미적분 예제

$(x^{2} + 1) \frac{d y}{d x} + 3 x (y - 1) = 0$ , $y (0) = 9$

단계 1

변수를 분리합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1

$\frac{d y}{d x}$ 에 대해 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1.1

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1.1.1

분배 법칙을 적용합니다.

$x^{2} \frac{d y}{d x} + 1 \frac{d y}{d x} + 3 x (y - 1) = 0$

단계 1.1.1.2

$\frac{d y}{d x}$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$x^{2} \frac{d y}{d x} + \frac{d y}{d x} + 3 x (y - 1) = 0$

단계 1.1.1.3

분배 법칙을 적용합니다.

$x^{2} \frac{d y}{d x} + \frac{d y}{d x} + 3 x y + 3 x \cdot - 1 = 0$

단계 1.1.1.4

$- 1$ 에 $3$ 을 곱합니다.

$x^{2} \frac{d y}{d x} + \frac{d y}{d x} + 3 x y - 3 x = 0$

단계 1.1.2

$\frac{d y}{d x}$ 를 포함하지 않은 모든 항을 방정식의 우변으로 옮깁니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1.2.1

방정식의 양변에서 $3 x y$ 를 뺍니다.

$x^{2} \frac{d y}{d x} + \frac{d y}{d x} - 3 x = - 3 x y$

단계 1.1.2.2

방정식의 양변에 $3 x$ 를 더합니다.

$x^{2} \frac{d y}{d x} + \frac{d y}{d x} = - 3 x y + 3 x$

단계 1.1.3

$x^{2} \frac{d y}{d x} + \frac{d y}{d x}$ 에서 $\frac{d y}{d x}$ 를 인수분해합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1.3.1

$x^{2} \frac{d y}{d x}$ 에서 $\frac{d y}{d x}$ 를 인수분해합니다.

$\frac{d y}{d x} x^{2} + \frac{d y}{d x} = - 3 x y + 3 x$

단계 1.1.3.2

$\frac{d y}{d x}$ 를 $1$ 승 합니다.

$\frac{d y}{d x} x^{2} + \frac{d y}{d x} = - 3 x y + 3 x$

단계 1.1.3.3

${(\frac{d y}{d x})}^{1}$ 에서 $\frac{d y}{d x}$ 를 인수분해합니다.

$\frac{d y}{d x} x^{2} + \frac{d y}{d x} \cdot 1 = - 3 x y + 3 x$

단계 1.1.3.4

$\frac{d y}{d x} x^{2} + \frac{d y}{d x} \cdot 1$ 에서 $\frac{d y}{d x}$ 를 인수분해합니다.

$\frac{d y}{d x} (x^{2} + 1) = - 3 x y + 3 x$

단계 1.1.4

$\frac{d y}{d x} (x^{2} + 1) = - 3 x y + 3 x$ 의 각 항을 $x^{2} + 1$ 로 나누고 식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1.4.1

$\frac{d y}{d x} (x^{2} + 1) = - 3 x y + 3 x$ 의 각 항을 $x^{2} + 1$ 로 나눕니다.

$\frac{\frac{d y}{d x} (x^{2} + 1)}{x^{2} + 1} = \frac{- 3 x y}{x^{2} + 1} + \frac{3 x}{x^{2} + 1}$

단계 1.1.4.2

좌변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1.4.2.1

$x^{2} + 1$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1.4.2.1.1

공약수로 약분합니다.

$\frac{\frac{d y}{d x} (x^{2} + 1)}{x^{2} + 1} = \frac{- 3 x y}{x^{2} + 1} + \frac{3 x}{x^{2} + 1}$

단계 1.1.4.2.1.2

$\frac{d y}{d x}$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$\frac{d y}{d x} = \frac{- 3 x y}{x^{2} + 1} + \frac{3 x}{x^{2} + 1}$

단계 1.1.4.3

우변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1.4.3.1

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$\frac{d y}{d x} = \frac{- 3 x y + 3 x}{x^{2} + 1}$

단계 1.1.4.3.2

분자를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1.4.3.2.1

$- 3 x y + 3 x$ 에서 $3 x$ 를 인수분해합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1.4.3.2.1.1

$- 3 x y$ 에서 $3 x$ 를 인수분해합니다.

$\frac{d y}{d x} = \frac{3 x (- 1 y) + 3 x}{x^{2} + 1}$

단계 1.1.4.3.2.1.2

$3 x$ 에서 $3 x$ 를 인수분해합니다.

$\frac{d y}{d x} = \frac{3 x (- 1 y) + 3 x (1)}{x^{2} + 1}$

단계 1.1.4.3.2.1.3

$3 x (- 1 y) + 3 x (1)$ 에서 $3 x$ 를 인수분해합니다.

$\frac{d y}{d x} = \frac{3 x (- 1 y + 1)}{x^{2} + 1}$

단계 1.1.4.3.2.2

$- 1 y$ 을 $- y$ 로 바꿔 씁니다.

$\frac{d y}{d x} = \frac{3 x (- y + 1)}{x^{2} + 1}$

단계 1.1.4.3.3

인수분해하여 식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1.4.3.3.1

$- y$ 에서 $- 1$ 를 인수분해합니다.

$\frac{d y}{d x} = \frac{3 x (- (y) + 1)}{x^{2} + 1}$

단계 1.1.4.3.3.2

$1$ 을 $- 1 (- 1)$ 로 바꿔 씁니다.

$\frac{d y}{d x} = \frac{3 x (- (y) - 1 (- 1))}{x^{2} + 1}$

단계 1.1.4.3.3.3

$- (y) - 1 (- 1)$ 에서 $- 1$ 를 인수분해합니다.

$\frac{d y}{d x} = \frac{3 x (- (y - 1))}{x^{2} + 1}$

단계 1.1.4.3.3.4

식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1.4.3.3.4.1

$- (y - 1)$ 을 $- 1 (y - 1)$ 로 바꿔 씁니다.

$\frac{d y}{d x} = \frac{3 x (- 1 (y - 1))}{x^{2} + 1}$

단계 1.1.4.3.3.4.2

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$\frac{d y}{d x} = - \frac{(3 x) (y - 1)}{x^{2} + 1}$

단계 1.2

인수를 다시 묶습니다.

$\frac{d y}{d x} = - \frac{3 x}{x^{2} + 1} (y - 1)$

단계 1.3

양변에 $\frac{1}{y - 1}$ 을 곱합니다.

$\frac{1}{y - 1} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y - 1} (- \frac{3 x}{x^{2} + 1} (y - 1))$

단계 1.4

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.4.1

곱셈의 교환법칙을 사용하여 다시 씁니다.

$\frac{1}{y - 1} \frac{d y}{d x} = - \frac{1}{y - 1} (\frac{3 x}{x^{2} + 1} (y - 1))$

단계 1.4.2

$y - 1$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.4.2.1

$- \frac{1}{y - 1}$ 의 마이너스 부호를 분자로 이동합니다.

$\frac{1}{y - 1} \frac{d y}{d x} = \frac{- 1}{y - 1} (\frac{3 x}{x^{2} + 1} (y - 1))$

단계 1.4.2.2

$\frac{3 x}{x^{2} + 1} (y - 1)$ 에서 $y - 1$ 를 인수분해합니다.

$\frac{1}{y - 1} \frac{d y}{d x} = \frac{- 1}{y - 1} ((y - 1) \frac{3 x}{x^{2} + 1})$

단계 1.4.2.3

공약수로 약분합니다.

$\frac{1}{y - 1} \frac{d y}{d x} = \frac{- 1}{y - 1} ((y - 1) \frac{3 x}{x^{2} + 1})$

단계 1.4.2.4

수식을 다시 씁니다.

$\frac{1}{y - 1} \frac{d y}{d x} = - \frac{3 x}{x^{2} + 1}$

단계 1.5

식을 다시 씁니다.

$\frac{1}{y - 1} d y = - \frac{3 x}{x^{2} + 1} d x$

단계 2

양변을 적분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1

각 변의 적분을 구합니다.

$\int \frac{1}{y - 1} d y = \int - \frac{3 x}{x^{2} + 1} d x$

단계 2.2

좌변을 적분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.2.1

먼저 $u_{1} = y - 1$ 로 정의합니다. 그러면 $d u_{1} = d y$ 가 됩니다. 이 식을 $u_{1}$ 와 $d$ $u_{1}$ 를 이용하여 다시 씁니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.2.1.1

$u_{1} = y - 1$ 로 둡니다. $\frac{d u_{1}}{d y}$ 를 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.2.1.1.1

$y - 1$ 를 미분합니다.

$\frac{d}{d y} [y - 1]$

단계 2.2.1.1.2

합의 법칙에 의해 $y - 1$ 를 $y$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [- 1]$ 가 됩니다.

$\frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [- 1]$

단계 2.2.1.1.3

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ 는 $n y^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$1 + \frac{d}{d y} [- 1]$

단계 2.2.1.1.4

$- 1$ 이 $y$ 에 대해 일정하므로, $- 1$ 를 $y$ 에 대해 미분하면 $- 1$ 입니다.

$1 + 0$

단계 2.2.1.1.5

$1$ 를 $0$ 에 더합니다.

$1$

단계 2.2.1.2

$u_{1}$ 와 $d u_{1}$ 를 사용해 문제를 바꿔 씁니다.

$\int \frac{1}{u_{1}} d u_{1} = \int - \frac{3 x}{x^{2} + 1} d x$

단계 2.2.2

$\frac{1}{u_{1}}$ 를 $u_{1}$ 에 대해 적분하면 $\ln (| u_{1} |)$ 입니다.

$\ln (| u_{1} |) + C_{1} = \int - \frac{3 x}{x^{2} + 1} d x$

단계 2.2.3

$u_{1}$ 를 모두 $y - 1$ 로 바꿉니다.

$\ln (| y - 1 |) + C_{1} = \int - \frac{3 x}{x^{2} + 1} d x$

단계 2.3

우변을 적분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.3.1

$- 1$ 은 $x$ 에 대해 상수이므로, $- 1$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$\ln (| y - 1 |) + C_{1} = - \int \frac{3 x}{x^{2} + 1} d x$

단계 2.3.2

$3$ 은 $x$ 에 대해 상수이므로, $3$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$\ln (| y - 1 |) + C_{1} = - (3 \int \frac{x}{x^{2} + 1} d x)$

단계 2.3.3

$3$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$\ln (| y - 1 |) + C_{1} = - 3 \int \frac{x}{x^{2} + 1} d x$

단계 2.3.4

먼저 $u_{2} = x^{2} + 1$ 로 정의합니다. 그러면 $d u_{2} = 2 x d x$ 이므로 $\frac{1}{2} d u_{2} = x d x$ 가 됩니다. 이 식을 $u_{2}$ 와 $d$ $u_{2}$ 를 이용하여 다시 씁니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.3.4.1

$u_{2} = x^{2} + 1$ 로 둡니다. $\frac{d u_{2}}{d x}$ 를 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.3.4.1.1

$x^{2} + 1$ 를 미분합니다.

$\frac{d}{d x} [x^{2} + 1]$

단계 2.3.4.1.2

합의 법칙에 의해 $x^{2} + 1$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$ 가 됩니다.

$\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$

단계 2.3.4.1.3

$n = 2$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$2 x + \frac{d}{d x} [1]$

단계 2.3.4.1.4

$1$ 이 $x$ 에 대해 일정하므로, $1$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $1$ 입니다.

$2 x + 0$

단계 2.3.4.1.5

$2 x$ 를 $0$ 에 더합니다.

$2 x$

단계 2.3.4.2

$u_{2}$ 와 $d u_{2}$ 를 사용해 문제를 바꿔 씁니다.

$\ln (| y - 1 |) + C_{1} = - 3 \int \frac{1}{u_{2}} \cdot \frac{1}{2} d u_{2}$

단계 2.3.5

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.3.5.1

$\frac{1}{u_{2}}$ 에 $\frac{1}{2}$ 을 곱합니다.

$\ln (| y - 1 |) + C_{1} = - 3 \int \frac{1}{u_{2} \cdot 2} d u_{2}$

단계 2.3.5.2

$u_{2}$ 의 왼쪽으로 $2$ 이동하기

$\ln (| y - 1 |) + C_{1} = - 3 \int \frac{1}{2 u_{2}} d u_{2}$

단계 2.3.6

$\frac{1}{2}$ 은 $u_{2}$ 에 대해 상수이므로, $\frac{1}{2}$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$\ln (| y - 1 |) + C_{1} = - 3 (\frac{1}{2} \int \frac{1}{u_{2}} d u_{2})$

단계 2.3.7

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.3.7.1

$\frac{1}{2}$ 와 $- 3$ 을 묶습니다.

$\ln (| y - 1 |) + C_{1} = \frac{- 3}{2} \int \frac{1}{u_{2}} d u_{2}$

단계 2.3.7.2

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$\ln (| y - 1 |) + C_{1} = - \frac{3}{2} \int \frac{1}{u_{2}} d u_{2}$

단계 2.3.8

$\frac{1}{u_{2}}$ 를 $u_{2}$ 에 대해 적분하면 $\ln (| u_{2} |)$ 입니다.

$\ln (| y - 1 |) + C_{1} = - \frac{3}{2} (\ln (| u_{2} |) + C_{2})$

단계 2.3.9

간단히 합니다.

$\ln (| y - 1 |) + C_{1} = - \frac{3}{2} \ln (| u_{2} |) + C_{2}$

단계 2.3.10

$u_{2}$ 를 모두 $x^{2} + 1$ 로 바꿉니다.

$\ln (| y - 1 |) + C_{1} = - \frac{3}{2} \ln (| x^{2} + 1 |) + C_{2}$

단계 2.4

우변에 적분 상수를 $C$ 로 묶습니다.

$\ln (| y - 1 |) = - \frac{3}{2} \ln (| x^{2} + 1 |) + C$

단계 3

$y$ 에 대해 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.1

우변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.1.1

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.1.1.1

$\ln (| x^{2} + 1 |)$ 와 $\frac{3}{2}$ 을 묶습니다.

$\ln (| y - 1 |) = - \frac{\ln (| x^{2} + 1 |) \cdot 3}{2} + C$

단계 3.1.1.2

$\ln (| x^{2} + 1 |)$ 의 왼쪽으로 $3$ 이동하기

$\ln (| y - 1 |) = - \frac{3 \ln (| x^{2} + 1 |)}{2} + C$

단계 3.2

로그를 포함하고 있는 모든 항을 방정식의 좌변으로 옮깁니다.

$\ln (| y - 1 |) + \frac{3 \ln (| x^{2} + 1 |)}{2} = C$

단계 3.3

공통 분모를 가지는 분수로 $\ln (| y - 1 |)$ 을 표현하기 위해 $\frac{2}{2}$ 을 곱합니다.

$\ln (| y - 1 |) \cdot \frac{2}{2} + \frac{3 \ln (| x^{2} + 1 |)}{2} = C$

단계 3.4

항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.4.1

$\ln (| y - 1 |)$ 와 $\frac{2}{2}$ 을 묶습니다.

$\frac{\ln (| y - 1 |) \cdot 2}{2} + \frac{3 \ln (| x^{2} + 1 |)}{2} = C$

단계 3.4.2

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$\frac{\ln (| y - 1 |) \cdot 2 + 3 \ln (| x^{2} + 1 |)}{2} = C$

단계 3.5

$\ln (| y - 1 |)$ 의 왼쪽으로 $2$ 이동하기

$\frac{2 \ln (| y - 1 |) + 3 \ln (| x^{2} + 1 |)}{2} = C$

단계 3.6

좌변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.6.1

$\frac{2 \ln (| y - 1 |) + 3 \ln (| x^{2} + 1 |)}{2}$ 을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.6.1.1

분자를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.6.1.1.1

$2$ 를 로그 안으로 옮겨 $2 \ln (| y - 1 |)$ 을 간단히 합니다.

$\frac{\ln ({| y - 1 |}^{2}) + 3 \ln (| x^{2} + 1 |)}{2} = C$

단계 3.6.1.1.2

짝수 거듭제곱을 갖는 멱법은 항상 양수이기 때문에 ${| y - 1 |}^{2}$ 에서 절댓값을 제거합니다.

$\frac{\ln ({(y - 1)}^{2}) + 3 \ln (| x^{2} + 1 |)}{2} = C$

단계 3.6.1.1.3

$3$ 를 로그 안으로 옮겨 $3 \ln (| x^{2} + 1 |)$ 을 간단히 합니다.

$\frac{\ln ({(y - 1)}^{2}) + \ln ({| x^{2} + 1 |}^{3})}{2} = C$

단계 3.6.1.1.4

로그의 곱의 성질 $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ 를 사용합니다.

$\frac{\ln ({(y - 1)}^{2} {| x^{2} + 1 |}^{3})}{2} = C$

단계 3.6.1.2

$\frac{\ln ({(y - 1)}^{2} {| x^{2} + 1 |}^{3})}{2}$ 을 $\frac{1}{2} \ln ({(y - 1)}^{2} {| x^{2} + 1 |}^{3})$ 로 바꿔 씁니다.

$\frac{1}{2} \ln ({(y - 1)}^{2} {| x^{2} + 1 |}^{3}) = C$

단계 3.6.1.3

$\frac{1}{2}$ 를 로그 안으로 옮겨 $\frac{1}{2} \ln ({(y - 1)}^{2} {| x^{2} + 1 |}^{3})$ 을 간단히 합니다.

$\ln ({({(y - 1)}^{2} {| x^{2} + 1 |}^{3})}^{\frac{1}{2}}) = C$

단계 3.6.1.4

${(y - 1)}^{2} {| x^{2} + 1 |}^{3}$ 에 곱의 미분 법칙을 적용합니다.

$\ln ({({(y - 1)}^{2})}^{\frac{1}{2}} {({| x^{2} + 1 |}^{3})}^{\frac{1}{2}}) = C$

단계 3.6.1.5

${({(y - 1)}^{2})}^{\frac{1}{2}}$ 의 지수를 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.6.1.5.1

멱의 법칙을 적용하여 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 과 같이 지수를 곱합니다.

$\ln ({(y - 1)}^{2 (\frac{1}{2})} {({| x^{2} + 1 |}^{3})}^{\frac{1}{2}}) = C$

단계 3.6.1.5.2

$2$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.6.1.5.2.1

공약수로 약분합니다.

$\ln ({(y - 1)}^{2 (\frac{1}{2})} {({| x^{2} + 1 |}^{3})}^{\frac{1}{2}}) = C$

단계 3.6.1.5.2.2

수식을 다시 씁니다.

$\ln ({(y - 1)}^{1} {({| x^{2} + 1 |}^{3})}^{\frac{1}{2}}) = C$

단계 3.6.1.6

간단히 합니다.

$\ln ((y - 1) {({| x^{2} + 1 |}^{3})}^{\frac{1}{2}}) = C$

단계 3.6.1.7

${({| x^{2} + 1 |}^{3})}^{\frac{1}{2}}$ 의 지수를 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.6.1.7.1

멱의 법칙을 적용하여 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 과 같이 지수를 곱합니다.

$\ln ((y - 1) {| x^{2} + 1 |}^{3 (\frac{1}{2})}) = C$

단계 3.6.1.7.2

$3$ 와 $\frac{1}{2}$ 을 묶습니다.

$\ln ((y - 1) {| x^{2} + 1 |}^{\frac{3}{2}}) = C$

단계 3.6.1.8

분배 법칙을 적용합니다.

$\ln (y {| x^{2} + 1 |}^{\frac{3}{2}} - 1 {| x^{2} + 1 |}^{\frac{3}{2}}) = C$

단계 3.6.1.9

$- 1 {| x^{2} + 1 |}^{\frac{3}{2}}$ 을 $- {| x^{2} + 1 |}^{\frac{3}{2}}$ 로 바꿔 씁니다.

$\ln (y {| x^{2} + 1 |}^{\frac{3}{2}} - {| x^{2} + 1 |}^{\frac{3}{2}}) = C$

단계 3.7

$y$ 을 구하기 위해 로그의 성질을 이용하여 방정식을 다시 씁니다.

$e^{\ln (y {| x^{2} + 1 |}^{\frac{3}{2}} - {| x^{2} + 1 |}^{\frac{3}{2}})} = e^{C}$

단계 3.8

로그의 정의를 이용하여 $\ln (y {| x^{2} + 1 |}^{\frac{3}{2}} - {| x^{2} + 1 |}^{\frac{3}{2}}) = C$ 를 지수 형태로 다시 씁니다. 만약 $x$ 와 $b$ 가 양의 실수와 $b \neq 1$ 이면, $\log_{b} (x) = y$ 는 $b^{y} = x$ 와 같습니다.

$e^{C} = y {| x^{2} + 1 |}^{\frac{3}{2}} - {| x^{2} + 1 |}^{\frac{3}{2}}$

단계 3.9

$y$ 에 대해 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.9.1

$y {| x^{2} + 1 |}^{\frac{3}{2}} - {| x^{2} + 1 |}^{\frac{3}{2}} = e^{C}$ 로 방정식을 다시 씁니다.

$y {| x^{2} + 1 |}^{\frac{3}{2}} - {| x^{2} + 1 |}^{\frac{3}{2}} = e^{C}$

단계 3.9.2

방정식의 양변에 ${| x^{2} + 1 |}^{\frac{3}{2}}$ 를 더합니다.

$y {| x^{2} + 1 |}^{\frac{3}{2}} = e^{C} + {| x^{2} + 1 |}^{\frac{3}{2}}$

단계 3.9.3

$y {| x^{2} + 1 |}^{\frac{3}{2}} = e^{C} + {| x^{2} + 1 |}^{\frac{3}{2}}$ 의 각 항을 ${| x^{2} + 1 |}^{\frac{3}{2}}$ 로 나누고 식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.9.3.1

$y {| x^{2} + 1 |}^{\frac{3}{2}} = e^{C} + {| x^{2} + 1 |}^{\frac{3}{2}}$ 의 각 항을 ${| x^{2} + 1 |}^{\frac{3}{2}}$ 로 나눕니다.

$\frac{y {| x^{2} + 1 |}^{\frac{3}{2}}}{{| x^{2} + 1 |}^{\frac{3}{2}}} = \frac{e^{C}}{{| x^{2} + 1 |}^{\frac{3}{2}}} + \frac{{| x^{2} + 1 |}^{\frac{3}{2}}}{{| x^{2} + 1 |}^{\frac{3}{2}}}$

단계 3.9.3.2

좌변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.9.3.2.1

공약수로 약분합니다.

$\frac{y {| x^{2} + 1 |}^{\frac{3}{2}}}{{| x^{2} + 1 |}^{\frac{3}{2}}} = \frac{e^{C}}{{| x^{2} + 1 |}^{\frac{3}{2}}} + \frac{{| x^{2} + 1 |}^{\frac{3}{2}}}{{| x^{2} + 1 |}^{\frac{3}{2}}}$

단계 3.9.3.2.2

$y$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$y = \frac{e^{C}}{{| x^{2} + 1 |}^{\frac{3}{2}}} + \frac{{| x^{2} + 1 |}^{\frac{3}{2}}}{{| x^{2} + 1 |}^{\frac{3}{2}}}$

단계 3.9.3.3

우변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.9.3.3.1

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$y = \frac{e^{C} + {| x^{2} + 1 |}^{\frac{3}{2}}}{{| x^{2} + 1 |}^{\frac{3}{2}}}$

단계 4

적분 상수를 간단히 합니다.

$y = \frac{C + {| x^{2} + 1 |}^{\frac{3}{2}}}{{| x^{2} + 1 |}^{\frac{3}{2}}}$

단계 5

초기 조건을 활용하여 $y = \frac{C + {| x^{2} + 1 |}^{\frac{3}{2}}}{{| x^{2} + 1 |}^{\frac{3}{2}}}$ 에서 $x$ 에 $0$ 을, $y$ 에 $9$ 를 대입하여 $C$ 값을 구합니다.

$9 = \frac{C + {| 0^{2} + 1 |}^{\frac{3}{2}}}{{| 0^{2} + 1 |}^{\frac{3}{2}}}$

단계 6

$C$ 에 대해 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.1

$\frac{C + {| 0^{2} + 1 |}^{\frac{3}{2}}}{{| 0^{2} + 1 |}^{\frac{3}{2}}} = 9$ 로 방정식을 다시 씁니다.

$\frac{C + {| 0^{2} + 1 |}^{\frac{3}{2}}}{{| 0^{2} + 1 |}^{\frac{3}{2}}} = 9$

단계 6.2

방정식의 양변에 ${| 0^{2} + 1 |}^{\frac{3}{2}}$ 을 곱합니다.

${| 0^{2} + 1 |}^{\frac{3}{2}} \frac{C + {| 0^{2} + 1 |}^{\frac{3}{2}}}{{| 0^{2} + 1 |}^{\frac{3}{2}}} = {| 0^{2} + 1 |}^{\frac{3}{2}} \cdot 9$

단계 6.3

방정식의 양변을 간단히 정리합니다.

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단계 6.3.1

좌변을 간단히 합니다.

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단계 6.3.1.1

${| 0^{2} + 1 |}^{\frac{3}{2}} \frac{C + {| 0^{2} + 1 |}^{\frac{3}{2}}}{{| 0^{2} + 1 |}^{\frac{3}{2}}}$ 을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.3.1.1.1

${| 0^{2} + 1 |}^{\frac{3}{2}}$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.3.1.1.1.1

공약수로 약분합니다.

${| 0^{2} + 1 |}^{\frac{3}{2}} \frac{C + {| 0^{2} + 1 |}^{\frac{3}{2}}}{{| 0^{2} + 1 |}^{\frac{3}{2}}} = {| 0^{2} + 1 |}^{\frac{3}{2}} \cdot 9$

단계 6.3.1.1.1.2

수식을 다시 씁니다.

$C + {| 0^{2} + 1 |}^{\frac{3}{2}} = {| 0^{2} + 1 |}^{\frac{3}{2}} \cdot 9$

단계 6.3.1.1.2

각 항을 간단히 합니다.

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단계 6.3.1.1.2.1

$0$ 을 여러 번 거듭제곱해도 $0$ 이 나옵니다.

$C + {| 0 + 1 |}^{\frac{3}{2}} = {| 0^{2} + 1 |}^{\frac{3}{2}} \cdot 9$

단계 6.3.1.1.2.2

$0$ 를 $1$ 에 더합니다.

$C + {| 1 |}^{\frac{3}{2}} = {| 0^{2} + 1 |}^{\frac{3}{2}} \cdot 9$

단계 6.3.1.1.2.3

절댓값은 숫자와 0 사이의 거리를 말합니다. $0$ 과 $1$ 사이의 거리는 $1$ 입니다.

$C + 1^{\frac{3}{2}} = {| 0^{2} + 1 |}^{\frac{3}{2}} \cdot 9$

단계 6.3.1.1.2.4

1의 모든 거듭제곱은 1입니다.

$C + 1 = {| 0^{2} + 1 |}^{\frac{3}{2}} \cdot 9$

단계 6.3.2

우변을 간단히 합니다.

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단계 6.3.2.1

${| 0^{2} + 1 |}^{\frac{3}{2}} \cdot 9$ 을 간단히 합니다.

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단계 6.3.2.1.1

$0$ 을 여러 번 거듭제곱해도 $0$ 이 나옵니다.

$C + 1 = {| 0 + 1 |}^{\frac{3}{2}} \cdot 9$

단계 6.3.2.1.2

$0$ 를 $1$ 에 더합니다.

$C + 1 = {| 1 |}^{\frac{3}{2}} \cdot 9$

단계 6.3.2.1.3

절댓값은 숫자와 0 사이의 거리를 말합니다. $0$ 과 $1$ 사이의 거리는 $1$ 입니다.

$C + 1 = 1^{\frac{3}{2}} \cdot 9$

단계 6.3.2.1.4

1의 모든 거듭제곱은 1입니다.

$C + 1 = 1 \cdot 9$

단계 6.3.2.1.5

$9$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$C + 1 = 9$

단계 6.4

$C$ 를 포함하지 않은 모든 항을 방정식의 우변으로 옮깁니다.

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단계 6.4.1

방정식의 양변에서 $1$ 를 뺍니다.

$C = 9 - 1$

단계 6.4.2

$9$ 에서 $1$ 을 뺍니다.

$C = 8$

단계 7

$y = \frac{C + {| x^{2} + 1 |}^{\frac{3}{2}}}{{| x^{2} + 1 |}^{\frac{3}{2}}}$ 의 $C$ 에 $8$ 를 대입하여 간단히 합니다.

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단계 7.1

$C$ 에 $8$ 를 대입합니다.

$y = \frac{8 + {| x^{2} + 1 |}^{\frac{3}{2}}}{{| x^{2} + 1 |}^{\frac{3}{2}}}$

단계 7.2

분자를 간단히 합니다.

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단계 7.2.1

$8$ 을 $2^{3}$ 로 바꿔 씁니다.

$y = \frac{2^{3} + {| x^{2} + 1 |}^{\frac{3}{2}}}{{| x^{2} + 1 |}^{\frac{3}{2}}}$

단계 7.2.2

${| x^{2} + 1 |}^{\frac{3}{2}}$ 을 ${({| x^{2} + 1 |}^{\frac{1}{2}})}^{3}$ 로 바꿔 씁니다.

$y = \frac{2^{3} + {({| x^{2} + 1 |}^{\frac{1}{2}})}^{3}}{{| x^{2} + 1 |}^{\frac{3}{2}}}$

단계 7.2.3

두 항 모두 완전세제곱식이므로 세제곱의 합 공식 $a^{3} + b^{3} = (a + b) (a^{2} - a b + b^{2})$ 을 이용하여 인수분해합니다. 이 때 $a = 2$ 이고 $b = {| x^{2} + 1 |}^{\frac{1}{2}}$ 입니다.

$y = \frac{(2 + {| x^{2} + 1 |}^{\frac{1}{2}}) (2^{2} - 2 {| x^{2} + 1 |}^{\frac{1}{2}} + {({| x^{2} + 1 |}^{\frac{1}{2}})}^{2})}{{| x^{2} + 1 |}^{\frac{3}{2}}}$

단계 7.2.4

간단히 합니다.

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단계 7.2.4.1

$2$ 를 $2$ 승 합니다.

$y = \frac{(2 + {| x^{2} + 1 |}^{\frac{1}{2}}) (4 - 2 {| x^{2} + 1 |}^{\frac{1}{2}} + {({| x^{2} + 1 |}^{\frac{1}{2}})}^{2})}{{| x^{2} + 1 |}^{\frac{3}{2}}}$

단계 7.2.4.2

${({| x^{2} + 1 |}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ 의 지수를 곱합니다.

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단계 7.2.4.2.1

멱의 법칙을 적용하여 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 과 같이 지수를 곱합니다.

$y = \frac{(2 + {| x^{2} + 1 |}^{\frac{1}{2}}) (4 - 2 {| x^{2} + 1 |}^{\frac{1}{2}} + {| x^{2} + 1 |}^{\frac{1}{2} \cdot 2})}{{| x^{2} + 1 |}^{\frac{3}{2}}}$

단계 7.2.4.2.2

$2$ 의 공약수로 약분합니다.

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단계 7.2.4.2.2.1

공약수로 약분합니다.

$y = \frac{(2 + {| x^{2} + 1 |}^{\frac{1}{2}}) (4 - 2 {| x^{2} + 1 |}^{\frac{1}{2}} + {| x^{2} + 1 |}^{\frac{1}{2} \cdot 2})}{{| x^{2} + 1 |}^{\frac{3}{2}}}$

단계 7.2.4.2.2.2

수식을 다시 씁니다.

$y = \frac{(2 + {| x^{2} + 1 |}^{\frac{1}{2}}) (4 - 2 {| x^{2} + 1 |}^{\frac{1}{2}} + {| x^{2} + 1 |}^{1})}{{| x^{2} + 1 |}^{\frac{3}{2}}}$

단계 7.2.4.3

간단히 합니다.

$y = \frac{(2 + {| x^{2} + 1 |}^{\frac{1}{2}}) (4 - 2 {| x^{2} + 1 |}^{\frac{1}{2}} + | x^{2} + 1 |)}{{| x^{2} + 1 |}^{\frac{3}{2}}}$

단계 7.2.4.4

항을 다시 정렬합니다.

$y = \frac{(2 + {| x^{2} + 1 |}^{\frac{1}{2}}) (4 + | x^{2} + 1 | - 2 {| x^{2} + 1 |}^{\frac{1}{2}})}{{| x^{2} + 1 |}^{\frac{3}{2}}}$