{3} \cdot \frac{3}{3}}$

단계 3.4.2

각 수식에 적절한 인수 $1$ 을 곱하여 수식의 분모가 모두 $9$ 이 되도록 식을 씁니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.4.2.1

$\frac{2 K}{3}$ 에 $\frac{3}{3}$ 을 곱합니다.

$y = \pm \sqrt{\frac{16 x^{3}}{9} + \frac{2 K \cdot 3}{3 \cdot 3}}$

단계 3.4.2.2

$3$ 에 $3$ 을 곱합니다.

$y = \pm \sqrt{\frac{16 x^{3}}{9} + \frac{2 K \cdot 3}{9}}$

단계 3.4.3

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$y = \pm \sqrt{\frac{16 x^{3} + 2 K \cdot 3}{9}}$

단계 3.4.4

분자를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.4.4.1

$16 x^{3} + 2 K \cdot 3$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.4.4.1.1

$16 x^{3}$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$y = \pm \sqrt{\frac{2 (8 x^{3}) + 2 K \cdot 3}{9}}$

단계 3.4.4.1.2

$2 K \cdot 3$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$y = \pm \sqrt{\frac{2 (8 x^{3}) + 2 (K \cdot 3)}{9}}$

단계 3.4.4.1.3

$2 (8 x^{3}) + 2 (K \cdot 3)$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$y = \pm \sqrt{\frac{2 (8 x^{3} + K \cdot 3)}{9}}$

단계 3.4.4.2

$K$ 의 왼쪽으로 $3$ 이동하기

$y = \pm \sqrt{\frac{2 (8 x^{3} + 3 K)}{9}}$

단계 3.4.5

$\frac{2 (8 x^{3} + 3 K)}{9}$ 을 ${(\frac{1}{3})}^{2} (2 (8 x^{3} + 3 K))$ 로 바꿔 씁니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.4.5.1

$2 (8 x^{3} + 3 K)$ 에서 완전제곱인 $1^{2}$ 인수를 묶습니다.

$y = \pm \sqrt{\frac{1^{2} (2 (8 x^{3} + 3 K))}{9}}$

단계 3.4.5.2

$9$ 에서 완전제곱인 $3^{2}$ 인수를 묶습니다.

$y = \pm \sqrt{\frac{1^{2} (2 (8 x^{3} + 3 K))}{3^{2} \cdot 1}}$

단계 3.4.5.3

분수 $\frac{1^{2} (2 (8 x^{3} + 3 K))}{3^{2} \cdot 1}$ 를 다시 정렬합니다.

$y = \pm \sqrt{{(\frac{1}{3})}^{2} (2 (8 x^{3} + 3 K))}$

단계 3.4.6

근호 안의 항을 밖으로 빼냅니다.

$y = \pm \frac{1}{3} \sqrt{2 (8 x^{3} + 3 K)}$

단계 3.4.7

$\frac{1}{3}$ 와 $\sqrt{2 (8 x^{3} + 3 K)}$ 을 묶습니다.

$y = \pm \frac{\sqrt{2 (8 x^{3} + 3 K)}}{3}$

단계 3.5

해의 양수와 음수 부분 모두 최종 해가 됩니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.5.1

먼저, $\pm$ 의 양의 값을 이용하여 첫 번째 해를 구합니다.

$y = \frac{\sqrt{2 (8 x^{3} + 3 K)}}{3}$

단계 3.5.2

그 다음 $\pm$ 의 마이너스 값을 사용하여 두 번째 해를 구합니다.

$y = - \frac{\sqrt{2 (8 x^{3} + 3 K)}}{3}$

단계 3.5.3

해의 양수와 음수 부분 모두 최종 해가 됩니다.

$y = \frac{\sqrt{2 (8 x^{3} + 3 K)}}{3}$

$y = - \frac{\sqrt{2 (8 x^{3} + 3 K)}}{3}$

$y = \frac{\sqrt{2 (8 x^{3} + 3 K)}}{3}$

$y = - \frac{\sqrt{2 (8 x^{3} + 3 K)}}{3}$

$y = \frac{\sqrt{2 (8 x^{3} + 3 K)}}{3}$

$y = - \frac{\sqrt{2 (8 x^{3} + 3 K)}}{3}$

단계 4

적분 상수를 간단히 합니다.

$y = \frac{\sqrt{2 (8 x^{3} + K)}}{3}$

$y = - \frac{\sqrt{2 (8 x^{3} + K)}}{3}$