미적분 예제

$(x + 2 y^{3}) d x + 6 x y^{2} d y = 0$

단계 1

$M (x, y) = x + 2 y^{3}$ 인 $\frac{\partial M}{\partial y}$ 을 구합니다.

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단계 1.1

$y$ 에 대해 $M$ 을 미분합니다.

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [x + 2 y^{3}]$

단계 1.2

미분합니다.

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단계 1.2.1

합의 법칙에 의해 $x + 2 y^{3}$ 를 $y$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d y} [x] + \frac{d}{d y} [2 y^{3}]$ 가 됩니다.

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [x] + \frac{d}{d y} [2 y^{3}]$

단계 1.2.2

$x$ 이 $y$ 에 대해 일정하므로, $x$ 를 $y$ 에 대해 미분하면 $x$ 입니다.

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 + \frac{d}{d y} [2 y^{3}]$

단계 1.3

$\frac{d}{d y} [2 y^{3}]$ 의 값을 구합니다.

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단계 1.3.1

$2$ 은 $y$ 에 대해 일정하므로 $y$ 에 대한 $2 y^{3}$ 의 미분은 $2 \frac{d}{d y} [y^{3}]$ 입니다.

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 + 2 \frac{d}{d y} [y^{3}]$

단계 1.3.2

$n = 3$ 일 때 $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ 는 $n y^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 + 2 (3 y^{2})$

단계 1.3.3

$3$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 + 6 y^{2}$

단계 1.4

$0$ 를 $6 y^{2}$ 에 더합니다.

$\frac{\partial M}{\partial y} = 6 y^{2}$

단계 2

$N (x, y) = 6 x y^{2}$ 인 $\frac{\partial N}{\partial x}$ 을 구합니다.

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단계 2.1

$x$ 에 대해 $N$ 을 미분합니다.

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [6 x y^{2}]$

단계 2.2

$6 y^{2}$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $6 x y^{2}$ 의 미분은 $6 y^{2} \frac{d}{d x} [x]$ 입니다.

$\frac{\partial N}{\partial x} = 6 y^{2} \frac{d}{d x} [x]$

단계 2.3

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{\partial N}{\partial x} = 6 y^{2} \cdot 1$

단계 2.4

$6$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$\frac{\partial N}{\partial x} = 6 y^{2}$

단계 3

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$ 를 확인합니다.

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단계 3.1

$\frac{\partial M}{\partial y}$ 에 $6 y^{2}$ 을, $\frac{\partial N}{\partial x}$ 에 $6 y^{2}$ 을 대입합니다.

$6 y^{2} = 6 y^{2}$

단계 3.2

양변이 동일함을 보였으므로, 이 방정식은 항등식입니다.

$6 y^{2} = 6 y^{2}$ 은 항등식입니다.

단계 4

집합 $f (x, y)$ 을 $N (x, y)$ 의 적분과 같게 둡니다.

$f (x, y) = \int 6 x y^{2} d y$

단계 5

$N (x, y) = 6 x y^{2}$ 을 적분하여 $f (x, y)$ 을 구합니다.

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단계 5.1

$6 x$ 은 $y$ 에 대해 상수이므로, $6 x$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$f (x, y) = 6 x \int y^{2} d y$

단계 5.2

멱의 법칙에 의해 $y^{2}$ 를 $y$ 에 대해 적분하면 $\frac{1}{3} y^{3}$ 가 됩니다.

$f (x, y) = 6 x (\frac{1}{3} y^{3} + C)$

단계 5.3

답을 간단히 합니다.

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단계 5.3.1

$6 x (\frac{1}{3} y^{3} + C)$ 을 $6 x \frac{1}{3} y^{3} + C$ 로 바꿔 씁니다.

$f (x, y) = 6 x \frac{1}{3} y^{3} + C$

단계 5.3.2

간단히 합니다.

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단계 5.3.2.1

$6$ 와 $\frac{1}{3}$ 을 묶습니다.

$f (x, y) = x \frac{6}{3} y^{3} + C$

단계 5.3.2.2

$x$ 와 $\frac{6}{3}$ 을 묶습니다.

$f (x, y) = \frac{x \cdot 6}{3} y^{3} + C$

단계 5.3.2.3

$x$ 의 왼쪽으로 $6$ 이동하기

$f (x, y) = \frac{6 \cdot x}{3} y^{3} + C$

단계 5.3.2.4

$6$ 에 $x$ 을 곱합니다.

$f (x, y) = \frac{6 x}{3} y^{3} + C$

단계 5.3.2.5

$6$ 및 $3$ 의 공약수로 약분합니다.

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단계 5.3.2.5.1

$6 x$ 에서 $3$ 를 인수분해합니다.

$f (x, y) = \frac{3 (2 x)}{3} y^{3} + C$

단계 5.3.2.5.2

공약수로 약분합니다.

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단계 5.3.2.5.2.1

$3$ 에서 $3$ 를 인수분해합니다.

$f (x, y) = \frac{3 (2 x)}{3 (1)} y^{3} + C$

단계 5.3.2.5.2.2

공약수로 약분합니다.

$f (x, y) = \frac{3 (2 x)}{3 \cdot 1} y^{3} + C$

단계 5.3.2.5.2.3

수식을 다시 씁니다.

$f (x, y) = \frac{2 x}{1} y^{3} + C$

단계 5.3.2.5.2.4

$2 x$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$f (x, y) = 2 x y^{3} + C$

단계 6

$g (x)$ 의 적분에 적분 상수가 있으므로 $C$ 에 $g (x)$ 을 대입할 수 있습니다.

$f (x, y) = 2 x y^{3} + g (x)$

단계 7

$\frac{\partial f}{\partial x} = M (x, y)$ 으로 둡니다.

$\frac{\partial f}{\partial x} = x + 2 y^{3}$

단계 8

$\frac{\partial f}{\partial x}$ 를 구합니다.

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단계 8.1

$x$ 에 대해 $f$ 을 미분합니다.

$\frac{d}{d x} [2 x y^{3} + g (x)] = x + 2 y^{3}$

단계 8.2

합의 법칙에 의해 $2 x y^{3} + g (x)$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [2 x y^{3}] + \frac{d}{d x} [g (x)]$ 가 됩니다.

$\frac{d}{d x} [2 x y^{3}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = x + 2 y^{3}$

단계 8.3

$\frac{d}{d x} [2 x y^{3}]$ 의 값을 구합니다.

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단계 8.3.1

$2 y^{3}$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $2 x y^{3}$ 의 미분은 $2 y^{3} \frac{d}{d x} [x]$ 입니다.

$2 y^{3} \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [g (x)] = x + 2 y^{3}$

단계 8.3.2

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$2 y^{3} \cdot 1 + \frac{d}{d x} [g (x)] = x + 2 y^{3}$

단계 8.3.3

$2$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$2 y^{3} + \frac{d}{d x} [g (x)] = x + 2 y^{3}$

단계 8.4

$g (x)$ 의 도함수가 $\frac{d g}{d x}$ 인 함수 규칙을 사용하여 미분합니다.

$2 y^{3} + \frac{d g}{d x} = x + 2 y^{3}$

단계 8.5

항을 다시 정렬합니다.

$\frac{d g}{d x} + 2 y^{3} = x + 2 y^{3}$

단계 9

$\frac{d g}{d x}$ 에 대해 풉니다.

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단계 9.1

$\frac{d g}{d x}$ 를 포함하지 않은 모든 항을 방정식의 우변으로 옮깁니다.

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단계 9.1.1

방정식의 양변에서 $2 y^{3}$ 를 뺍니다.

$\frac{d g}{d x} = x + 2 y^{3} - 2 y^{3}$

단계 9.1.2

$x + 2 y^{3} - 2 y^{3}$ 의 반대 항을 묶습니다.

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단계 9.1.2.1

$2 y^{3}$ 에서 $2 y^{3}$ 을 뺍니다.

$\frac{d g}{d x} = x + 0$

단계 9.1.2.2

$x$ 를 $0$ 에 더합니다.

$\frac{d g}{d x} = x$

단계 10

$x$ 의 역도함수를 구하여 $g (x)$ 을 구합니다.

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단계 10.1

$\frac{d g}{d x} = x$ 의 양쪽을 모두 적분합니다.

$\int \frac{d g}{d x} d x = \int x d x$

단계 10.2

$\int \frac{d g}{d x} d x$ 의 값을 구합니다.

$g (x) = \int x d x$

단계 10.3

멱의 법칙에 의해 $x$ 를 $x$ 에 대해 적분하면 $\frac{1}{2} x^{2}$ 가 됩니다.

$g (x) = \frac{1}{2} x^{2} + C$

단계 11

$f (x, y) = 2 x y^{3} + g (x)$ 에서 $g (x)$ 을 대입합니다.

$f (x, y) = 2 x y^{3} + \frac{1}{2} x^{2} + C$

단계 12

$\frac{1}{2}$ 와 $x^{2}$ 을 묶습니다.

$f (x, y) = 2 x y^{3} + \frac{x^{2}}{2} + C$